2025-2026学年下学期广东省深圳高三数学二模（含解析）

2026年深圳市高三年级第二次调研考试数学满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,留存试卷,交回答题卡。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知z=21−iA.2B.3C.2D.52.已知集合A={−1,0A.{−1}B.{1}3.1+2x5的展开式中A.20B.40C.60D.804.设a,b∈R,则“3a>A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在平行四边形ABCD中,AE=2EDA.−53AB+236.已知直线l，平面α，满足l⊄αA.存在m⊂α,使得l/m相交B.存在mC.存在m⊂α,使得l.,m的夹角为π6D.存在7.双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1A.1+2B.18.已知函数fx=exx−1+x2A.0,+∞B.−12,+∞二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知函数fx=cosA.fx的最小正周期为B.fC.fx+5πD.fx的图象关于直线x=10.某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表:月份x销售额y/万元根据表中数据,通过最小二乘法求得的经验回归方程为y=0.32xA.变量y与x正相关B.tC.样本数据y的下四分位数为1.8D.当x=8时,y的预测值为11.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的高为2,且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点)，若过A.ABB.平面OAB⊥平面C.截面α的面积为8D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为13三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线y=3x+b是曲线y=13.已知等差数列an的前n项和为Sn,首项a1=20,S26为S14.已知圆O:x2+y2=1,A是圆O上的一动点,B2,0.若存在一个半径为r的圆与直线AB四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出说明、明过程或演算步骤。15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求sinB(2)若△ABC的面积为1，求△ABC16.(15分)已知函数fx(1)若fx在x=1时取极值，求a的值和(2)若不等式fx≥1对任意x≥117.(15分)已知抛物线C:y2=2px p>0的焦点为F,A,B是C上不同的两点(其中A在第一象限),点M−p2,0(1)求C的方程；(2)若Q为x轴上一点，且AQ=BQ(点Q与F不重合).从下面①②③中选取两个作为条件,①A,B,F三点共线;②AQ//注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.18.(17分)如图，已知圆锥PO的底面直径AB=2，其中O为底面圆心，母线PA=3，动点M从A点出发，在圆锥的侧面上绕轴PO一周后回到A(1)求L长度的最小值；(2)若点Q在圆O上，且PM=23−cosθPQ(θ是AQ⏜所对的圆心角，0≤θ≤2π)，(3)在(2)的条件下，可知L是平面曲线，记L所在平面为α，求平面MPO与α夹角余弦值的取值范围.第18题图19.(17分)一个微生物在如图所示3×3方格的培养皿中随机移动,每次均以相等概率移动到相邻的方格.方格C是初始位置，A是营养丰富的角落，每次到达方格A时，微生物进行一次繁殖.记该微生物第n次繁殖时所经过的总移动步数为ABABCBABA(1)求PX1(2)求EX1(3)求EX参考公式:1.若0<q<1，对于∀a,2.若ξ,η是离散型随机变量,则2026年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知z=21−iA.2B.3C.2D.5答案:A2.已知集合A={−1,0A.{-1}B.{1}C.{1,答案:C3.1+2x5的展开式中A.20B.40C.60D.80答案:B由于1+2x5的展开式的第3项为T4.设a,b∈R,则“3a>A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C5.在平行四边形ABCD中,AE=2EDA.−53AB+23答案:A由于BE=BA+6.已知直线l，平面α，满足l⊄αA.存在直线m⊂α,使得l,m相交B.存在直线mC.存在直线m⊂α,使得l//m所成角为π6D.存在直线答案:D对于选项A,若l//α,任意直线m对于选项B,若l与α相交,不存在直线m⊂α,使得l对于选项C,若l⊥α,任意直线m对于选项D,若l⊥α,任意直线若l//α,存在直线n⊂α,l//n若l与α相交,存在平面β,l⊥β,α∩β=n7.双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为A.1+2B.1答案:A解析在△OPF2中,则OF22+PF于是PF1=22c,由于P8.已知函数fx=exx−1+x2A.0,+∞B.C.−1,+∞答案:B由于函数y=x2−x当x>12时,函数y=x2−x单调递增,于是函数由fm<fm+2,则m+2二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知函数fx=cosA.fx的最小正周期为B.fC.fx+5π4为偶函数D.fx答案:AD10.某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表:月份x51.83.1根据表中数据,通过最小二乘法求得的经验回归方程为y=0.32xA.变量y与x正相关B.tC.样本数据y的下四分位数为1.8D.当x=8时,y的预测值为答案:ABD对于选项A,由于k=0.32>0,则变量y与对于选项B，由于x=3，则y=1.8+2.2对于选项C，由于5×14=1.25<2对于选项D，当x=8时，y311.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的高为2，且有内切球O(球O位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点)，若过A.ABB.平面OAB⊥平面C.截面α的面积为8D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为13答案:BCD如图,取上底面,下底面的中心分别为O1,O2,取AB,取MN中点I，于是四边形O1NMO2为矩形，则OO1=OO2=OI对于选项B，由于AB//A1B1，且AB⊂平面OAB，A1B1⊄平面OAB又因为A1B1⊂平面OA1B1,平面OA如图，连接OM，ON，由于OM⊥AB，ON⊥A1B1，则∠MON为平面由于ON=OM=2,MN=2,则OM对于选项C，如图，连接MO，交NC1于H，过点H作AB的平行线交A1C1，B1C1于E，F，由于△HO1O∼△MO2O于是EF=13AB=233,由于MH⊥AB,M为则四边形ABFE为等腰梯形,且MH=2MO=22对于选项D,由于正三角形△C1EF与正三角形于是C1EF−CAB而三棱柱的体积V=2×33=则较小部分与较大部分的体积之比为1314三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线y=3x+b是曲线y=答案:-1设切点为x0,2x0+lnx0,由于y′于是切点为1,2,则13.已知等差数列an的前n项和为Sn,首项a1=20,S26为S答案:260([260-270]均可)设an=20+n−1d,由那么S26≥S27S26≥S25S14.已知圆O:x2+y2=1,A是圆O上的一动点，B2,0.若存在一个半径为r的圆与直线AB答案:1.2如图,取圆的圆心为P,连接PB,PO,设点由于OP=4−r=于是点P的轨迹是以O,B焦点的椭圆,从而椭圆的中心为于是设点P的轨迹方程为:x−其中2a=42c=2,则b=由于直线AB始终与x2+y2=不妨设PB的倾斜角为θ,如图,θ>π2才能取到最小值,θ−π2由OH=要求PB的最小值,由焦半径公式:PB=四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求sinB(2)若△ABC的面积为1，求△ABC解:(1)由余弦定理:a2=b2+且A∈0,π,则A=由正弦定理:asin所以sinB=sinCsin又因为sin2B+cos2因为B∈0,π4解法2A=34π,于是c=由余弦定理:a2a由正弦定理,asinsin(2)解法1由(1)，A=34π，sinB=由正弦定理,asin于是b=S△a解法2由1,则12sinB=1如图，延长BA，过点C作CH⊥BA，由∠CAB=34于是设CH=AH=x,则S△ABC=12×16.(15分)已知函数fx(1)若fx在x=1时取极值，求a的值和(2)若不等式fx≥1对任意x≥1解:(1)由于fx则f′1=e−2+于是fx令tx=ex−令t′x=0则f′x在−∞,ln2上单调递减，所以fx在又因为f′x在ln2,+∞故fx在ln2,1上单调递减，在于是fx在x=1处取极小值，极小值为(2)解法1由于不等式fx≥1对任意x≥1即e−1+2−a下证:当a≤e时,e由于a≤e,则e令mx=ex−x2+2−ex于是mx≥m1=所以a∈(−∞,e]解法2令fx=ex−设gx=exx由于g′设g1x=ex−x−1,于是g1x≥g1于是gx在[1,+∞)上单调递增,于是gxmin解法3由于fxf′则f′x在[1,+∞)若f′1=e−a<0,a>e,由于f于是fx在1,x2上单调递减,则若f′1=e−a≥于是fx在[1,+∞)上单调递增,则fx≥f综上所述,a∈(−∞,e]解法4由fx=ex−设gxg若3−a≤1,则a≥2,则g则gxmax=g1=若3−a>1,令g′x>0,1≤x<3令g′x<0,x>3−a于是gxmax=g3−a=4设ht=et−t−1,h则ht>e−1−1>0,即综上所述:a∈(−∞,e]17.(15分)已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,A,B是C上不同的两点(其中A在第一象限),点M−p2,0(1)求C的方程；(2)若Q为x轴上一点，且AQ=BQ(点Q与F不重合).从下面①②③中选取两个作为条件,①A,B,F三点共线；②AQ//y注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解:(1)由题,A,B关于x轴对称,令y=p,则x=p2,于是直线在Rt△AFM中,有AM2=FM2则p=2，于是C的方程为:y(2)①②⇒③解法1:由题意知,AB与x轴不垂直,不妨设点Ax1,y1于是直线AB:y−y1若A,B,F三点共线,y1取A,B中点P,连接PQ,由QA=QB而kPQ则kPQ=kBM,PQ解法2:由题,AB与x轴不垂直,不妨设直线AB:x=ty+1,点Ax1,y1x取A,B中点P，连接PQ，由QA=QB，则而kPQ则kPQ=kBM，PQ//BM解法3:如图,设C的准线为l:x=−1,过点A,B分别作l的垂线,垂足为A1,B设直线AB的倾斜角为θ,于是AF=AA1即AF=21−cosθ在△QFA与△BFM中,取A,B中点P,连接于是FP=2cos2θ于是cosθ且QFBF且∠QFA=∠BFM，则△QFA∼△BFM，于是∠MBF=∠AQF解法1:由题,AB与x轴不垂直,不妨设点Ax则kAB于是直线AB:y−y1若A,B,F取A,B中点P,连接由于kPQ由PA=PB,PQ⊥AB,且4y1+y2则y1y2​2+则m=−y1y2=y124解法2:由题,AB与x轴不垂直,不妨设直线AB:x=ty+1,点Ax1,y1x取A,B中点P,连接由于kPQ由PA=PB,PQ⊥AB,且4y1+y2则y1y22+则m=−y1y2=y124解法3:如图,设C的准线为l:x=−1,过点A,B分别作l的垂线,垂足为A1,B1,设直线AB的倾斜角为即AF=21−cosθ在△BFM中,FM取A,B中点P,连接FQ=于是cosθ=BFMF=则FQ=在△QFA与△BFM中,QFBF且∠QFA=∠BFM,则△QFA∼△BFM,于是∠MBF=∠AQF=π2解法1:由题,AB与x轴不垂直,不妨设点Ax则kAB于是直线AB:y−y1取A,B中点P,连接PQ,由QA=QB而k由PQ⊥AB,MB⊥4y2−y1则直线AB:y1+y2y+4=解法2:由题,AB与x轴不垂直,不妨设直线AB:x=ty+m,点Ax1,x取A,B中点Q，连接PQ，由QA=QB，则而kPQ由PQ⊥AB,MB⊥4y2−y1=4y2y则直线AB:x=ty+1恒过定点F18.(17分)如图，已知圆锥PO的底面直径AB=2，其中O为底面圆心，母线PA=3，动点M从A点出发，在圆锥的侧面上绕轴PO一周后回到A(1)求L长度的最小值；(2)若点Q在圆O上，且PM=23−cosθPQ(θ是AQ所对的圆心角，0≤θ≤2π)，证明:(3)在(2)的条件下，可知L是平面曲线，记L所在平面为α，求平面MPO与α夹角余弦值的取值范围.解:(1)如图,沿圆锥PO的母线PA,将圆锥的侧面展开,得侧面展开图扇形PAA′,其中B为AA′⏜的中点,A′因为轨迹L在圆锥的侧面上,所以,在侧面展开图中,轨迹L是扇形PAA′上连接A′与又L是最短路径,而平面上连接两点之中,线段最短,所以,轨迹L是侧面展开图扇形PAA′上连接A′与A两点的线段,即线段由于AB=2，所以AA′的长度为2π，又PA=所以，在等腰三角形PAA′中，AA′=33，即(2)如图，在底面圆O中，过点O作OE⊥AB交圆O于点E，由于PO⊥平面ABE，则OA，OE，OP两两垂直，如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OP所在直线为于是A1,0,0则PM=于是x=2cosθ3于是AM=于是令n=22,0(3)解法1由(2)可知，n=22,0,设平面MPO的法向量为n1由于OP=则n于是平面MPO的一个法向量为n1设平面α与平面MPO所成角为α,于是cosα即平面α与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为0,解法2由(2)可知，平面α的法向量n=2由于Q在底面圆周上运动,则平面POM即平面POQ的法向量可以是底面上任意方向的向量,如图，在平面PAB内，过点O作ON⊥AF，则ON设平面MPO与平面α所成的角为θ,则∠NOA易知tan∠NOA=322综上,cosθ即平面α与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为0,19.(17分)一个微生物在如图所示3×3方格的培养皿中随机移动,每次均以相等概率移动到相邻的方格.方格C是初始位置,A是营养丰富的角落,每次到达方格A时,微生物进行一次繁殖.记该微生物第n次繁殖时所经过的总移动步数为ABABCBABA(1)求PX1(2)求EX1(3)求EX参考公式:1.若0<q<1,对于∀a2.若ξ,η是离散型随机变量,则解:(1)(1)微生物经历奇数次移动必然到达区域B,之后有23的概率到达区域A,有13的概率到达区域C,微生物在区域A或者区域C时,下一步必然到达区域P(2)微生物第1次到达区