2025-2026学年下学期河北省石家庄二中高一数学月考（含答案）

2025级高一年级4月月考数学试卷一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.)1.已知复数z=i3+i，则zA.3B.3iC.-3D.−2.已知向量a=t,1,b=2,−A.−23B.23C.3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若CA.7B.215C.374.已知点A1,3,B2,4,C0A.0,0C.12,5.在△ABC中,D是BC上靠近点C的三等分点,E为AD中点,若BE=xAB+A.23B.−45C.6.2025年10月,某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相,彰显中国汽车品牌创新实力.如图,此段长江的两岸近似看作平行,宽度约为1000米.若汽车从A地出发,以52km/h的静水速度向对岸航行,水流速度为5 km/h，要使航程最短，大约需要()时间(单位:A.43B.67.若复数z=满足z−1+2i=3A.3−5B.3+58.如图所示，等边△ABC的边长为2，D.位边AC上的一点，且AD=AAC，△ADE也是等边三角形，若BE⋅BDA.23B.C.34D.二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)9.下列各式的运算结果是纯虚数的是()A.i1+C.8+6i10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是A.若A=30∘,b=4,a=3，则C.若tanAtanB>1，则△ABC为锐角三角形D.若a11.已知△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，已知b=4,c=6，△ABC的面积S满足A.S=6C.AO=4三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共计15分.)12.已知A2,3，B4,−3，点P在线段AB的延长线上，且AP13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，acosC+3四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c(2)若c=7a，求角16.(15分)如图,Rt△ABC中,∠C=90∘,BN与CM相交于点P.(1)若CP=λCM，求(2)求∠MPN17.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a(1)求角C的大小；(2)若a+b=8，求(3)若△ABC是锐角三角形，且c=23，求△ABC18.(17分)2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力.某机器人研发团队设计一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形ACDE中，在点A处放置机器狗,在AC的中点B处放置足球,机器狗和足球均做匀速直线运动,且无其他外界干扰.已知AC=8米，足球运动速度为v米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形ACDE内(含边界)，则捕捉成功.记足球和机器狗的运动方向与AC所成夹角分别(1)当AE长度不受限制，α=π3，机器狗以3ν米/秒速度捕捉足球，β为何值时，机器狗能捕捉成功？(2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为π3(3)当机器狗的速度为3ν米/秒时，若无论足球往哪个方向运动，机器狗总能捕捉足球成功，则AE的长度至少为多少米?19.(17分)如图,已知OA=1,OB=2,OA与OB的夹角为2π3,点C是△ABO(1)求△ABO(2)直接写出△OAC(3)记OA与OC的夹角为θ,试将OC表示为θ的函数,并求OA⋅OC2025级高一年级4月月考数学参考答案1.A_____2.A_____3.D_____4.C6.D7.B8.ABE===2λ2+4,则2λ2+49.BD解:A项中i1+i2=i⋅2i=−2,故C项中,8+6i3+4i=8+6i3−4i10.AC对于A,由正弦定理得asinA=bsinB,则312=4sinB,所以sinB=23<1,又a对于B,在△ABC中,a+b>c,由正弦定理得,sinA对于C,由tanAtanB>1,可得sinAsinBcos则cosC=−cosA+B=−则△ABC为锐角三角形，故C对于D,由acosA=bcos则sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D11.ABD因为3a2−b2即3a2−b2−c2+所以tanA=sinAcosA=3对于A:S=12bc⋅sin对于B:CB⋅因为点O为△ABC的外心,所以AO则CB⋅AO=1对于C:由余弦定理a2由正弦定理asinA=2R=2AO,则对于D:因为AO=λAB+μ即6λ+2μ=3①，同理即12λ+16μ=8②,联立①②,解得λ=412.815.(1)2;(1)由已知得sinC即sinC−A=2即sinCcosA+cosCsinA=2由正弦定理可知b=2a,因此b(2)由余弦定理可得cosC=a2+b2−c216.(1)λ=(1)CP=因为P,B,N三点共线,设PB=CP=1+mCB−mCN，故2λ3=−m，2λ3(2)由(1)知，BN=12a−b，CM=13a+23b，又∠CM⋅BNCM=1BN=1则cos∠MPN=cos⟨17.1π(1)因为a2+b2−abcosC=a2+b2−c2(2)因为a2+b2=a由基本不等式可知8=a+b≥2所以ab≤16,c2≥16即c≥4,所以当(3)由正弦定理可得asinA=bsin因为A+B+C=则ab==43因为△ABC是锐角三角形,有0<A<π20<2π3−A<所以23<S≤33,即△ABC面积S的取值范围是23(1)在△ABF中，由正弦定理知AFsinπ−α=因为AF=3BF,α=π3,所以3BFsinπ3=此时BF=BA=4,因为BF⋅cosα=2<4,所有点(2)法一:在△ABF中，由余弦定理知AB故AF+BF2=16即AF+BF≤8,当且仅当AF=BF⋅cosα=2<4,点F在矩形.9分(法二至此处也是累计9分)法二:在△ABF中,由正弦定理知AF所以AF+当β+π6=π2,即当β=此时α=2π3,BF⋅cosα=2故机器狗与足球运动的总路程的最大值为8米.(3)如图，过F作AC的垂线，垂足为H设BF=x,则AF=3x,由题可知3x+在△ABF中,由余弦定理知A则9x2=x2+16+8cosαx,整理得当x2=52,即当x=102时,由题知AE≥FH恒成立，所以AE此时BH=故当AE的长度至少为32=1.5米时,满足题意..17分(1)在△AOB中,由余弦定理AB2=OA2+OB2−2OA⋅(3)记OA与OC的夹角为θ，连接AC，由题意可知θ∈0,2π在△AOC