2026年上海高考数学最后冲刺复习题号猜押04 上海卷高考数学第20题（解答题）（原卷版）

题号猜押04上海卷高考数学第20题（解答题）

溯源

考点3年考题考情分析

由直线与圆的位置关系求参数、椭圆中存在定点满足某条件问

2025年第20题题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中向量点乘问

题

由双曲线的离心率求参数的取值范围、双曲线中向量点乘问题、

解析几何2024年第20题

判断点和双曲线的位置关系

抛物线定义的理解、求直线与椭圆的交点坐标、抛物线中的参

2023年第20题

数范围问题、直线与抛物线交点相关问题

预测

1.通常位于解答题中后部（如第19或20题），分值在18分，是区分考生数学能力（尤其是运算能力和

思维韧性）的关键题目。

2.不会单纯沦为“暴力计算”题。题目将保留鲜明的几何背景（如圆锥曲线的光学性质、三角形特征等），

要求考生先用几何眼光分析，再选择合适的代数工具（方程、向量、参数）进行转化和求解。

3.对韦达定理的应用将不再停留在套用层面，而是要求能灵活进行复杂的代数式变形和整体处理，这是简

化运算的核心技巧。

4.向量作为沟通几何与代数的天然工具，在上海卷解析几何中应用频繁，可能以向量形式给出条件（如数

量积、共线），或要求用向量方法证明几何结论。

备考核心

1.熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、参数方程。理解圆与直线、圆锥曲线与直线的

位置关系判别（判别式法、几何法）。将向量、三角函数、不等式、函数最值等知识与解析几何建立联系。

2.重点掌握：（1）求轨迹方程的几种方法（直译法、定义法、相关点法、参数法）；（2）处理定点、定

值、最值问题的通用思路（设参→联立→韦达→表达目标→化简论证）（3）探索性问题的解题规

范。

3.解答题步骤要完整。从“设”、“列”到“化”、“得”，每一步变形要有依据。对使用韦达定理、判

别式等要写出前提条件。最终结论要明确。

考点1椭圆的综合问题

3

【典例1】（2026·上海长宁·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F11,0，F21,0，且经过点P1,．

2

(1)求该椭圆的离心率；

(2)点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若PQF2的面积为3，求点Q的坐标；

(3)A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点F1，且ABCD0，求ABCD的取值范

围．

x2y22

【变式1】已知椭圆E:1(ab0)的离心率为，且过点(2,1)．圆O:x2y22的切线l与椭圆

a2b22

E相交于A，B两点．

(1)求椭圆E的方程；

(2)直线OA，OB的斜率存在为k1，k2，直线l的斜率存在为k，若kk1k2，求直线l的方程；

(3)直线OA，OB与圆O:x2y22的另一个交点分别为C，D，求△OAB与OCD的面积之和的取值范围．

x2y2

【变式2】（2026·上海浦东模拟）已知椭圆C：1，F1、F2分别为左、右焦点，直线l过F2交椭圆

84

于A、B两点.

(1)求椭圆的离心率；

(2)当F1AB90，且点A在x轴上方时，求A、B两点的坐标；

yySS

(3)若直线AF1交轴于M，直线BF1交轴于N，是否存在直线l，使得F1ABF1MN？若存在，求出直线l的

方程；若不存在，请说明理由.

考点2双曲线的综合问题

x2y2

【典例2】（2025·上海长宁·二模）已知双曲线:1的左、右焦点分别为F1,F2，点A是其左顶点，

a2b2

点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率e2,b23．

(1)求双曲线的方程；

(2)若三角形APF2是等腰三角形，求点P的坐标；

(3)直线PF2不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若PF1Q是锐角，求直线PF2的斜率的取值范围．

y2

【变式1】（2026·上海金山·月考）已知双曲线x21的右焦点为F，右顶点为A，过焦点F的直线与

3

1

的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x交于M，N两点，记△APQ的面积为S1，AMN的

2

面积为S2.

(1)求双曲线的离心率；

(2)求证：kAPkAQ为定值；

S

(3)求1的取值范围.

S2

x2y2

【变式2】（2026·上海普陀·二模）设F1,F2分别是双曲线:1(a0,b0)的左、右两焦点，过点F2

a2b2

的直线l:xmyt0m,tR与的右支交于M，N两点，过点（﹣2，3），且它的虚轴的端点与焦点

的距离为7．

(1)求双曲线的方程；

(2)当MF1F2F1时，求实数m的值；

1

(3)设点M关于坐标原点O的对称点为P，当MFFN时，求PMN面积S的值．

222

△

考点3抛物线的综合问题

2

【典例3】（2026·浙江杭州·二模）已知抛物线:y2pxp0的焦点F到准线l的距离为2，点Dp,0，

过F的直线交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为A1，B1，直线A1D，B1D与直线AB分

别交于点M，N.

(1)求的方程；

11

(2)记M，N的纵坐标分别为yM，yN，当1时，求直线AB的斜率；

yMyN

k1

(3)设E为x轴上一点，记k1，k2分别为直线ME，ND的斜率.若为定值，求点E的坐标.

k2

【变式1】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知抛物线:yx2的焦点为F，

点A的坐标为1,2.

(1)若点E在上，且OE2，求点E的坐标；

(2)若P是上的任意一点，求APPF的最小值；

(3)过点A的动直线与抛物线交于B、C两点，过点B、C分别作的切线，切线交点为D，求证：点D的

轨迹是一条直线.

【变式2】已知F是抛物线C:x22pyp0的焦点，C在点A2,1处的切线交y轴于点G，过点G的直

线与C交于B,D两点.

(1)求C的方程；

(2)比较|GA|2与GBGD的大小，并说明理由；

(3)过点F的直线与C交于P,Q两点，T0,2，线段PT,QT的延长线分别交C于点M，N，试判断直线MN

是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由.

考点4圆锥曲线的轨迹问题

2

【典例4】已知抛物线C:y22px，斜率为的直线l交抛物线于M，N两点，且M1,2.

3

(1)求抛物线C的方程；

(2)若动点P在抛物线C上，F为抛物线的焦点，线段PF的中点为Q，求点Q的轨迹方程；

(3)试探究:抛物线C上是否存在点P使得PMPN？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

【变式1】已知平面直角坐标系中定点A4,2，B3,0，O为坐标原点．动点M满足BM2OM，记M

的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)求线段AM中点P的轨迹方程．

【变式2】（2026·上海徐汇·期中）已知点M2,0，N2,0，动点P满足PMPN2．

(1)求动点P的轨迹方程；

(2)若动点P的轨迹上存在两点关于直线l:ykx4对称，求k的取值范围．

考点5圆锥曲线的最值范围问题

【典例5】已知抛物线C:y24x.

π

(1)倾斜角为的直线l过C的焦点，且与C交于M、N两点，求MN；

3

(2)设P是C上一点，A、B是C的准线上两个不同的点，且圆x2y21是PAB的内切圆.

①若AB25，求点P的横坐标；

②求PAB面积的最小值.

2

x2

【变式1】设a0，m0，F1、F2分别是双曲线:y1的左、右焦点，直线l:xmy20经过点F2

a2

与的右支交于A、B两点，点O是坐标原点.

(1)若点M是上的一点，MF12，求MF2的值；

(2)设、R，点P在直线x6上，若点O、A、P、B满足：OABP，OBAP，求点P的坐标；

(3)设AO的延长线与交于G点，若向量OA与OB满足：OAOB17，求△GAB的面积S的取值范围.

2

2y

【变式2】已知双曲线C:x1，点F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，Ax1,y1、Bx2,y2为双曲线

3

上的点.

(1)求右焦点F2到双曲线的渐近线的距离；

若，求直线的方程；

(2)AF23F2BAB

(3)若AF1//BF2，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形AF1F2B的面积

的取值范围.

考点6圆锥曲线的探索问题

x2

【典例6】（2026·上海普陀·二模）在xOy平面上．设椭圆Γ：y21(m1)，梯形ABCD的四个顶点

m2

均在Γ上，且AB//CD．设直线AB的方程为ykx(kR)

1

(1)若AB为Γ的长轴，梯形ABCD的高为，且C在AB上的射影为Γ的焦点，求m的值；

2

(2)设m2，直线CD经过点P0,2，求OCOD的取值范围；

(3)设m2，AB2CD，AD与BC的延长线相交于点M，当k变化时，△MAB的面积是否为定值？若

是，求出该定值；若不是，请说明理由．

3

【变式1】动点M(x,y)到直线l:y3x与直线l:y3x的距离之积等于，且|y|3|x|．记点M的

124

轨迹方程为．

(1)求的方程；

(2)过上的点P作圆Q:x2(y4)21的切线PT，T为切点，求|PT|的最小值；

4

(3)已知点G0,，直线l:ykx2(k0)交于点A，B，上是否存在点C满足GAGBGC0？若存

3

在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

考点7圆锥曲线的应用问题

【典例7】（2025·上海静安·一模）如图的封闭图形的边缘由抛物线Γ和垂直于拋物线对称轴的线段AB组

成.已知AB4，拋物线的顶点到线段AB所在直线的距离为2.

(1)请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘；

(2)在该封闭图形上截取一个矩形CDEF，其中点C､D在线段AB上，点E､F抛物线Γ上.求以矩形CDEF为

侧面，CF为母线的圆柱的体积最大值；

(3)求证：抛物线Γ的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.

【变式1】（2025·上海浦东新·二模）2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球

（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为R700

万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距

离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米．

(1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程；

(2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为ab万米时（其中a，b分别

为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方

向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变

轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位）

x2

1．（2026·上海长宁·二模）设双曲线:y21的上焦点为F,M,N是双曲线上的两个不同的点．

3

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若FM2，求点M纵坐标的值；

（3）设直线MN与y轴交于点Q0,q,M关于y轴的对称点为M．若M,F,N三点共线，求证：q为定值．

2．（2026·上海闵行·一模）如图，某飞行器研究基地E在指挥中心F的正北方向4千米处，小镇A在E的

正西方向8千米处，小镇B在F的正南方向8千米处.已知一新型飞行器在试飞过程中到点F和到直线AE

的距离始终相等，该飞行器产生一定的噪音污染，距离该飞行器1千米以内（含边界）为10级噪音，每远

离飞行器1千米，噪音污染就会减弱1级，直至0级为无噪音污染（飞行器的大小及高度均忽略不计）.

(1)判断该飞行器是否经过线段EF的中点O，并判断小镇A是否会受到该飞行器的噪音污染？

(2)小镇B受该飞行器噪音污染的最强等级为多少级？

x2

3．（2026·上海崇明·一模）已知椭圆:y21，其左、右顶点分别为A,B，上、下顶点分别为C,D.圆O

4

是以线段AB为直径的圆.

(1)求圆O的方程；

(2)若点E,F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线CE,DF分别交x轴于点M,N，求证：OMON为

定值；

1

(3)若点P是椭圆上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q，是否存在点P，使得APPQ？

3

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

x2y2

4.已知椭圆Γ:1(m0,m3)．

m23

(1)若m2，求椭圆Γ的离心率；

(2)设A1,A2为椭圆Γ的左右顶点，若椭圆Γ上一点E的纵坐标为1，且EA1EA22，求m的值；

y2x2

(3)若P为椭圆Γ上一点，过点P作一条斜率为3的直线与双曲线1仅有一个公共点，求m的取

5m25

值范围．

x2y2

5．（2025·上海黄浦·二模）已知双曲线：1，F为左焦点，P为直线x1上一动点，Q为线段PF

412

|FP|

与的交点．定义：d(P)．

|FQ|

(1)若点Q的纵坐标为15，求d(P)的值；

(2)设d(P)，点P的纵坐标为t，试将t2表示成的函数并求其定义域；

(3)证明：存在常数m、n，使得md(P)|PF|n．

6．（2021·上海嘉定·二模）已知抛物线：y22px的焦点为F2,0，点P在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）若PF5，求点P的坐标；

（3）过点Tt,0t0作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A,B,C,D四点，且点M,N分别为线段

AB,CD的中点，求△TMN的面积的最小值．

2

x2

7．（2026·上海浦东新·期中）已知椭圆C:y1，点F1、F分别为椭圆的左、右焦点.

22

(1)若椭圆上点P满足PF2F1F2，求PF1的值；

(2)点A为椭圆的右顶点，定点Tt,0在x轴上，若点S为椭圆上一动点，当ST取得最小值时点S恰与点A

重合，求实数t的取值范围；

(3)已知m为常数，过点F2且法向量为1,m的直线l交椭圆于M、N两点，若椭圆C上存在点R满足

OROMON

（，R），求的最大值.

x2

8．（2025·上海闵行·三模）已知A是椭圆C:y21的左顶点，P、Q是椭圆上不同的两点．

4

(1)求椭圆C的焦距和离心率；

(2)设E0,t,F0,s,M1,0，若MFME，且A、P、E和A、Q、F分别共线，求证：P、O、Q三点

共线；

(3)若H是椭圆C上的点，且OPOQOH0，求PQH的面积．

9．已知两个定点A、B的坐标分别为1,0和1,0，动点P满足APOBPB（O为坐标原点）．

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)设点Ca,0为x轴上一定点，求点C与轨迹E上点之间距离的最小值da；

x2y2

10．（2025·上海黄浦·二模）椭圆Γ:1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)(c0)，过点

a2b2

F1的直线l与Γ交于点P．

(1)若c2，点P的坐标为(2,2)，求点F2到直线l的距离；

(2)当bc时，求满足PF1PF2的点P的个数；