(2025年)平抛圆周结合例题(带答案)

(2025年)平抛圆周结合例题(带答案)某物理兴趣小组设计了一个“平抛-圆周”组合实验装置，用于研究物体在不同运动阶段的力学特性。装置由倾角为θ的光滑斜面、水平平台、四分之一圆形光滑轨道（固定在水平地面上）组成，斜面与水平平台在A点平滑连接，平台末端B点与圆形轨道的最低点C在同一竖直线上，B点距C点的水平距离为x，竖直高度为h。质量为m的小滑块从斜面上某位置由静止释放，经A点进入水平平台，到达B点后做平抛运动，恰好从圆形轨道的最低点C沿切线方向进入轨道（圆形轨道半径为R，C点为轨道最低点，D点为最高点）。已知θ=30°，x=1.2m，h=0.8m，R=0.5m，m=0.2kg，g取10m/s²，忽略空气阻力和连接处的能量损失。问题1：求滑块到达B点时的速度大小v₀滑块从B点到C点做平抛运动，平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。设平抛时间为t，则水平位移满足：x=v₀·t ①竖直位移满足：h=(1/2)gt² ②由②式可得：t=√(2h/g)=√(2×0.8/10)=√(0.16)=0.4s将t=0.4s代入①式，解得：v₀=x/t=1.2/0.4=3m/s问题2：求滑块从B点平抛到C点的时间t，以及圆形轨道在C点的切线方向与竖直方向的夹角α（结果用反三角函数表示）平抛时间t已由问题1求得为0.4s。滑块到达C点时的速度由水平分速度v₀和竖直分速度v_y组成，竖直分速度：v_y=gt=10×0.4=4m/s速度矢量的方向即为平抛轨迹在C点的切线方向，该方向与竖直方向的夹角α满足：tanα=水平分速度/竖直分速度=v₀/v_y=3/4因此，α=arctan(3/4)问题3：滑块进入圆形轨道后，运动到D点时，轨道对滑块的作用力大小为F，求F的值滑块从B点到C点的平抛过程中，机械能守恒（忽略空气阻力），因此到达C点时的速度大小v_C可由速度的合成求得：v_C=√(v₀²+v_y²)=√(3²+4²)=5m/s由于圆形轨道光滑，滑块从C点运动到D点的过程中机械能守恒。以C点为重力势能零点，D点的高度为2R（C为最低点，D为最高点，轨道半径R，故D点比C点高2R），则：(1/2)mv_C²=(1/2)mv_D²+mg·2R代入数据解得：(1/2)×0.2×5²=(1/2)×0.2×v_D²+0.2×10×2×0.52.5=0.1v_D²+20.1v_D²=0.5v_D²=5v_D=√5≈2.236m/s在D点，滑块受到重力mg和轨道对滑块的作用力F（方向竖直向下，若滑块对轨道有压力，则F为轨道对滑块的支持力，方向向上，此处需根据运动方向判断）。根据圆周运动向心力公式，向心力由重力和轨道作用力的合力提供：mg+F=mv_D²/R解得：F=(mv_D²/R)mg=(0.2×5/0.5)0.2×10=(2)2=0N问题4：若将圆形轨道改为动摩擦因数μ=0.3的粗糙轨道（其他条件不变），滑块从C点进入轨道后，仅在轨道上运动一周（即从C→D→C），求滑块再次到达C点时的速度大小v₁（保留两位小数）滑块在粗糙轨道上运动时，摩擦力做功与路径长度有关。圆形轨道周长为2πR，滑块运动一周的路径长度为2πR。摩擦力大小f=μN，其中N为轨道对滑块的正压力。由于滑块在圆周运动中不同位置的N不同（与速度和位置有关），需用微元法或动能定理近似计算。但考虑到题目简化要求，可假设摩擦力的平均值为μmg（仅适用于轨道为水平的情况，实际圆形轨道中N随位置变化，此处为简化，采用等效法：摩擦力做功等于μ乘以滑块对轨道的平均正压力乘以路径长度）。更准确的方法是利用动能定理，考虑摩擦力做功的绝对值为W_f=μ∫N·ds，其中ds为弧长元。对于圆形轨道，任意位置θ（从C点开始，θ为与竖直方向的夹角），滑块的速度v(θ)满足机械能守恒（含摩擦力做功）：(1/2)mv_C²=(1/2)mv(θ)²+mgR(1cosθ)+W_f(θ)但由于摩擦力方向始终与运动方向相反，N在θ位置时由向心力公式：Nmgcosθ=mv(θ)²/RN=mgcosθ+mv(θ)²/R因此，摩擦力做功的微元为dW_f=-f·ds=-μN·R·dθ（ds=R·dθ）总摩擦力做功W_f=-μ∫₀²π[mgcosθ+mv(θ)²/R]R·dθ=-μR[mg∫₀²πcosθ·dθ+(m/R)∫₀²πv(θ)²·dθ]由于∫₀²πcosθ·dθ=0，因此：W_f=-μR·(m/R)∫₀²πv(θ)²·dθ=-μm∫₀²πv(θ)²·dθ但此积分难以直接计算，故采用近似方法：假设滑块在运动过程中速度变化不大，取平均速度v_avg≈(v_C+v₁)/2，平均正压力N_avg≈mg（因最高点和最低点的N分别为0和mv_C²/R+mg，平均后约为mg+mv_avg²/(2R)），但为简化，题目可能期望使用动能定理，考虑摩擦力做功为μ乘以滑块对轨道的总压力乘以周长。另一种简化思路：由于轨道粗糙，滑块运动一周后回到C点，重力势能变化为0（起点和终点高度相同），动能变化等于摩擦力做功的负值：(1/2)mv₁²(1/2)mv_C²=-W_f而W_f为摩擦力做功的绝对值，等于μ乘以滑块在轨道上各点的正压力的平均值乘以路径长度。对于圆形轨道，正压力的平均值可近似为滑块在轨道上的平均向心力加上平均重力分力。但更简单的处理是假设摩擦力做功与路径成正比，且摩擦力大小为μmg（仅适用于水平轨道，此处为近似），则：W_f=μmg·2πR代入数据：W_f=0.3×0.2×10×2×π×0.5≈0.3×0.2×10×3.14≈1.884J根据动能定理：(1/2)×0.2×v₁²(1/2)×0.2×5²=-1.8840.1v₁²2.5=-1.8840.1v₁²=0.616v₁²=6.16v₁≈2.48m/s（注：此近似方法存在误差，实际应考虑正压力随位置的变化，但题目要求保留两位小数，故采用此简化计算。）问题5：若在水平平台上铺设长度为L=0.5m的粗糙段（动摩擦因数μ'=0.2），滑块仍从斜面上同一位置由静止释放，求滑块能否到达圆形轨道的D点（需通过计算说明）首先，确定滑块在斜面上的释放位置。原问题中，滑块从斜面由静止释放，经光滑斜面和水平平台到达B点时速度为3m/s（问题1结果），说明滑块在光滑斜面和水平平台上的机械能守恒，即滑块在斜面上的初始高度H满足：mgh_斜=(1/2)mv₀²其中h_斜为滑块在斜面上的初始位置相对于A点的高度（斜面倾角θ=30°，设滑块在斜面上滑行的距离为s，则h_斜=s·sinθ）。原问题中无摩擦时，滑块到达B点的速度v₀=3m/s，故：(1/2)mv₀²=mgH_0（H_0为初始位置相对于B点的高度，因斜面与水平平台在A点连接，A点到B点为水平平台，故H_0等于斜面上的高度h_斜）即H_0=v₀²/(2g)=3²/(2×10)=0.45m当水平平台上有粗糙段时，滑块从斜面释放后，在斜面上的运动仍为光滑（题目未提及斜面粗糙），但在水平平台的粗糙段（长度L=0.5m）上会克服摩擦力做功。设滑块到达B点时的速度为v₁'，则根据动能定理：从释放点到B点的过程中，重力做功为mgH_0，摩擦力做功为-μ'mgL（水平平台粗糙段的摩擦力），动能变化为(1/2)mv₁'²0因此：mgH_0μ'mgL=(1/2)mv₁'²两边除以m：gH_0μ'gL=(1/2)v₁'²代入数据：10×0.450.2×10×0.5=0.5v₁'²4.51=0.5v₁'²3.5=0.5v₁'²v₁'²=7v₁'≈2.6458m/s接下来，滑块从B点平抛到C点的过程与问题1类似，平抛时间t=0.4s（由h=0.8m决定），到达C点时的速度v_C'由水平分速度v₁'和竖直分速度v_y=gt=4m/s合成：v_C'=√(v₁'²+v_y²)=√(7+16)=√23≈4.796m/s滑块进入粗糙圆形轨道（问题4中轨道动摩擦因数μ=0.3），需判断能否到达D点。到达D点的条件是滑块在D点的速度v_D'满足圆周运动的最小速度要求（即重力提供向心力时的速度v_min=√(gR)=√(10×0.5)=√5≈2.236m/s）。考虑滑块从C点到D点的运动，若轨道光滑，机械能守恒时的速度v_D0=√(v_C'²4gR)=√(234×10×0.5)=√(23-20)=√3≈1.732m/s，小于v_min，说明即使轨道光滑，滑块也无法到达D点（因v_D0<v_min时，滑块会在到达D点前脱离轨道）。但题目中轨道粗糙，摩擦力会进一步消耗动能，因此滑块更不可能到达D点。具体验证：假设滑块能到达D点，根据动能定理（含摩擦力做功），从C到D的路径长度为半圆（πR），摩擦力做功W_f'=-μ∫N·ds（N为正压力）。在D点，若滑块未脱离轨道，正压力N≥0，向心力由重力和N提供：mg+N=mv_D'²/RN=mv_D'²/R