2025-2026学年下学期重庆一中高三数学试题（含答案）

重庆市第一中学校2025-2026学年高三下学期4月数学试题注意事项:1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知正项数列an是公比不为1的等比数列，a3am=A.7B.8C.12D.162.复数z满足1+iz=2+3i(其中iA.12B.C.12i3.已知集合A=xlog2xA.12,C.−2,4.已知2x−1n的二项式系数之和为32，则展开式中xA.-80B.-40C.40D.805.一组数据共有100个数，其中14个数位于中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，且平均数大于中位数，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是()A.14%B.36%C.50%D.64%6.若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体ABCD−A1B1A.AB1B.AC,BC.B1CD.AC17.关于函数fx=cosA.fxB.fx最大值为C.fxD.fx8.椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，经过椭圆的另一个焦点.如图，设椭圆C的两个焦点分别为F1−1,0,F21,0，光线由点F1发出后射到椭圆C上的点P处，经反射后到点F2，再经过x轴反射到椭圆C上的点H，最后反射回点FA.−3B.-2C.−2二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.如图，平面四边形ABCD中，△ABC为正三角形，△ACD为等腰直角三角形，BD与AC交于点O，若将△ACD沿斜边AC翻折，得到三棱锥DA.在翻折过程中，AC与BD始终垂直B.在翻折过程中，BC与AD始终垂直C.在翻折过程中，三棱锥有可能是正四面体D.在翻折过程中，三棱锥有可能是正三棱锥10.某同学参加某高校面试时需要回答A、B、C三道题，他答对每道题的概率均为12，且相互独立，每一道题若答对，则得2分，若答错，则扣1分；开始时他的得分为0分，记随机变量X为他答完第一道题时的得分，Y为他答完所有题时的得分，用EX、DXA.EY=C.Y=3X11.对于曲线C:xαm+yαA.曲线C是轴对称图形B.当m+n=1,α=1C.当α=2时，曲线C与曲线xy=1D.当m=n,α=12三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则13.已知函数fx=cos3x−cos2x,x∈0,π，若fx14.设集合A={1,2,3,4}，从A中任取两个不同的数，其和记为x；集合B={1,2,3,4四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.已知向量m=cosθ⋅sinθ,n=1(1)求θ的值；(2)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.16.如图，某几何体由半个圆锥(轴截面为SAB)和三棱锥S−ABC组成.已知圆锥的底面半径为1，高SO= 3,AB为直径，C为底面圆周上异于A,B(1)若AC=2，证明:平面SOC⊥平面(2)在点C运动的过程中，记直线BM与底面ABC所成角为θ，求sinθ17.已知函数fx(1)若a=1，求函数f(2)若对任意x∈0,+∞，恒有fx≥018.已知抛物线C:y2=2px经过点A1,2,Bx0,(1)求直线AB的斜率kAB(用y0(2)设不经过点A的直线l与C交于M,N两点，且直线AM,①求证:直线l恒过定点Q;②若向量MQ=λQN，且λ∈−4,−13，求19.已知正项数列an的首项a1=1(1)令bn=1an+12−1(2)设m1,m2,⋯,(3)记cn=1an2.若对于任意n≥2，均存在正整数m，使得cn−1c参考答案题号1234567891011答案BADBDACAADABDABD1.B,由a3am=a2.A,z=2+33.D,不等式log2x<1,即−1<log2x<1,log212<4.B,2n=32,n=5,Tr+1=C5r2x5−r−5.D,小于平均数的数有50+14=646.A,设AB=a,AD=b,AA1=c,AC=a2+b2,据此可以解出a,b,c,{BD=a2+b2_____;据此无法解出7.C,cos−x=cosx,cosx=cosx,即fx=cosx+cosx=cosx+cosx,选项A:因为f−x=cos−x+cos−x=cosx+cosx=fx,所以fx是偶函数;选项B:当cosx≥0时,cosx=cosx,即fx=2cosx,此时cosx的范围为0,1,所以当cosx≥0时，fx的最大值为2，当cosx<0时，cosx=−cos8.A，椭圆焦点F1−1,0,F21,0，故c=1.光线总路程为PF1+PF2+F2H+HF1=PF1+ PF2+HF1+HF2=2a+2a=4a.已知总路程为9.AD,在翻折过程中,AC⊥OB,AC⊥OD′,可得OB∩OD′=O,OB,OD′⊂平面BOD′,所以AC⊥平面BOD′，又BD′⊂平面BOD′，所以AC⊥BDA；故A正确；当翻折使平面ACD′⊥平面ABC时，因为OD′⊥AC，平面ACD′∩平面ABC=AC，所以OD′易知BC⊥AC不成立，故此时BC与AD不垂直，故B错误；而正四面体为四个面均为等边三角形的三棱锥，显然△ACD不是等边三角形，故C错误；在翻折过程中，当D的投影为△ABC的中心H时,此时D′H⊥平面ABC,又HA=HB=10.ABD,X的可能取值为−1,2,PX=−1=12,PX=2=12,EX=−1×12+2×12=12,DX=−1−11.ABD,若x,y满足曲线C的方程,则−x,y,x,−y,−x,−y满足曲线C的方程,则曲线C关于坐标轴以及原点对称,A正确;当m+n=1,α=1时,曲线C:xαm+yαn=1在第一象限为线段xm+yn=1(x>0,y>0),与坐标轴交于Mm,0,N0,n,则S△OMN=12mn,且m∈0,1,S=4S△OMN=2mn=2m(1− m)=−2m12.165,设BF=xBE,因为E为线段CD的中点,所以BE=BC+12CD=AD−12AB,则BF=xAD−12xAB,AF=AB+BF=13.6π5,令fx=0,则cos3x=cos2x,解得3x=2x+2kπ,即x=2kπk∈Z,在0,π内无解.情况二:3x=−2x+2kπ,即5x=2kπ,x=2kπ5k∈Z,在0,π内,取k=1,得14.215，从集合A中任取两个不同的数，共有C42=6种取法，其和分别为3,4,5,5,6,7，所以x=3,4,6,7时，各有1种取法，x=5时，有2种取法.从集合B中任取两个不同的数，共有C52=10种取法，其和分别为3,4,5,10，5,6,11,7,12,13，所以y=5时，有2种取法，15.(1)m⋅n=cosθ⋅已知θ∈0,π，故θ+π6∈π(2)已知A=θ=2π3，故B+C=π−A=π3代入sinA=sin2π3=32,sinC=sinπ3−B化简得,sinB+sinπ3−B=sin16.(1)因为AB为直径，所以∠ACB=90∘，又AB=2,AC=2，所以BC=AB2−AC2=4−2=2，则AC=BC,又又SO,AB⊂平面SAB,SO∩AB=O,所以CO⊥平面SAB,又CO⊂平面SOC,所以平面SOC⊥平面SAB.(2)以O为原点，以OB,OS所在直线为y建立空间直角坐标系，如图所示，则S0,0,3，B0,1,0，设∠BOC=α，则C则sinθ因为cosα∈−1,1,所以17.(1)当a=1时，函数fx=ex可得f′x=ex−0,ex−1−1<0,可得f′x>0当x=1时，f′x=0，综上，当x∈0,+∞时，f′(2)函数fx=aex−1−1x−lnx,a∈R，定义域为0,+∞，若对于任意x>0时，fx≥0恒成立，即aex−1−1x− lnx≥0,可得当x>1时,由lnx>0>1−x,ex−1>0,可得g′x<0,综上,当x>0时,g′x≤0,所以gx在0,+∞上单调递减，当x→0经验证:当a=e时,fx=ex−1x−lnx,可得f′x=x−1ex−1x2,当0<x<1时,由x−1<0,ex−1>当a<e时,当x→0+时,ex−1→1e,xlnx+1→1,则存在充分接近0+的x,使得aex18.(1)将点A1,2代入抛物线方程，得4=2p，所以抛物线C:y2=4x，则By024,(2)①设Mx1,y1,Nx2,y2y1联立x=my+ty2=4x，消去x并化简得:y2−4my−4t所以2y1+y2−y1y2+12=0,所以2m+t+3=0②由A1,2,Q−3,2，可得AQ//x轴，且AQ=4，联立x=my−2m−3与y2=4x，并令k=y−2，得k2+ 41−mk+16=λ2−16λ=−16λ,则==2而λ+由于1−m2>4,得λ+1λ<−2,而λ<0即λ2+2λ+1>0,即λ+12>0,所以λ≠−1,且λ<0,则λ∈−4,−13且λ≠−19.(1)由an+1=an1+2nan2可得12n=2,因此数列bn是以2为首项,2为公差的等差数列,由因此当n≥2时,有1