2026年全国一卷高考数学模拟考试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026高考高三年级4月质量检测数学（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合，则（

）A． B． C． D．2．一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（

）A．40 B．39 C．36 D．353．在正项等比数列中，成等差数列，则数列的公比为（

）A．1或2 B．2或3 C．2 D．34．某大学有A，B，C，D四个社团在招生.5名学生去报名，每个社团至少有1名学生，则不同的报名方式共有（

）A．144种 B．240种 C．256种 D．288种5．已知函数且在上的值域为，则（

）A．4 B．2 C． D．6．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（

）

A．9 B．10 C．11 D．127．从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点．椭圆与轴正半轴交点为，椭圆与轴正半轴交点为，若（为原点），则椭圆的离心率等于（

）A． B． C． D．8．设的内角的对边分别为，的面积为，，则（

）A．20 B．16 C．12 D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若复数，则（

）A．B．C．z在复平面内对应的点位于第一象限D．复数满足，则的最大值为10．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，，则下列说法正确的是（

）

A．几何体的体积为 B．BE，DF是异面直线C． D．点A到平面BDE的距离为11．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是（

）A．若，则直线l的斜率为 B．C．（O为坐标原点） D．当取最小值时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．直线被圆截得的弦长为________.13．已知直线l与函数的图象在处相切，与函数的图象在处相切，则_________.14．已知函数，则在上共有________个零点.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15．已知正项数列满足，且.(1)证明：为等差数列；(2)求数列的前n项和.16．某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为．(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率；(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：参与环节笔试面试补贴（元）100150记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望．17．如图，分别为等边三角形的边的中点，，将沿折起，使顶点至点的位置，此时平面平面，分别为的中点．(1)证明：平面；(2)若点在同一球面上，设该球面的球心为．（i）求球的表面积；（ii）求平面与平面的夹角的余弦值．18．已知函数.(1)求的极小值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)求不等式的解集.19．已知双曲线的渐近线互相垂直，分别为其左、右焦点，双曲线与圆的某个交点的横坐标为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过右焦点的直线l与的右支交于P，Q两点，其中点P位于第一象限内，直线分别与y轴交于M，N两点.（i）是否存在直线l使得点在以线段MN为直径的圆上，若存在，请求出此时直线的斜率；若不存在，请说明理由；（ii）当时，求出的大小.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【详解】因为，所以.2．D【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16，因为，所以第60百分位数为19，所以众数与第60百分位数之和为.3．C【详解】设等比数列的公比为，，因为成等差数列，所以，即，则，因为等比数列中，所以，解得或，又因为数列为正项等比数列，公比，所以.4．B【分析】先将5名学生分成4组，其中一组有2名学生，其余三组各1名学生，可利用组合数确定分组方式，对分好的组利用排列数计算分配方式，最后用分步乘法计数原理计算总报名方式数.【详解】先从5名学生中选出2人组成一个小组，有种方法；再将这个两人小组与其余3名学生安排到4个不同的社团，有种方法，根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排.5．C【详解】函数在上具有相同的单调性，所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增，所以，解得，故选C.6．C【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围．【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

，，设，则（其中），，，所以，当时，取得最小值11.故选：C7．B【分析】由题意可设(为半焦距)，由于，由斜率相等可求出的坐标，代入椭圆方程即可得出答案.【详解】由题意可设(为半焦距)，则，又，因为，所以，得，所以，把代入椭圆方程得，得，所以.故选：B.

8．B【分析】先对已知等式两边平方化简,结合三角形内角关系,用三角恒等变换推导出,再结合正弦定理与三角形面积公式求出外接圆半径,最后代入公式算出的值.【详解】由得，.整理得，所以.整理得.所以.所以，即.所以则，设外接圆的半径为.由正弦定理得，.所以.解得,即.9．ACD【详解】由已知，，对于A，因为，所以，A正确；对于B，因为，，B错误；对于C，因为，在复平面内对应的点的坐标为，第一象限，C正确；对于D，因为复数满足，所以复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，所以，所以的最大值为，D正确．10．ABD【分析】对于A，注意到几何体的体积，据此可判断选项正误；对于B，注意到BE，DF所在平面互相平行，又BE，DF不平行，据此可判断选项正误；对于C，由题设可得，据此可判断选项正误；对于D，由A分析结合等体积法可判断选项正误.【详解】对于A，几何体的体积，故A正确；对于B，因，平面，平面，则平面，又平面ABCD，则，又平面，平面，则平面，因，平面，则平面平面，又平面，平面，，DF不平行，从而BE，DF是异面直线，故B正确；对于C，易知，所以，故C错误；对于D，，又由A分析可得，则点A到平面BDE的距离为，故D正确.故选ABD.11．ABD【分析】设出直线：，根据题意求出，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D.【详解】对于A，依题意得，设直线，联立，消去x得，则，则，解得或，则或，则直线l的斜率，故A正确；对于B，，当且仅当时等号成立，故B项正确；对于C，因为，所以，故C项错误；对于D，依题意有，抛物线的准线方程为，所以，则，由抛物线的定义可得，可得，因为，所以，当且仅当时取等号，此时，故D项正确．故选：ABD．

12．【分析】由题可得圆心到直线的距离，据此可得弦长.【详解】易知圆的圆心为，半径为3；由圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为.13．【详解】由，可得，则，所以切线方程为，即，由，可得，则，所以切线方程为，即；由题意可知，，解得，所以.14．2【分析】把用积化和差公式变形后再由和差化积公式变形，然后结合正弦函数性质可得所求零点个数．【详解】由于，因此，令，得或，因为，所以解得，解得，所以在共有2个零点和.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明为等差数列，即证为常数，对条件化简即可证明；（2）先求的表达式，求出，化简通项，再分奇偶讨论前项和即可.【详解】（1）由得，，所以，故是首项为1，公差为1的等差数列；（2）因为，所以由（1）可知，，则.所以.当为偶数时，当为奇数时，综上所述，.16．(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）分析甲、乙、丙三人各自被录取的概率，求得三人都没有被正式录取的概率，根据对立事件概率的求法求得至少有一人被该企业正式录取的概率；（2）易知X的所有可能取值为，分析其对应的事件，分别求得其概率，即可得到X的分布列，并求得X的数学期望.【详解】（1）设事件表示“甲被该企业正式录取”，事件表示“乙被该企业正式录取”，事件表示“丙被该企业正式录取”.则由题可知.事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正式录取”，则，所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率．（2）X的所有可能取值为，对应事件分别为“三人均未通过笔试”，“三人中恰有一人通过笔试”，“三人中恰有两人通过笔试”，“三人均通过笔试”.，，，．所以X的分布列为X300450600750P数学期望．17．(1)证明见解析(2)（i）；（ii）【分析】（1）取的中点，连接，利用三角形中位线定理证且，由面面平行判定定理以及线面平行性质定理得证．（2）（i）先由平面PDE⊥平面BCDE建立空间直角坐标系，确定各点坐标；再设球心O，利用球心到距离相等列方程，求出球心坐标与半径，最后用球的表面积公式计算．（ii）在已建坐标系中，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算两平面法向量夹角的余弦值，即为平面夹角的余弦值．【详解】（1）取的中点，连接，因为分别为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，因为为的中点，所以QN为梯形BCDE的中位线，则，又平面，平面，所以平面，又平面，，所以平面平面，因为平面MQN，所以平面PBC；（2）取的中点，连接，则，，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以，以为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系．则，，（i）易知梯形的外接圆的圆心为，因为平面，所以设，由得，解得，所以球O的半径的平方，故球O的表面积为.（ii），，，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，由（1）可知，平面，则为平面的一个法向量，所以．故平面与平面的夹角的余弦值为．18．(1)(2)(3)【分析】（1）求导得，利用导函数分析单调性，从而得到极小值.（2）将不等式转化为当时，恒成立；令，则只需即可，令，得到.分和两种情况讨论即可.（3）不等式即，设，利用导数研究其单调性且，所以当时，，当时，，当时，，故不等式的解集为.【详解】（1）函数定义域为，求导得；令，得到；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；因此，在处取得极小值.（2）当时，恒成立，即恒成立；令，则，令，得到.当，即时，在上，函数单调递增，满足条件；当，即时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数在处有最小值；令，则，所以在上单调递减；，即，不满足条件；综上所述，实数的取值范围是.（3）不等式即，设，得到；令，得到，且当时，，单调递减；当时，，单调递增；，所以当时，，当时，，当时，；故不等式的解集为.19．(1)(2)（i）不存在，理由见解析；（ii）或【分析】（1）由渐近线互相垂直得到，双曲线方程和圆方程联立方程组解出即可得解；（2）（i）显然直线斜率不存在时结论不成立，设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到，利用点斜式写出直线的方程为，直线的方程为，从而得到点M的坐标和点N的坐标，若点在以线段MN为直径的圆上，则，利用数量积求出，解得的值，（ii）利用两点间距离公式求出，解得的值，利