2025-2026学年天津市西青区杨柳青一中高二（下）第一次段考数学试卷（4月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市西青区杨柳青一中高二（下）第一次段考数学试卷（4月份）一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。1.下列求导运算正确的是（）A. B.

C. D.（x2cosx）′=-2xsinx2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=sin2x,则=（）A. B. C.-1 D.1（13.5人排成一排，甲与乙不相邻，不同排法数是（）A.72 B.60 C.48 D.364.已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为（）A.2 B. C.- D.-25.函数f（x）的导函数f′（x），满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）-lnx，则f′（2）的值为（）A. B.- C. D.-6.已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x-2）f'（x）＞0的解集为（）A.（-∞，-2）∪（1，+∞）

B.（-∞，-2）∪（1，2）

C.（-∞，1）∪（2，+∞）

D.（-1，1）∪（2，+∞）7.将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，则不同的安排方案共有（）A.12 B.18 C.24 D.368.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是A. B. C. D.9.已知定义在R上的函数f（x）的导数为f′（x），f（1）=e,且对任意的x满足f'（x）-f（x）＜ex，则不等式f（x）＞xex的解集是（）A.（-∞，1） B.（-∞，0） C.（0，+∞） D.（1，+∞）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.若，则实数x的值为

.11.函数f（x）=2lnx-x的单调增区间为

.12.已知x=1是函数f（x）=x3-mx2+（m2-6）x-1的一个极值点，则m=

．13.由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数有

个．（用数字作答）14.已知在[m，m+1]上不单调，则实数m的取值范围是

．15.已知定义在R上的函数，若函数k（x）=f（x）-ax恰有2个零点，则实数a的取值范围是

.三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题11分)

已知f（x）=-x3+3x2+9x+a,

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求函数y=f（x）在区间[0，4]的最大值和最小值；

（3）若方程f（x）=0有3个不同的实根，求实数a的取值范围.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，M是PA的中点，平面ABCD，且CD=3，AD=PD=2，AB=1.

（1）求证：PA⊥CD；

（2）求直线PA与平面CMB所成角的正弦值；

（3）求平面PAB与平面CMB夹角的大小.

​​​​​​​18.(本小题15分)

已知等差数列{an}前n项和为Sn（n∈N+），数列{bn}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）若，设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n．19.(本小题17分)

已知椭圆C：的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点M，线段AB的垂直平分线与AB交于点P，与y轴交于点Q，O为坐标原点，如果∠MOP=2∠MQP，求k的值.20.(本小题17分)

已知函数f（x）=xlnx,g（x）=（a+1）x-a.

（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的极值；

（2）若存在x∈[1，e]时，使2f（x）≥-x2+ax-3成立，求a的取值范围；

（3）若不等式h（x）≤（x-a-2）e（x-1）+a对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】A

10.【答案】2或6

11.【答案】（0，2）

12.【答案】-1

13.【答案】52

14.【答案】（1，2）∪（3，4）

15.【答案】

16.【答案】单调递减区间（-∞，-1）和（3，+∞）；单调递增区间（-1，3）

最大值27+a，最小值a

（-27，5）

17.【答案】解：（1）证明：

AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，

AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

则PD⊥AD，PD⊥CD，

以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

CD=3，AD=PD=2，

AB=1，M是PA的中点，

则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，3，0），

P（0，0，2），M（1，0，1），B（2，1，0），

故，

则，

所以，即PA⊥CD；

（2）C（0，3，0），B（2，1，0），

P（0，0，2），M（1，0，1），

，

，

设平面CMB的法向量，

则，即，

令y=1，则x=1，z=2，

故平面CMB的一个法向量为，

，

设直线PA与平面CMB所成的角为θ，

，

则​​​​​​​

，

所以PA与平面CMB所成角的正弦值为；

（3）B（2，1，0），P（0，0，2），A（2，0，0），

，

设平面PAB的法向量，

则，即，

不妨令a=1，则c=1，

故平面PAB的一个法向量为，

，

设平面PAB与平面CMB夹角为α，则α为锐角，

∴

，

∴，

故平面PAB与平面CMB夹角为．

18.【答案】解：（1）设公差为d的等差数列{an}前n项和为Sn（n∈N+），数列{bn}是以公比为q的等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3，

所以，解得；

故an=2n+1，．

（2）由（1）得：，整理得；

所以+（5•22+9•24+...+（4n+1）•22n），

令，①；

，②；

①-②得：，

整理得，

故，

整理得．

19.【答案】解：（1）因为椭圆C的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为，

所以，

解得a=2，b=1，，

则椭圆C的方程为；

（2）联立，消去y并整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，

此时Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)＞0，

解得4k2-m2+1＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

所以，

则，，

所以直线PQ的方程为，

令x=0，解得，即，

因为M（0，m），所以点N，P在原点两侧，

因为∠MOP=2∠MQP，所以∠PQO=∠OPQ，

所以|OP|=|OQ|，

因为，，

所以（km≠0），

整理得16k2+1=9，

所以k=．

20.【答案】解：（1）由题意可得h（x）=xlnx-（a+1）x+a,x∈（0，+∞），

所以h′（x）=lnx-a,

令h′（x）=0，得x=ea，

所以在（0，ea）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

在（ea，+∞）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

所以h（x）极小值=h（ea）=a-ea，无极大值．

（2）由题意知2xlnx≥-x2+ax-3，即a≤2lnx+x+，

因为存在x∈[1，e]时，使2f（x）≥-x2+ax-3成立，

所以只需a≤2lnx+x+的最大值，

设h（x）=2lnx+x+，

h′（x）=+1-=，

所以在[1，e]上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

所以h（x）max=h（e）=2+e+，

所以a≤2+e+，

所以a的取值范围为（-∞，2+e+]．

（3）由已知得xlnx-（a+1）x≤（x-a-2）ex-1对任意x∈[1，+∞）恒成立，

即（lnx-a-1）elnx≤[（x-1）-a-1]ex-1，对任意x∈[1，+∞）恒成立，

令g（x）=（x-a-1）ex，

则g（lnx）≤g（x-1）对任意x∈[1，+∞）恒成立，

下面证明：0≤lnx≤x-1对任意x∈[1，+∞