深圳大学数学模型讲座

数学模型与数学建模——数学走向应用必经之路，启迪数学心灵必胜之路第1页什么是数学模型你常见模型玩具、照片、房屋模型……~实物模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型：为了一定目标，对原型主要特征进行简化、抽象得到一个低代价近似替换物。第2页什么是数学模型数学模型：经过抽象和简化，使用数学语言对实际对象刻画，方便于人们更深刻地了解所研究对象,从而更有效地处理实际问题。是指对于现实世界某一特定对象，为了某个特定目标，做出一些必要简化和假设，利用适当数学工具得到一个数学结构。数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法数学问题。第3页什么是数学模型总之，数学模型是对实际问题一个抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物本质属性与其内在联络。是用数学语言表示实际问题一个低代价近似,这一模型对于实际问题处理应有主要启发作用。第4页什么是数学建模是一个数学思索方法，是“对现实现象经过心智活动结构出能抓住其主要且有用特征表示，经常是形象化或符号表示。”从科学，工程，经济，管理等角度看数学建模就是用数学语言和方法，经过抽象，简化建立能近似刻画并“处理”实际问题一个强有力数学工具。是建立数学模型过程。第5页你熟悉数学模型——“航行问题”甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速度是多少?解：用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解x=20y=5答：船速每小时20千米/小时.第6页你身边数学模型：购房贷款作为房产企业代理人，你要快速准确回答客户各方面问题。现在要制作一个软件，依据客户所选房屋建筑面积、每平方米单价、首付百分比，贷款种类、贷款期限、还款方式等信息计算以下信息：房款总额、首付款额、月还款额等。第7页分析与假设贷款种类:[1]商业[2]公积金[3]组合(普通)还款方式:等额本息,等额本金假设首付百分比、贷款期限符合政府要求假设自借款日一个月后，每个月固定时间还款不考虑贷款利率改变（当前计算结果贷款利率改变以后失效）第8页数学建模房款总额T=建筑面积S×每平方米单价R首付款额F=房款总额T×首付百分比p考虑组合贷款(其它为特例)。设公积金贷款A

T-F元，那么商业贷款为B=T-F-A元设后台变量：公积金贷款N1月，年利率r1，商业贷款N2月，年利率r2。月还款额怎么算？第9页等额本息情形设公积金月还M元，第n个月公积金贷款欠款xn.那么xn=xn-1(1+r1/12)-M,计算得xn=xn-2(1+r1/12)2-M(1+r1/12)-M

=…=x0(1+r1/12)n-M[(1+r1/12)n-1+…+1]因为x0=A,xN1=0.那么A

(1+r1/12)N1-12M[(1+r1/12)N1-1]/r1=0这么M=Ar1(1+r1/12)N1

/12/[(1+r1/12)N1-1]同理能够计算商业贷款月还款额第n月还款额公式第10页等额本金情形月还本贷款本金／还款月数，利息月月清月还款额＝（贷款本金／还款月数）＋（所欠本金×当月利率）第一个月公积金月还A/N1+Ar1/12第二个月公积金月还A/N1+(A-A/N1)r1/12….第N1个月公积金月还A/N1+A[1-(N1-1)/N1]r1/12第n月还款额公式第11页后继工作/例子编写软件(界面\计算)写说明书例子:100平米,单价5000元,首付20%,公积金10万,期限120月,商业利率7.56%*0.85,公积金利率5.04%(年8月22日).[T,F,M]=hmorgage07(100,5000,0.2,100000,120,120,1)等额本息:4458元/月(总还53.5万)等额本金:5360，5343，…,3350元/月(总还52.3万)第12页现实状况数学建模是一门新兴学科，20世纪70年代初诞生于英、美等当代工业国家。在短短几十年历史瞬间辐射至全球大部分国家和地域。80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学建模课程，伴随数学建模教学活动（包含数学建模课程、数学建模竞赛和数学（建模）试验课程等）开展，这门课越来越得到重视，也深受广大学生喜爱。第13页原因：一是科学技术进入了迅猛发展时期，信息科学飞速发展，各个学科相互交融，对每个科学工作者提出了更高要求，他们不但要全方面掌握本专业知识，还要有广博知识视野，才能适应多学科综合研究需要。数学思想及数学方法正日益广泛地渗透到科学研究、工程设计、管理决议、商务运作、经济分析等各个领域。成为强有力载体和工具。第14页原因（续）：二是因为新技术尤其是计算机技术飞速发展，为数学应用到实际问题提供了强有力工具，而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通。社会对大学生要求越来越高，大学生毕业后要适应社会需求，一到工作岗位就能创造价值。近几年全世界所发表科技论文中，使用频率最高关键词即为——数学模型第15页数学建模竞赛起源与历史

美国工业与应用数学学会在1985年发起一项大学生竞赛活动，目标在于激励学生学习数学主动性，提升学生建立数学模型和利用计算机技术处理实际问题综合能力，勉励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创精神及合作意识，推进大学数学教学体系、教学内容和方法改革。第16页数学建模竞赛起源与历史（续）我国大学生数学建模竞赛是由教育部高教司和中国工业与数学学会主办、面向全国高等院校、每年一届通讯竞赛。其宗旨是：创新意识、团体精神、重在参加、公平竞争。1992年在中国创办自从创办以来，得到了教育部高教司和中国工业与应用数学协会得力支持和关心，展现出快速发展发展势头第17页全美大学生数学建模竞赛（MCM）创办于1985年，由美国运筹与管理学会，美国工业与应用数学学会和美国数学会联合举行，开始主要是美国大学参赛，90年代以来有来自中国、加拿大、欧洲、亚洲等许多国家大学参加，逐步成为一项全球性学科竞赛第18页全美大学生数学建模竞赛（MCM）（续）1985开始MathematicalCompetitioninModelling1987改为MathematicalContestinModelling简称：MCMOutstandingWinnerMeritoriousWinnerHonorableMentionSuccessfulParticipant第19页全美大学生数学建模竞赛（MCM）（续）宗旨：勉励大学师生对范围并不固定各种实际问题，给予说明、分析并指出解法；规则：每对三人，可配一名指导教师（教练），参赛者在自己学校答卷，能够使用包含计算机、软件包、教科书、杂志、手册之类外部资源，还能够向教练以外教授咨询；时间：每年2或3月某周末第20页全美大学生数学建模竞赛（MCM）（续）题目：由工业和政府等部门工作数学家提出提议，由命题组选择，没有固定范围实际问题；要求：四天（96小时）内要以有清楚格式写出解法论文：1、问题适当说明和重新叙述；2、假定和假设清楚说明；3、对为何要用所述模型分析；4、模型设计；5、怎样测试模型讨论；8、模型优缺点讨论，包含误差分析；以及9、放在论文最前面不超出一页论文提要等。第21页全美大学生数学建模竞赛（MCM）（续）上一年11月份报名，每个大学限报4队，每个系限报2队，2月上旬比赛，4月份评奖。9篇优异论文登载在“TheJournalofUndergraduateMathematicsandItsApplications（UMAP）”专刊上。详见/第22页交叉学科建模竞赛（ICM）1999年从MCM分化出来，与MCM时间完全同时。区分是题目需要几个背景学科知识，每个大学限报3队，每个队组员必须来自不一样系。详见第23页评卷标准假设合理性建模创造性结果正确性文字表示清楚程度第24页中国大学生数学建模竞赛CUMCM由中国工业与应用数学协会(CSIAM)发起组织每年一度大学生数学建模比赛。比赛时间普通为每年9月第四个周末，每个参赛队由三名队员组成要求在三天时间内从给出两个题目中选择一个(普通是连续模型和离散模型各一个)，利用数学和计算机对问题进行表述、分析、计算，得出可行，有创造结果、方案、设计，并撰写汇报。队员在比赛中能够使用一切非人力资源，包含计算机、网络、图书馆，但不能与三人以外任何人针对试题进行交流。第25页中国大学生数学建模竞赛CUMCM基本上是MCM翻版，所不一样是：1、政府部门（教育部门）组织；2、时间为9月下旬第一周末（72小时）；3、全部专业本、专科生都可参加；4、A、B题本科生（除农、林、医）做，C、D题专科生、农、林、医专业学生做。第26页中国大学生数学建模竞赛CUMCM这是一项非常含有创造和挑战活动，经过数学建模锻炼，最主要是学会一个责任感和敬业精神，一个创造，一个团体精神，你能够在计算机编程、数学软件使用、论文写作，口语表示、组织调度能力等各个方便得到最大程度展现和锻炼，而这些内容正是国内高等教育中盲点。第27页中国大学生数学建模竞赛CUMCMCUMCM评奖结果普通设置三个等级，一个是全国奖，一个是省级奖，一个是成功参赛奖。全国奖又有1、2等之分，省级奖品也分为1、2、3等奖。第28页参加数模竞赛通常需要知识数学建模竞赛包括到计算机科学、软件编程、高等数学、线性代数、概率统计、计算方法、运筹学、图论、微分方程还有与计算机知识相交叉知识：计算机模拟、数学软件等方面知识，与其它各种单科学科竞赛有很大区分。第29页参加数模竞赛通常需要知识计算机利用能力，普通来说凡参加过数模竞赛同学都能熟练地应用字处理软件“Word”(97或)，掌握电子表格“Excel”使用；“Mathematical”软件使用，最好还具备语言能力。这些知识大部分都是学生自己利用课余时间学习。第30页参加数模竞赛通常需要知识论文写作能力，前面已经说过考卷全文是论文式，文章书写有比较严格格式。我们很多大专生做选择题时候是“高手”不过要清楚地表示自己想法就困难重重了，有时一个问题没说清楚学生就又说另一个问题等等，评卷教师们有一个共识，一遍文章用10来分钟阅读依然没有引发兴趣话，这一遍文章就很有可能被打入冷宫了。第31页参加数模竞赛通常需要知识数学建模竞赛不一样于其它各种含有单个学科竞赛，如：数学竞赛、物理竞赛、计算机程序设计竞赛等竞赛，因为这些竞赛只包括到一门学科、甚至一门课程知识，而数学建模竞赛包括到数学学科、计算机学科等其它许多学科知识。学生要想在数学建模竞赛中取得好成绩，除了含有以上数学知识外，还要有很好计算机编程能力、网上查阅资料能力及论文写作能力等，另外，他们还应有接触各种新知识环境和喜好。第32页参加数模竞赛通常需要知识通常数学建模题目只给出问题描述和要到达目标，参赛学生要做事情是将问题用数学语言转化成数学问题，然后在数学背景下使用计算机或数学软件来求解，最终再依据所得解来解释和检验所给实际问题。与数学竞赛不一样是，数学建模赛题没有标准正确答案，试卷评分标准是看学生处理问题和创新能力。所以要做好一个数学建模问题并不是一件轻易事情，需要学生很多知识以及对所学各种知识综合利用，对学生是一个挑战。第33页参加数模竞赛通常需要知识数学建模竞赛是教育部认可少数国家级竞赛之一，我国还有很多省市常把每年一次全国大学生数学建模竞赛结果作为衡量高校教学水平一个主要指标,而在考研和毕业找工作方面,很多硕士导师或应聘单位也更愿意要从事过数学建模竞赛学生。第34页数学建模竞赛竞赛形式数学建模竞赛形式也与通惯用一支笔、一张纸、一个人完成数学竞赛不一样，它是开卷通讯比赛，能够自由搜集资料、调查研究，随意使用计算机、软件和互联网。普通由三名学生组成一队，在三天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程论文。这种方式有利于培养参赛选手勇于创新、理论联络实际学风和相互协调、团结合作精神，有利于优异人才脱颖而出。数学建模是毅力一个考证，是知识一次暴发。假如您在完成学业同时，注意培养自己综合研究能力，这项竞赛可是一个不可多得机会。第35页数学建模竞赛评卷标准数学建模竞赛普通没有事先设定标准答案，而留有较大灵活性供参赛者发挥创造能力。由多名教授对于参赛论文进行从问题分析及假设合理性，模型正确性和创造性，运算结果合理性，结论和讨论科学性，论文表示清楚性等方面来评定。第36页数学软件介绍美国Mathwork企业于1984年推出“MatrixLaboratory”（缩写为Matlab）软件包是当今世界上最好科学计算工具。当前最新7.x版本（windows环境）是一个功效强、效率高、便于进行科学和工程计算交互式软件包。它集应用程序和图形于一体，含有极强直观显示功效，因而非常便于使用。Matlab软件包中包含有科研和工程设计中惯用各种数值计算方法计算程序。第37页数学软件介绍大量基本数值计算可在Matlab环境下直接进行，其语言表述形式极其简练，几乎与通常数学表示形式相同，不需像传统算法语言那样进行编程。Matlab简单编程语言又使你能够把它不一样计算程序连接起来完成复杂数值计算过程。Matlab能够在计算机上直接输出结果和精美图形显示，Matlab大大降低了对使用者数学基础和计算机语言知识要求第38页数学软件介绍Matlab语言表述形式和其数学表示形式相同，不需要按传统方法编程。不过，Matlab作为一个新计算机语言，要想利用自如，充分发挥它威力，也需先系统地学习它。但因为使用Matlab编程运算与人进行科学计算思绪和表示方式完全一致，所以不象学习其它高级语言--如Basic、Fortran和C等那样难于掌握。实践证实，你可在几十分钟时间内学会Matlab基础知识，在短短几个小时使用中就能初步掌握它.从而使你能够进行高效率和富有创造性计算。Matlab大大降低了对使用者数学基础和计算机语言知识要求，而且编程效率和计算效率极高，还可在计算机上直接输出结果和精美图形拷贝，所以它确实为一高效科研助手。自推出后即风靡美国，流传世界。第39页全国大学生数学建模竞赛题网易杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题DNA序列分类

年6月，人类基因组计划中DNA全序列草图完成，预计年能够完成准确全序列图，今后人类将拥有一本统计着本身生老病死及遗传进化全部信息“天书”。这本大自然写成“天书”是由4个字符A，T，C，G按一定次序排成长约30亿序列，其中没有“断句”也没有标点符号，除了这4个字符表示4种碱基以外，人们对它包含“内容”知之甚少，难以读懂。破译这部世界上最巨量信息“天书”是二十一世纪最主要任务之一。在这个目标中，研究DNA全序列含有什么结构，由这4个字符排成看似随机序列中隐藏着什么规律，又是解读这部天书基础，是生物信息学（Bioinformatics）最主要课题之一。第40页DNA序列分类即使人类对这部“天书”知之甚少，但也发觉了DNA序列中一些规律性和结构。比如，在全序列中有一些是用于编码蛋白质序列片段，即由这4个字符组成64种不一样3字符串，其中大多数用于编码组成蛋白质20种氨基酸。又比如，在不用于编码蛋白质序列片段中，A和T含量尤其多些，于是以一些碱基尤其丰富作为特征去研究DNA序列结构也取得了一些结果。另外，利用统计方法还发觉序列一些片段之间含有相关性，等等。这些发觉让人们相信，DNA序列中存在着局部和全局性结构，充分发掘序列结构对了解DNA全序列是十分有意义。当前在这项研究中最普通思想是省略序列一些细节，突出特征，然后将其表示成适当数学对象。这种被称为粗粒化和模型化方法往往有利于研究规律性和结构。第41页DNA序列分类作为研究DNA序列结构尝试，提出以下对序列集合进行分类问题：

1）下面有20个已知类别人工制造序列（见下页），其中序列标号1—10为A类，11-20为B类。请从中提取特征，结构分类方法，并用这些已知类别序列，衡量你方法是否足够好。然后用你认为满意方法，对另外20个未标明类别人工序列（标号21—40）进行分类，把结果用序号（按从小到大次序）标明它们类别（无法分类不写入）：A类

；

B类

。

请详细描述你方法，给出计算程序。假如你部分地使用了现成分类方法，也要将方法名称准确注明。这40个序列也放在以下地址网页上，用数据文件Art-model-data标识，供下载：第42页B题

钢管订购和运输要铺设一条输送天然气主管道,如图一所表示(见下页)。经筛选后能够生产这种主管道钢管钢厂有。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂假如负担制造这种钢管，最少需要生产500个单位。钢厂在指定时限内能生产该钢管最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万元，以下表：第43页钢管订购和运输1234567800800100030001601551551601551501601单位钢管铁路运价以下表：里程(km)≤300301～350351～400401～450451～500运价(万元)2023262932里程(km)501～600601～700701～800801～900901～1000运价(万元)3744505560第44页钢管订购和运输1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。（1）请制订一个主管道钢管订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）请就（1）模型分析：哪个钢厂钢管销价改变对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管产量上限改变对购运计划和总费用影响最大，并给出对应数字结果。（3）假如要铺设管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道组成网络，请就这种更普通情形给出一个处理方法，并对图二按（1）要求给出模型和结果。第45页钢管订购和运输第46页数学建模基本方法机理分析：依据对客观事物特征认识，找出反应内部机理数量规律测试分析：将对象看作“黑箱”,经过对量测数据统计分析，找出与数据拟合最好模型二者结合：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数第47页数学建模普通步骤模型准备模型假设模型组成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目标搜集相关信息掌握对象特征形成一个比较清楚‘问题’第48页数学建模普通步骤模型假设针对问题特点和建模目标作出合理、简化假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽可能采取简单数学工具第49页数学建模普通步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果误差分析、统计分析、模型对数据稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型合理性、适用性模型应用第50页数学建模全过程现实对象信息数学模型现实对象解答数学模型解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证依据建模目标和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当数学方法求得数学模型解答将数学语言表述解答“翻译”回实际对象用现实对象信息检验得到解答现实世界数学世界实践理论实践第51页数学模型分类1）按变量性质分：离散模型确定性模型线性模型单变量模型连续模型随机性模型非线性模型多变量模型2）按时间改变对模型影响分静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型第52页3）按模型应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4）按建立模型数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。第53页5）按建模目标分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决议模型、控制模型等。6）按对模型结构了解程度分白箱模型：其内在机理相当清楚学科问题，包含力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚现象和问题，包含生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚现象，如生命科学、社会科学等。第54页数学应用题与数学建模区分数学应用题数学建模问题起源数学教学实际背景问题条件明确清楚不完全明确，需要作深入了解或假设处理方法各种各种问题结论有标准答案有参考解答但无标准答案。不一样假设下有不一样模型和结论第55页怎样学习数学建模数学建模——技术+艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用准则想像力洞察力判断力学习、分析、评价、改进他人作过模型亲自动手，认真作几个实际题目第56页背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增加概况中国人口增加概况年1908193319531964198219901995人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改变规律控制人口过快增加数学建模示例：人口增加第57页指数增加模型——马尔萨斯提出(1798)惯用计算公式x(t)~时刻t人口基本假设

:人口(相对)增加率r是常数今年人口x0,年增加率r