小学数学六年级下册《鸽巢原理》教案（第二课时）

小学数学六年级下册《鸽巢原理》教案（第二课时）

一、设计理念与理论依据

本节课程的设计，立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求，以发展学生的核心素养为导向，聚焦于推理意识与模型意识的培养。鸽巢原理（抽屉原理）作为组合数学中的一个基本原理，其教学价值远超解决具体问题本身。它是对“存在性”与“确定性”的深刻刻画，是学生从“确定性数学”迈向“可能性与确定性交织数学”的关键桥梁。

本设计遵循“问题情境—建立模型—解释应用—拓展联系”的基本路径，强调让学生亲身经历从具体实例的直观感知，到操作实验的规律探索，再到数学语言的抽象概括，最后到一般模型的建立与应用这一完整的数学化过程。我们摒弃单纯记忆“至少数=商+1”公式的机械教学，转而引导学生深度理解原理的实质：“当物体数量多于容器数量时，至少有一个容器要容纳多于一个的物体”。通过精心设计序列化、层次化、挑战性的任务，促使学生在观察、操作、比较、归纳、推理等活动中，实现数学思维从具体到抽象、从特殊到一般的跃迁，体会数学的严谨性与普适性，感受数学的内在美与力量。

二、学情分析

已有认知基础：

六年级学生已经具备了较强的逻辑思维能力和初步的归纳推理能力。他们熟练掌握了除法运算及其意义（包含除、等分除），能够用“商”和“余数”来描述分配的结果。在生活经验中，他们对“总有”、“至少”等词语有一定理解，并接触过一些简单的“保证”类问题（如：一副扑克牌，至少摸几张才能保证有两张同花色？），只是尚未将其系统化、形式化为一个数学原理。

可能遇到的困难：

1.从“可能存在”到“必然存在”的思维跨越：学生容易理解“可能有一个抽屉放多件物品”，但理解“无论怎么放，总有一个抽屉里至少有2件物品”这种必然性存在难度。

2.对“至少”一词的数学化理解：“至少”在这里不是指最少放几个，而是指在所有可能的分配情况中，某个抽屉物品数量的最小值中最大的那个。这一双重最值的理解是抽象的。

3.从具体分物到抽象模型的过渡：如何将“铅笔放进笔筒”、“鸽子飞进鸽巢”等具体情境，抽象为“物体数与抽屉数”的数学关系，并概括出一般性结论，需要思维的脚手架。

4.“商+1”的算理理解：学生容易记住公式，但难以深刻理解为什么是“商+1”而不是“商”或“商+余数”。余数的不同情况对结论的影响是理解的难点。

教学对策：

针对以上学情，本设计采用“放—思—议—模—用”五步教学法。通过动手操作（如小组合作放铅笔）制造认知冲突，引发思考；通过关键设问（如“怎样才能让每个笔筒的笔尽可能少？”）引导思维走向深入；通过对比辨析（不同余数下的情况）揭示规律本质；通过语言表征（用自己的话说原理）和符号表征（建立数学模型）促进抽象概括；最后通过变式与应用在解决问题中固化认知，实现迁移。

三、教学目标

1.知识与技能：

1.理解“鸽巢原理”（抽屉原理）的基本形式，能用此原理解决简单的实际问题。

2.能够用“平均分”的思想和方法，解释并应用“至少数=商+1”的结论。

2.过程与方法：

1.经历“鸽巢原理”的探究过程，体验观察、操作、实验、推理、归纳等数学活动，积累探究数学规律的活动经验。

2.初步掌握“建模”的数学思想方法，能够将具体问题抽象为“物体”与“抽屉”的数学问题。

3.情感、态度与价值观：

1.感受数学与生活的紧密联系，体会数学原理的普遍适用性和严谨性。

2.在探究活动中获得成功的体验，增强学好数学的信心，培养严谨求实的科学态度和探索精神。

3.发展逻辑推理能力，体会数学思维的魅力。

四、教学重难点

1.教学重点：经历“鸽巢原理”的探究过程，理解原理的一般形式，初步学会用原理解决简单的实际问题。

2.教学难点：理解“总有”、“至少”的含义，理解“至少数=商+1”的算理，特别是如何用“平均分”的思路来构建“最不利”情况（保证“至少”的情况）。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件、学习任务单、实物投影仪。

2.学生准备：每组4个笔筒（或纸杯）、5支铅笔；每组一副扑克牌（去掉大小王）；练习本。

六、教学过程

（一）情境激趣，问题驱动（预计时间：8分钟）

1.魔术表演，设疑激趣

1.师：同学们，老师今天先给大家表演一个小魔术。我这里有一副扑克牌，拿掉了大小王，还剩下52张。请一位同学随意抽5张牌。

2.（学生抽牌后，老师不看牌）

3.师：我敢肯定，在这5张牌中，至少有2张牌是同花色的。你相信吗？我们来验证一下。

4.（学生展示抽到的5张牌，验证老师的断言。）

5.师：老师并没有特异功能，这个“魔术”背后隐藏着一个非常有趣的数学原理。它就是我们今天要一起探究的——《鸽巢原理》。为什么叫这个名字呢？我们从一个经典的故事开始。

2.经典引入，初识原理

1.课件播放或讲述：“鸽巢原理”最早是由德国数学家狄利克雷明确提出并应用的，所以也叫“狄利克雷原理”。它有一个非常生动的描述：如果现在有4只鸽子要飞进3个鸽巢，那么我们可以断定：无论怎么飞，总有一个鸽巢里至少有2只鸽子。

2.师：请同学们思考并讨论一下，你同意这个说法吗？“无论怎么飞”是什么意思？“总有”和“至少”又是什么意思？能不能用更直观的方式来说明？

3.化繁为简，锁定核心

1.师：为了便于研究，我们把复杂的问题简单化。把“鸽子”看成“物体”，“鸽巢”看成“抽屉”。今天，我们就从最简单的例子开始研究。

2.板书核心问题：把（n+1）个物体放进n个抽屉，会怎样？

【设计意图】从魔术引入，瞬间抓住学生的注意力，制造认知冲突，激发强烈的探究欲望。经典故事的讲述，赋予知识以文化背景。将生活语言（鸽子、鸽巢）初步转化为数学语言（物体、抽屉），并直接提出本课最核心的探究起点，目标明确，开门见山。

（二）操作探究，建构模型（预计时间：22分钟）

这是本节课的核心环节，分为三个层次，层层递进。

第一层次：初步感知，理解“总有”和“至少”（探究：4支铅笔放进3个笔筒）

任务一：动手放一放

1.出示问题：把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么？

2.活动要求：

1.3.小组合作，利用手中的4支铅笔和3个笔筒，动手摆一摆，把所有不同的放法都记录下来。（可以用画图或数字记录）

2.4.思考并讨论：“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话成立吗？你是如何理解“总有”和“至少”的？

学生活动与汇报：

1.学生分组操作，尝试枚举所有情况：（4,0,0）、（3,1,0）、（2,2,0）、（2,1,1）。教师巡视，引导有序思考。

2.小组汇报放法。

3.关键提问：

1.4.师：观察所有这些放法，你们发现了什么共同点？

2.5.生：每一种放法中，都有一个笔筒里的铅笔数是2支或2支以上。

3.6.师：对！这就是“总有一个”的含义，指的是在每一种具体的放法中，都一定存在这样的笔筒。“至少2支”是什么意思？

4.7.生：可能是2支，也可能是3支或4支，但最少也是2支。

5.8.师：非常好！也就是说，我们看的是所有放法中，那个放得最多的笔筒吗？不是。我们看的是，在保证结论成立的前提下，那个笔筒里铅笔数最少可能是多少？在这个例子里，这个“最少可能”是2。所以“至少2支”可以理解为“不少于2支”。

第二层次：深入探究，发现“平均分”的思路（探究：5支铅笔放进4个笔筒？6支呢？）

任务二：想一想，不摆怎么说明？

1.师：如果是5支铅笔放进4个笔筒呢？结论是什么？（总有一个笔筒里至少有2支）还能用摆一摆的方法吗？如果是100支铅笔放进99个笔筒呢？（学生意识到枚举法的局限性）

2.师：我们必须找到一个更有力的、普遍的推理方法。请大家回想刚才的放法（2，1，1）。要让“总有一个笔筒里的铅笔数尽可能少”，我们应该怎么放？

3.引导性提问：如果想让每个笔筒的笔都尽可能少，你会怎么放？

4.生：先平均放，每个笔筒先放1支。

5.课件动态演示：4支铅笔，3个笔筒。先每个笔筒放1支，用了3支，还剩1支。

6.师：这剩下的1支无论放进哪个笔筒，都会导致那个笔筒变成2支。所以，结论成立。

7.核心提炼：这种“先平均分”的方法，是保证结论成立的最关键思路。它让我们找到了最“不利”的情况（即让每个抽屉物品数尽可能相等），然后通过余数的分配，得出了“至少”的数量。

任务三：抽象概括，建立数学模型（探究：n+1个物体放入n个抽屉）

1.师：现在，我们能用“平均分”的思路来解释5支笔放4个笔筒吗？谁来试着说一说？

2.生：先平均放，每个笔筒放1支，用了4支，还剩1支。剩下的1支无论放进哪个笔筒，都会让那个笔筒有2支笔。所以，总有一个笔筒里至少有2支笔。

3.师：如果是6支笔放5个笔筒呢？10支笔放9个笔筒呢？100支笔放99个笔筒呢？

4.引导学生发现规律：只要铅笔数比笔筒数多1，结论总是“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。

5.抽象建模：

1.6.师：我们可以把“铅笔数”看作“物体数”，用字母a

表示；“笔筒数”看作“抽屉数”，用字母b

表示。当a=b+1

时，结论成立。

2.7.板书核心结论（一）：把（b+1）个物体放进b个抽屉，总有一个抽屉里至少放有2个物体。

第三层次：突破难点，理解“商+1”（探究：物体数多于抽屉数1个以上，如：5支铅笔放进3个笔筒）

任务四：挑战升级，探究一般规律

1.出示关键问题：把5支铅笔放进3个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有几支铅笔？

2.学生先猜测，再小组合作探究。

3.探究路径：

1.4.操作验证：学生尝试摆放，寻找所有放法中，保证结论成立时，那个笔筒里铅笔的最少数量是多少。可能出现（2,2,1）、（3,1,1）等。学生能发现“至少2支”似乎不对，因为有（1,1,3）的情况，那个“至少”是3？需要厘清。

2.5.聚焦“至少”：师：我们说的“至少”，是针对“总有一个笔筒”来说的。在（1，1，3）这种放法中，确实有一个笔筒有3支。但我们要保证的是，无论怎么放，都存在一个笔筒，它的铅笔数不少于某个数。在（2,2,1）这种放法中，那个“至少”是2。在（5,0,0）中，那个“至少”是5。我们取哪个数？我们取的是所有可能放法中，每一个放法里都一定存在的笔筒铅笔数的最小值。这个最小值，需要通过“最不利原则”（平均分）来找到。

3.6.“平均分”思路的深化：

1.4.7.师：如何用“先平均分”的思路来思考5÷3？

2.5.8.引导：把5支铅笔平均分到3个笔筒，每个笔筒先分得1支（5÷3=1……2）。

3.6.9.课件演示：每个笔筒放1支，用了3支，还剩2支。

4.7.10.师：这剩下的2支，如果集中放进1个笔筒，那个笔筒就有3支；如果分开放进2个笔筒，就有两个笔筒变成2支。

5.8.11.核心追问：无论剩下的2支怎么放，最后会出现什么结果？

6.9.12.生：至少会有一个笔筒，里面的铅笔数等于“1（商）+1”。

7.10.13.师：为什么是+1？

8.11.14.生：因为剩下的铅笔数（余数）只要不是0，至少是1，那么至少有一个抽屉会在平均分的基础上再多得到1个。

12.15.归纳规律：

1.13.16.师：那么，把7本书放进4个抽屉呢？10个苹果放进3个盘子呢？

2.14.17.引导学生列式计算，并用语言描述：

1.3.15.18.7÷4=1……3=>总有一个抽屉至少放1+1=2(本)

2.4.16.19.10÷3=3……1=>总有一个盘子至少放3+1=4(个)

5.17.20.发现公式：至少数=商+1（当余数不为0时）

18.21.讨论余数为0的情况：

1.19.22.师：如果是6支铅笔放进3个笔筒呢？6÷3=2……0。

2.20.23.生：平均分，每个笔筒正好2支。那么“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。这里的至少数就是“商”，而不是“商+1”。

3.21.24.完善公式：至少数=商+1（当余数>0）；至少数=商（当余数=0）。我们可以统一说成：至少数=商+1（这里的1可以理解为“至少多1个”，当余数为0时，这个“多1个”为0）。更精确的表述是：至少数=[物体数÷抽屉数]的整数商+1（当不能整除时）。

【设计意图】本环节是模型建构的关键。通过三个层层深入的探究任务，引导学生从具体操作（枚举）走向数学思考（平均分），从特殊结论（a=b+1）走向一般规律（a＞b）。重点突破了“平均分”作为“最不利情况”的思维方法，以及“至少数=商+1”的算理理解。让学生在充分的探究、辩论、辨析中，自己“发现”并“创造”出数学原理，真正成为学习的主人。

（三）原理命名，归纳梳理（预计时间：5分钟）

1.师：回顾我们刚才发现的规律，这就是数学中著名的“鸽巢原理”或“抽屉原理”最基本的形式。

2.课件出示完整原理（一）：

把多于n个的物体任意放进n个抽屉中，那么总有一个抽屉里至少放有2个物体。

3.课件出示完整原理（二）（更一般的形式）：

把多于kn个（m个）的物体任意放进n个抽屉中（m÷n=k……r，r≠0），那么总有一个抽屉里至少放有（k+1）个物体。

4.师：请同学们结合我们刚才的例子（5支笔放3个笔筒，7本书放4个抽屉），用自己的话，向同桌说一说你对这个原理的理解。

5.学生复述，教师板书关键词：物体数>抽屉数→总有一个抽屉→至少（商+1）个

【设计意图】在学生充分探究的基础上，给出原理的标准数学表述，实现从个人建构到社会认可（数学公理）的对接。让学生用自己的话复述，是对学习过程的及时梳理和内化。

（四）巩固应用，拓展深化（预计时间：12分钟）

设计不同层次、不同情境的练习，实现从理解原理到灵活应用的跨越。

层次一：基础应用（辨析“物体”与“抽屉”）

1.问题1（课本基础题）：13个小朋友中，至少有（）个小朋友的生日在同一个月。为什么？

1.2.引导：谁是“物体”？谁是“抽屉”？“物体数”和“抽屉数”各是多少？如何列式？

2.3.生：小朋友是“物体”（13个），月份是“抽屉”（12个）。13÷12=1……1，1+1=2。所以至少有2个小朋友生日在同一个月。

4.问题2：一副扑克牌（去掉大小王），至少摸出几张，才能保证至少有两张牌的花色相同？

1.5.引导：四种花色是4个“抽屉”，摸出的牌是“物体”。要保证至少一个抽屉有2个物体，根据原理（一），需要物体数比抽屉数多1，即4+1=5张。

2.6.课堂回应开头的魔术：现在你能揭开老师“魔术”的秘密了吗？（抽5张牌，花色抽屉为4个，5>4，所以至少有两张同花色。）

层次二：变式应用（寻找隐藏的“抽屉”）

3.问题3：六年级一班有45名学生，至少有（）名学生的属相相同。

-引导：属相有12种，这是明显的抽屉。45÷12=3……9，3+1=4。至少有4人属相相同。

4.问题4（挑战题）：从1，2，3，…，10这10个自然数中，至少选出几个数，才能保证其中一定有两个数的和是11？

-这是构造抽屉的典型问题。引导学生将10个数分成和为11的5对：（1，10）、（2，9）、（3，8）、（4，7）、（5，6）。这5对就是5个“抽屉”。要保证有一个抽屉里被选入了两个数（即和为11），根据原理（一），需要选出5+1=6个数。

-设计意图：此题需要学生自己构造“抽屉”，是对原理理解的深度应用，能极大提升学生的思维灵活性和创造性。

层次三：生活与跨学科联系

5.问题5：请举出生活中应用或体现了“鸽巢原理”的例子。

-学生自由发言。如：13个人中至少有2人星座相同；在367个人中至少有2人生日相同；从街上任意找来13个人，其中至少有2个人属相相同；一个电脑文件夹里有很多文件，类型只有“文档”、“图片”、“视频”三种，当文件数大于3时，至少有一种类型的文件数不少于2个。

6.简要介绍原理的广泛应用：在计算机科学中（如哈希表冲突）、在信息安全（如生日攻击）、在选举理论、在体育赛事安排中，鸽巢原理都有重要应用。

【设计意图】练习设计由浅入深，从直接识别抽屉到需要构造抽屉，从数学问题到生活实际，形成完整的应用链条。既巩固了基础知识与技能，又发展了高阶思维，体现了数学的广泛应用价值。

（五）全课总结，反思升华（预计时间：3分钟）

1.师：通过今天的学习，你有哪些收获？你对“鸽巢原理”有了怎样的认识？

2.引导学生从知识、方法、思想、体验等多方面进行总结：

1.3.知识：理解了鸽巢原理的内容，能用“至少数=商+1”解决问题。

2.4.方法：学会了用“平均分”的思路来分析和推理“至少”问题。

3.5.思想：体会了从特殊到一般、化繁为简的数学思想，初步接触了“模型”思想。

4.6.体验：感受到了数学的确定性和逻辑力量，数学就在我们身边。

7.教师总结升华：鸽巢原理揭示的是一种“必然存在”的逻辑关系。它告诉我们，在一些看似随意、偶然的现象背后，往往隐藏着确定的数学规律。希望同学们能用今天学到的原理的眼光，去观察世界，发现更多隐藏的数学奥秘。

七、板书设计

鸽巢原理（抽屉原理）

核心问题：把多于n个的物体放进n个抽屉，会怎样？

探究与发现：

1.4支笔→3个笔筒（4÷3=1……1）至少数：1+1=2

2.5支笔→3个笔筒（5÷3=1……2）至少数：1+1=2

3.7本书→4个抽屉（7÷4=1……3）至少数：1+1=2

4.10个苹果→3个盘子（10÷3=3……1）至少数：3+1=4

归纳原理：

1.把多于kn个（m个）物体放进n个抽屉。

2.