层次分析法基本原理和例题

层次分析法（AHP）

对于草地农业生态系统这个涉及复杂的社会、经济、生态问题的系统，过去

的系统分析与设计常常凭经验，靠主观判断进行，缺乏应有的科学性，因而往往

造成重大失误。层次分析法是一种新的定性分析与定量分析相结合的系统分析方

法，是将人的主观判断用数量形式表达和处理的方法，简称AHP（TheAnalytic

HierarchyProcess）法。近年来，层次分析法在草地农业生态系统的系统分析、设

计与决策中日益受到重视。

1层次分析法的基本方法和步骤

层次分析法是把复杂问题分解成各个组成因素，又将这些因素按支配关系分

组形成递阶层次结构。通过两两比较的方式确定各个因素相对重要性，然后综合

决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总排序。运用层次分析法进行系统分

析、设计、决策时，可分为4个步骤进行；

（1）分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构；

（2）对同一层次的各元素关于上一层中某一准则的重要性进行两两比较，

构造两两比较的判断矩阵；

（3）由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重；

（4）计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序，

2递阶层次结构的建立

首先把系统问题条理化、层次化，构造出一个层次分析的结构模型。在模型

中，复杂问题被分解，分解后各组成部分称为元素，这些元素又按属性分成若干

组，形成不同层次。同一层次的元素作为准则对下一层的某些元素起支配作用，

同时它又受上面层次元素的支配。层次可分为三类；

（1）最高层：这一层次中只有一个元素，它是问题的预定目标或理想结果,

因此也叫目标层；

（2）中间层：这一层次包括要实现目标所涉及的中间环节中需要考虑的准

则。该层可由若干层次组成，因而有准则和子准则之分，这一层也叫准则层；

（3）最底层：这一层次包括为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,

因此也称为措施层或方案层。

上层元素对下层元素的支配关系所形成的层次结构被称为递阶层次结构。当

然，上一层元素可以支配下层的所有元素，但也可只支配其中部分元素。递阶层

次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，可不受限制。

每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个，因为支配的元素过多会给两

两比较判断带来困难。层次结构的好坏对于解决问题极为重要，当然，层次结构

建立得好坏与决策者对问题的认识是否全面、深刻有很大关系。

3构造两两比较判断矩阵

在递阶层次结构中，设上一层元素C为准则，所支配的下一层元素为

UHU2,…,U”对于准则C相对重要性即权重。这通常可分两种情况：

（1）如果U1,U2，・・・,Un对C的重要性可定量（如可以使用货币、重量等），

其权重可直接确定。

（2）如果问题复杂，U,U2,…,Un对于C的重要性无法直接定量，而只能定

性，那么确定权重用两两比较方法。其方法是：对于准则C,元素Ui和Uj哪一个

更重要，重要的程度如何，通常按1〜9比例标度对重要性程度赋值，下表中列

出了1〜9标度的含义。

表1标度的含义

标度______________________含义

表示两个元素相比，具有同样重要性

3表示两个元素相比，前者比后者稍重要

5表示两个元素相比，前者比后者明显重要

7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要

9表示两个元素相比，前者比后者极端重要

2,4,6,8表示上述相邻判断的中间值

若元素i与/的重要性之比为生尸那么元素，与元素i重

倒数要性之比为。：=1/♦

对于准则C,n个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵

其中%.就是元素处和町相对于C的重要性的比例标度。判断矩阵A具有下

列性质：%>0，与=1/%，%=1

由判断矩阵所具有的性质知，一个n个元素的判断矩阵只需要给出其上(或

下)三角的n(n・l)/2个元素就可以了，即只需做n(n・l)/2个比较判断即可。

若判断矩阵A的所有元素满足《y=aik,则称A为一致性矩阵。

不是所有的判断矩阵都满足一致性条件，也没有必要这样要求，只是在特殊

情况下才有可能满足一致性条件。

4单一准则下元素相对权重的计算以及判断矩阵的一致性检验

已知II个元素U1,U2,…小对于准则C的判断矩阵为A,求U1,U2,…,Un对于准

则C的相对权重G1,g,…,q,写成向量形式即为W=⑷皿,…，叱)。

(1)权重计算方法。

①和法。将判断矩阵A的n个行向量归一化后的算术平均值，近似作为权重

向量，即

计算步骤如下:

第一步：A的元素按行归一化;

第二步：将归一化后的各行相加;

第三步：将相加后的向量除以n,即得权重向量。

类似的还有列和归一化方法计算，即

7=1,2,...,〃

这2%

②根法(即几何平均法)。将”的各个行向量进行几何平均，然后归一化,

得到的行向量就是权重向量。其公式为

（iW

①|二:七----ri=i,2,…/

z（n%>

k=lj=l

计算步骤如下：

第一步：A的元素按列相乘得一新向量；

第二步：将新向量的每个分量开n次方；

第三步：将所得向量归一化后即为权重向量。

③特征根法（简记EM）。解判断矩阵A的特征根问题

式中，乙”是A的最大特征根，W是相应的特征向量，所得到的W经归一

化后就可作为权重向量。

④对数最小二乘法。用拟合方法确定权重向量w=（幼,g,…，。〃）,，使残

差平方和-收（例/叼.）］2为最小。

l</<j<n

⑤最小二乘法。确定权重向量二=（用,g,…⑷“）1使残差平方和

ZUg因-心⑷/叼）?为最小。

14区j<n

（2）一致性检验.

在计算单准则下权重向量时，还必须进行一致性检验。在判断矩阵的构造中,

并不要求判断具有传递性和一致性，即不要求知严珞成立，这是由客

观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但要求判断矩阵满足大体上的一

致性是应该的。如果出现“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端

重要”的判断，则显然是违反常识的，一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能

导致决策上的失误。而且上述各种计算排序权重向量（即相对权重向量）的方法,

在判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了，因此要对判断矩阵

的一致性进行检验，具体步骤如下：

①计算一致性指标C.L.(consistencyindex)

②查找相应的平均随机一致性指标R.I.(randomindex)

下表给出了1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标。

表2平均随机一致性指标R.I.

矩阵阶数12345678

R.L000.520.891.121.261.361.41

矩阵阶数9101112131415

R.L.1.461.491.521.541.561.581.59

③计算性一致性比例C.R.(consistencyratio)

C.R=—CI.

R.I.

当C.R.<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当C.R.20.1时,

应该对判断矩阵做适当修正。

为了讨论一致性，需要计算矩阵最大特征根儿ax，除常用的特征根方法外,

还可使用公式

丝也」』盒JJ

“max-2/12/

/=i〃例〃z=ig

④计算各层元素对目标层的总排序权重。上面得到的是一组元素对其上一层

中某元素的权重句量。最终要得到各元素，特别是最低层中各元素对于目标的排

序权重，即所谓总排序权重，从而进行方案的选择。总排序权重要自上而下地将

单准则下的权重进行合成，并逐层进行总的判断一致性检验。

设卬d=3产),a1),…，屋，),表示第k-1层上nz个元素相对于总目标

的排序权重向量，用弓…，成;尸表示第k层上％个元素对第k-1

层上第j个元素为准则的排序权重向量，其中不受j元素支配的元素权重取为零。

矩阵P幻=«叫周？…,端？)丁是［Xi阶矩阵，它表示第k层上元素对k-1层

上各元素的排序，那么第k层上元素对目标的总排序为

=3"靖），…，或？）7=即•

或婿）=£i=1,2,…,n

六i

并且一般公式为W"）=尸Qp（i）…W⑵.

其中（W?）是第二层上元素的总排序向量，也是单准则下的排序向量。

要从上到下逐层进行一致性检难，若已求得k-1层上元素j为准则的一致性

指标C.Lj（k）,平均随机一致性指标R.Lj（k）,一致性比例C.R.j（k）（其中j=l,2,-,nk-i）,

则k层的综合指标

C.lR=（C.L\k）,・•C/比）•W（i）

R1y）=（/?./.‘）「..,/?./.£：）•

当C.R.（k）＜0.1时，认为递阶层次结构在k层水平的所有判断具有整体满意的一

致性。

二、AHP求解

层次分析法（AnalyticHierarchyProcess）是一种定量与定性相结合的多目标决策分析法，将

决策者的经验给予量化，这在对目标（因素）结构复杂且缺乏必要数据的情况下较为实用。

（一）、建立递阶层次结构

目标层：最优生鲜农产品流通模式。

准则层：方案的影响因素有：G自然属性、R经济价值、S基础设施、S政府政策。

方案层：设三个方案分别为：片农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、&

农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、A3农业合作社一第三方

物流企业一超市一消费者（本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区）。

目标层:G：最优生鲜农产品流通模式

自

然

准则层:属

性

方案层:43

图3-1递阶层次结构

（二）、构造判断（成对比较）矩阵

所谓判断矩阵是以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。为

了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入1〜9的标度，见表3—1.

表3—1标度值

定义

标度%

1i因素与j因素同等重耍

3i因素比j因素略重要

5i因素比j因素较重要

7i因素比j因素非常重要

9i因素比j因素绝对重要

2,4,6,8为以上判断之间的中间状态对应的标度值

倒数若i因素与j因素比较，得到判断值为，

%=1/%

为了构造判断矩阵，作者对6个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两

两比较矩阵分别为：

1853

G

1/811/21/6

C’2

1/5211/3

Q

1/3631

C4

qA%A3

11/31/9

A

311/8

%

981

4

c24A24

i39

A

1/318

4

1/91/81

%

C3444

129

A

1/217

A2

1/91/71

4

44

11/31/9

4

311/7

4

971

（三）、层次单排序及其一致性检验

层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相

对的数值大小来表示。

对应于判断矩阵最大特征根入max的特征向量，经归一化（使向量中各元素之和等于1）

后记为Wo

W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程

称为层次单排序。

能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致

的允许范围。

由于人连续的依赖于他，则人比n大的越多，A的不一致性越严重。用最大特征值对

应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的

判断误差越大。因而可以用人一n数值的大小来衡量A的不一致程度。

2—ri

用一致性指标进行检验：C/=3—。其中4nax是比较矩阵的最大特征值，n是比较矩

阵的阶数。a的值越小，判断矩阵越接近于完全一致。反之，判断矩阵偏离完全一致的程

度越大。

（四）、层次总排序及其一致性检验

1853'0.6030.4700.5260.6672.266

1/811/21/6列向量归一化、0.0750.0590.0530.037按行求和、0.224

“="1/5211/3’-

0.1210.1180.1050.0740.418

1/36310.201().3530.3160.2221.092

f0.567

归一化、0.056u/(0)

--------------------=VV

().104

().273

1853'().5672.354'

1/811/21/60.0560.225

AW⑼=,

><0.422‘

1/5211/30.104

1/36310.2731.11()

1/

1(2.354

0.2250.4221.1叫

严max----------F-------F-------1~0.273J=4.073

410.5670.0560.104

。⑼二(0.567,0.056,0.104,0.273)7

同理可计算出判断矩阵

’11/31/913912911/31/9

Bi=<311/8g二«1/318>,用=,1/27»，S4=<311/7

9811/91/811/91/71971

1一

对应的最大特征值与特征向量依次为:

0.06810.640'0.595、

“⑶ma.

/⑴max=3.111,。⑴]=0.146；2⑵由献=3.216,①⑴2二«0.306、=3.024,①⑴3=<0.347

0.7860.0540.058

0.069

2(4)max=3.083,^()4=J0.155>.

0.776

2-n

用一致性指标进行检验：c/=q—

n-l

n1234567891011

RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

(1)对于判断矩阵A,x<°)max=4.073,RI=0.90

4.073-4

CI=0.024

4-1

CIo024

C/?=^=2i2^=0.027<0.1

RI0.90

表示A的不一致程度在容许范围内，此时可用A的特征向量代替权向量。

(2)同理，对于判断矩阵Bi，B2,B3,B4利用上述原理均通过一致性检验。

利用层次结构图绘出从目标层到方案层的计算结果:

目标层:G：最优生鲜农产品流通模式

0.567056*0.273