22春福建师范大学《近世代数》在线作业一答案参考10

22春福建师范大学《近世代数》在线作业一答案参考1.一个面包店有6种不同类型的糕点，这些糕点以每打12个为单位向外出售。假如你有很多钱，你能买多少打(装配成的)

一个面包店有6种不同类型的糕点，这些糕点以每打12个为单位向外出售。假如你有很多钱，你能买多少打(装配成的)不同的糕点?如果在每打中每种糕点至少1个，你又能买到多少打不同的糕点?

假设面包店每种糕点都有很多(每种至少12个)。由于每打中的糕点顺序与购买者无关，故为组合问题，则能买到不同糕点打数即为6种类型的多重集(无穷重数)的12-组合数，其值为

如果每打中每种类型糕点至少出现一次，则12-组合数是力程

x1+x2+…+x6=12

xi≥1

i=1，2，…，6

的整数解个数。作变量代换

yi=xi-1

i=1，2，…，6

则方程变为

y1+y2+…+y6=6

yi≥0

i=1，2，…，6

这个方程的非负整数解个数为

2.设R是自然数集N上的关系且满足xRy当且仅当x+2y=10，其中，+为普通加法，计算以下各题．

设R是自然数集N上的关系且满足xRy当且仅当x+2y=10，其中，+为普通加法，计算以下各题．

R={〈0，5〉，〈2，4〉，〈4，3〉，〈6，2〉，〈8，1〉，〈10，0〉}，则

domR={0，2，4，6，8，10}．$ranR{0，1，2，3，4，5}．$R-1={〈5，0〉，〈4，2〉，〈3，4〉，〈2，6〉，〈1，8〉，〈0，10〉}．

3.f&39;(x0)=0，f&39;&39;(x0)＞0是函数f(x)在点x=x0处有极值的()。A．必要条件B．充分条件C．充要条件

f'(x0)=0，f''(x0)＞0是函数f(x)在点x=x0处有极值的(

)。

A．必要条件

B．充分条件

C．充要条件

D．无关条件

B

4.1．设F(x)是连续型随机变量ξ的分布函数，x1，x2为数轴上任意两点，且有x1＜x2，则()不一定成立．A．F(x1)1．设F(x)是连续型随机变量ξ的分布函数，x1，x2为数轴上任意两点，且有x1＜x2，则(

)不一定成立．

A．F(x1)2)

B．F(x1)≤F(x2)

C．F(x)在x1处连续

D．F(x2)-F(x1)=P(x1＜x≤x2)

A

5.已知f(x，y)=x2-2xy+3y2，求f(1，0)，f(tx，ty)，．

已知f(x，y)=x2-2xy+3y2，求f(1，0)，f(tx，ty)，．

f(1，0)=1；f(tx，ty)=t2(x2-2xy+3y2)；

6.f和g在点x0连续，若f(x0)>g(x0)，则存在U(x0,δ)，使在其内有f(x)>g(x)。()

f和g在点x0连续，若f(x0)>g(x0)，则存在U(x0,δ)，使在其内有f(x)>g(x)。()

正确答案：√

7.求一组满足式①(见上题)的不全为零的复系数多项式f(x)，g(x)和h(x)．

求一组满足式①(见上题)的不全为零的复系数多项式f(x)，g(x)和h(x)．

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8.二次积分∫02dy∫y4-yf(x，y)dx改变成先y后x的积分是______。

二次积分∫02dy∫y4-yf(x，y)dx改变成先y后x的积分是______。

∫02dx∫02f(x，y)dy+∫24dx∫04-xf(x，y)dy

9.求直线l1：与直线l2：的公垂线方程．

求直线l1：与直线l2：的公垂线方程．

根据题意知公垂线的方向向量可取

，

l1与公垂线所确定平面Π1的法向量为

,

点(9，-2，0)在平面Π1上，故Π1的方程为

-16(x-9)-27(y+2)-17(z-0)=0,

即

16x+27y+17z-90=0.

同理，l2与公垂线所确定平面H2的法向量为

,

点(0，-7，7)在平面Π2上，故Π2的方程为

58(x-0)+6(y+7)+31(z-7)=0,

即

58x+6y+31z-175=0.

Π1与Π2的交线即为l1与l2的公垂线，故公垂线方程为

10.若级数与分别收敛于S1与S2，则以下成立的是()．A．B．C．D．

若级数与分别收敛于S1与S2，则以下成立的是(

)．

A．

B．

C．

D．

ABC由收敛级数的基本性质可知：(A)，(B)，(C)均正确；(D)错误．当S2=0时不成立．

11.求使直线χ＝0，y＝0，χ＋2y－1＝0分别变为直线χ＋y＝0，χ－y＝0，χ＋2y－1＝0的仿射变换．

求使直线χ＝0，y＝0，χ＋2y－1＝0分别变为直线χ＋y＝0，χ－y＝0，χ＋2y－1＝0的仿射变换．

正确答案：设所求仿射变换为：\r\n解：设所求仿射变换为：\r\n\r\n由此得到：χ′＋y′＝(a11＋a21)χ＋(a12＋a22)y＋(a13＋a23)．\r\n因为直线χ＝0对应直线χ′y′＝0于是有\r\n\r\n又直线y＝0对应直线χ′－y′＝0于是有\r\n\r\n同理直线χ＋2y－1＝0对应直线χ′＋2y′－1＝0有\r\n\r\n由①、②、③可解得a13＝a23＝0a11＝a21＝\r\n－a12＝a22＝2．\r\n因此所求仿射变换为：\r\n

设所求仿射变换为：解：设所求仿射变换为：由此得到：χ′＋y′＝(a11＋a21)χ＋(a12＋a22)y＋(a13＋a23)．因为直线χ＝0对应直线χ′y′＝0,于是有又直线y＝0对应直线χ′－y′＝0,于是有同理直线χ＋2y－1＝0对应直线χ′＋2y′－1＝0,有由①、②、③可解得a13＝a23＝0,a11＝a21＝,－a12＝a22＝2．因此所求仿射变换为：

12.由方程ex-xy2+siny=0确定y是x的函数，求

由方程ex-xy2+siny=0确定y是x的函数，求

在方程ex=xy2+siny=0中，x是自变量．y是x的函数，从而方程中出现的y2，siny都要看作是x的复合函数(y是中间变量)．于是(y2)x'==2y·y'x，

(siny)'x=cosy·y'

将方程两端同时对x求导，得ex-(1·y2+x·2yy')+cosy·y'=0

解出y'ex-y2+(cosy-2xy)y'=0

即

[注]由隐函数求导数时，y'在表达式中一般都含有y，即使是由方程F(x，y)=0可解出y，这里也不要求用x的解析式代换y．

13.在数域F上x^2－3x＋2可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0

在数域F上x^2-3x+2可以分解成几个不可约多项式

A、1.0

B、2.0

C、3.0

D、4.0

正确答案：B

14.(如图所示)设A，B，C是不共线的3点，它们决定一平面Ⅱ，则点P在Ⅱ上的充要条件是存在唯一的数组(λ，μ，γ)，)使得

(如图所示)设A，B，C是不共线的3点，它们决定一平面Ⅱ，则点P在Ⅱ上的充要条件是存在唯一的数组(λ，μ，γ)，)使得

其中O是任意的一点，P在△ABC内的充要条件是*与λ≥0，μ≥0，γ≥0同时成立。

若点，则与，共面，，或

取1-l-k=λ，μ=k，则

，λ+μ+γ=1

*部分证明：在ΔABC内成立．，且

，，0≤l≤1，且0≤k+l≤1即μ≥0，r≥0，，μ≥0，γ≥0，λ+μ+r=1，且在△ABC内．

15.若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫xf(x2)dx=______．

若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫xf(x2)dx=______．

16.最大似然估计的统计思想是什么?

最大似然估计的统计思想是什么?

17.向量组α1=(1，0，2，3)，a2=(1，1，3，5)，a3=(1，一1，t+2，1)，ad=(1，2．4，t+9)线性相关，则t=_____．

向量组α1=(1，0，2，3)，a2=(1，1，3，5)，a3=(1，一1，t+2，1)，ad=(1，2．4，t+9)线性相关，则t=_____．

正确答案：一1或一2

【解法一】(t+1)(t+2)，t=一l或t=一2时行列式为0．【解法二】当t=一1或t=一2时，RB=3<4，即α1，α2，α3，α4线性相关．

18.设有一吊桥，其铁链成抛物线型，两端系于相距100m高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m处，求

设有一吊桥，其铁链成抛物线型，两端系于相距100m高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m处，求铁链与支柱所成之角。

正确答案：

19.设P(A)＞0，P(B)＞0，则______正确．A．若A与B独立，则A与B必相容B．若A与B独立，则A与B必互不相容C．若A与B互

设P(A)＞0，P(B)＞0，则______正确．

A．若A与B独立，则A与B必相容

B．若A与B独立，则A与B必互不相容

C．若A与B互不相容，则A与B必独立

D．若A与B相容，则A与B必独立

A因为P(A)＞0，P(B)＞0，所以，若A与B独立，则

P(AB)=P(A)P(B)＞0．

从而AB≠Φ，即A与B相容，所以选项A正确，而选项B不正确．

A的等价命题也成立，即若A与B互不相容，则A与B必不独立，所以C不正确，D显然不正确．

故应选A．

20.设3个向量a，b，c两两相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则|a+b+c|=______，|a×b+b×c+c×a|=______。<

设3个向量a，b，c两两相互垂直，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则|a+b+c|=______，|a×b+b×c+c×a|=______。

7

21.求下列函数的微分：(1)y=acos3x(a＞0)；(2)y=(1+x2)xesx

求下列函数的微分：

(1)y=acos3x(a＞0)；

(2)y=(1+x2)xesx

(1)因为y'=(acos23x)'=acos23x·2cos3x·(-3sin3x)lna，

所以

dy=-6sin3xcos3x·Ina·acos23xdx

=-3sin6xlnaacos23xdx．

(2)y'=(1+x2)secx[secxln(1+x2)]'

故有

22.奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单。()

奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单。()

正确答案：√

23.求下列微分方程边值问题的格林函数：

求下列微分方程边值问题的格林函数：

先求边值问题y"=0，y(0)=1，y'(1)=2的解．方程有基解组y1=1，y2=x．通解为y=c1+c2x．代入边值条件有解y=1+2x．设边值问题y"=f(x)，y(0)=0，y'(1)=0的格林函数为

由齐次方程边值条件得a1(t)=0，b2(t)=0．利用结果，有

解得b1(t)=-t，a2(t)=-1．即格林函数为

解为．最后，原非齐次边值问题的解为

$齐次方程的两个线性无关解为，y2=1，令其格林函数为

利用p0(x)=x2有

由边值条件y(1)=αy'(1)得b1(t)+b2(t)=-αb1(t)．又由当x→0时y(x)有界条件知，应取a1(t)=0．于是有b1(t)=-1，b2(t)=1+α，．格林函数为

$齐次方程是欧拉方程，可令y=xK，代入得K(K-1)+2K=K(K+1)=0，有通解y=c1+c2x-1．用常数变易法，令y=c1(x)+c2(x)x-1，则y'=c'1+c'2x-1-c2x-2，设c'1+c'2x-1=0，于是y'=-c2x-2，y"=-c'2x-2+2c2x-3．将其代入方程得

x2y"+2xy'=-c'2+2c2x-1-2c2x-1=-c'2=f(x)，

而由c'1+c'2x-1=0又有c'1=-c'2x-1=x-1f(x)，．最后得非齐次方程的特解．其通解为．利用边值条件有c2=-c1=．于是有．可定义格林函数

边值问题的解为

，(1≤x≤3)

24.求微分方程y&39;&39;＋y&39;2y=8sin2x的通解。

求微分方程y''+y'-2y=8sin2x的通解。

25.设f(x)的导数在x=a处连续，且，则______．(A)x=a