2025-2026学年山东青岛第一中学高二下册第一次单元检测数学试题 含答案

/2024级青岛第一中学高二下学期第一次单元检测数学一、单项选择题：本大题共8小题，共40分．1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义即可转化为求导数值来判断选项.【详解】由于等价于函数在处的导数.因为，所以在处的导数为.故选：D.2.的展开式中的系数为（）A.30 B.10 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理，先求出的展开式中和的系数，再分别与相乘即可求解.【详解】由题意知的展开式的通项为.令，得的展开式中的系数为；令，得的展开式中的系数为，所以的展开式中的系数为.故选：A.3.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在区间上单调递减，可得在区间上恒成立，参变分离可得恒成立，令，通过求导判断单调性，求得其最小值即可.【详解】由函数，得，因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，即，等价于恒成立，令，则，当时，恒成立，所以在区间上单调递增，所以.故选：B.4.子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（）A.120种 B.210种 C.1440种 D.2880种【答案】D【解析】【详解】先把字相同的卡片看成一组，第一步：从这5组中选出一组有种选法.第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有.第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有.所以不同的分配方案有种.5.已知函数，则的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对求导，得到，再解不等式，即可求解.【详解】易知函数定义域为，因为，所以，令，得，所以，即，所以的单调递增区间为，故选：A.6.已知（，且），则（）A.28 B.42 C.43 D.56【答案】A【解析】【分析】先根据排列数得出n,再计算组合数即可.

【详解】,.故选:A.7.已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可.【详解】函数定义域为，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值，又函数在内有最小值，则，解得，所以实数的取值可以是.故选：D8.已知，，若，则当取得最小值时，所在区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件构造函数，利用导数求出最值，由零点存在性定理验证的根的范围即可.【详解】令，即，∴，，∴，令，则，令，则，∴在上单调递增，且，∴存在唯一使得，当时，，，当时，，，∴，即取得最小值时，，由零点的存在定理验证的根的范围，当时，，当时，，故，故选：．二、多项选择题：本大题共3小题，共18分．9.关于的展开式，下列说法正确的是（）A.二项式系数之和为32 B.最高次项系数为32C.所有项系数之和为 D.项的系数为40【答案】AB【解析】【分析】直接利用二项式定理的应用求出结果即可．【详解】对于选项A：二项式系数之和为，故A正确；对于选项B：设展开式第项为，最高次项的系数为，故B正确；对于选项C：令得各项系数之和为，故C错误；对于选项D：项的系数为，故D错误.故选:AB.10.某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（）A.若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有B.若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有C.若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种D.若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种【答案】ACD【解析】【分析】A计算每次使用法宝的种数，再利用分步乘法计数原理计算；B先将7件法宝分成3组，每组至少2件，再进行分配；C先排列其余5件法宝，再利用插空法排列即可；D利用倍缩法解决定序问题即可．【详解】已知太乙真人送给了哪吒七件法宝，对于A，每次使用法宝有种，因可以重复使用，则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故A正确；对于B，将7件法宝分成3组，每组至少2件，共有种，则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故B错误；对于C，先将除乾坤圈､风火轮以外的5种法宝排列，共有种，再利用插空法将乾坤圈､风火轮插入6个空位置中，则不同的使用法宝的方法有种，故C正确；对于D，先将7件法宝排列共有种，再利用倍缩法解决定序问题即可得，不同的使用法宝的方法有种，故D正确.故选：ACD．11.已知函数，下列判断正确的是（）A.的单调减区间是， B.的定义域是C.的值域是 D.与有一个公共点，则或【答案】ABD【解析】【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项.【详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确；对A，，令可得和，解得和，故的单调减区间是，，故A正确；对C，由A可得当和时单调递减，当时单调递增，且，作出简图，可得的值域是，故C错误；对D，由图象可得，与有一个公共点，则或，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则______．【答案】【解析】【详解】，设，则，解得，设，则，解得，则.13.已知函数在处取得极大值，则______________.【答案】##【解析】【分析】根据极值与极值点的定义可得解.【详解】由，得，则，解得或，当时，，，此时函数在，上单调递增，在上单调递减，即函数在处取极小值，不成立；当时，，，此时函数在，上单调递增，在上单调递减，即函数在处取极大值，成立；综上所述，故答案为：.14.已知，则___________（用数字作答）【答案】1【解析】【分析】利用赋值法，先求得，再求得的值，即可得答案.【详解】令，则，令，则，即，故，故答案为：1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？（1）女生甲排在正中间；（2）名女生不相邻；（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）；（4）名女生中间恰有名男生．【答案】（1）种；（2）种；（3）种；（4）种.【解析】【分析】（1）根据特殊元素优先排，其余元素再利用全排列即可求解；（2）不相邻问题利用“插空法”即可求解；（3）固定顺序问题即是所有元素全排列种类数的一半；（4）相邻问题用“捆绑法”，其余元素再利用全排列即可.【小问1详解】女生甲排在正中间，其余人有种排法，因此不同排法种数为种；【小问2详解】将名男生排成一排，有种排法，2名女生可以在每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有种排法，因此不同排法种数为种；【小问3详解】对7名学生全排列有种排法，因此不同排法种数为种；【小问4详解】选1名男生排在2名女生中间，有种排法，将3人看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有种，又因为2名女生有种排法，因此不同排法种数为种.16.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题可得切线斜率及所过点，据此可得切线方程；（2）由题可得当时，可得，据此可得答案.【小问1详解】当时，，，则，，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】由，得.当时，，所以当，即时，，单调递增，所以在区间上的最小值为.令，得，所以.当，即时，若，则，单调递减；若，则，单调递增，所以在区间上的最小值为.令，解得.综上，的取值范围为.17.我们曾用组合模型发现了组合恒等式，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式．（1）某医院有内科医生8名，外科医生（）名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求的值；（2）化简：．【答案】(1)5;(2)【解析】【分析】（1）将原事件转化为从剩下7名内科医生，外科医生名，派2名医生参加赈灾医疗队，即可求解.（2）结合二项式定理，将原式看作展开式中的系数减，即可求解.【详解】（1）内科医生8名，外科医生名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，某内科医生必须参加，该事件等同于从剩下7名内科医生，外科医生名，派2名医生参加赈灾医疗队，即即解得.（2）,的系数原式可以看作展开式中的系数减，即18.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导函数，按照和分类讨论，利用导函数的正负情况即可得解；（2）结合（1）得到的最大值，即证f(x【小问1详解】由题函数定义域为，，则当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，所以时单调递增，时单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】当时，由（1）可知有最大值为f−12故要证，只需证，即证，设g(t)=所以时单调递增，时单调递减；所以g(t)≤g(1)=0所以，故原不等式得证.19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若，恒成立，求的值；（3）若在区间上存在零点，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间.（2）-1（3）.【解析】【分析】（1）由题可得，令，通过研究单调性可得的单调区间；（2）由题可得是在区间上的最小值，据此可得，随后验证满足题意即可；（3），结合（1）分析，可得时，在区间上无零点；当时，结合单调性与零点存在性定理可判断零点情况.【小问1详解】当时，，，则.令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，所以当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间.【小问2详解】由，得，.因为当时，恒成立，所以是在区间上的最小值，即当时，是的极小值点，所以，解得.当时，.令，则.由（1）知，所以当时，恒成立，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增.又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以是的极小值点，符合题意.故.【小问3详解】因为，所以，由（1）知.又