宁波市2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题

宁波市2025学年第一学期期末考试高一数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､学校､准考证号填涂在答题卡上.将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠､不要弄破.选择题部分（共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合是小于6的正整数，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由补集定义求出集合A即可得解.【详解】由题可得，又，所以.所以中元素的个数为2.故选：B2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由命题的否定的定义直接得解.【详解】命题“”的否定为“”.故选：C3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式和正弦定义即可得到答案.【详解】.故选：A.4.已知，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解.【详解】由题可得，所以.故选：D5.已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】要判断函数的奇偶性，先依据奇函数定义，对于定义域为的函数，若满足，则为奇函数，再逐一分析各选项即可.【详解】选项A：因，所以，满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.A错误.选项B：因为，所以，满足奇函数定义，奇函数.B正确.选项C：因为，所以，满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.C错误.选项D：因为，所以，满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.D错误.故选：B.6.如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计在视觉和触觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性､生产工艺和文化寓意.已知正九边形的外接圆半径为，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间的部分）的面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】应用三角形面积公式计算求解.【详解】正九边形每条边长所对的圆心角为，正九边形面积为，阴影部分的面积为.故选：C.7.设是关于的方程的实数根，则所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将题设等价转化为函数在上的零点，利用函数单调性和、结合零点存在定理即可得解.【详解】方程的实数根，即为方程的实数根，即为函数在上的零点，因为函数和在上均为增函数，所以在上均为增函数，又，所以，则函数在上有唯一零点，且零点所在的区间为，即所在的区间为.故选：B8.已知实数满足，则下列情形不成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可先将已知等式化简得到与的关系，再逐一验证选项是否满足该关系.【详解】已知，变形可得：因此（）.对于选项A：，时，则，成立.对于选项B：，时，则，成立.对于选项C：时，则，故该情形不成立.对于选项D：，时，则，成立.故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数满足，且，则下列不等式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】等量代换后结合题意可得A；作差可得B；由基本不等式可得C；举反例可判断D.【详解】对于A，因为正实数满足，且，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，但等号不能取得，故C正确；对于D，令，则，故D错误.故选：ABC10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.是的一个周期B.的图象关于直线对称C.的最大值为3D.在上有3个零点【答案】AD【解析】【分析】根据可判断A；根据可判断B；根据正弦函数性质计算可判断C；函数可化为，令，计算可判断D.【详解】对于A，因为，所以是的一个周期，故A正确；对于B，，，因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，当时，函数有最大值为，当时，函数有最大值为，因为函数与函数在一个周期内不可能同时取到最大值，所以的最大值不可能为，故C错误；对于D，，令，则，即或，当时，解得或或，解得或，所以在上有3个零点，故D正确.故选：AD11.设函数与的定义域都是非空数集，若对任意的，总存在，使得成立，则称是在定义域上的“级友谊函数”.则（）A.若是在定义域上的“级友谊函数”，则对任意的B.是在区间上的“2级友谊函数”C.若是在区间上的“3级友谊函数”，则D.若是在区间上的“1级友谊函数”，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，结合题意可得对任意的，总存在，使得成立，进而判断即可；对于B，求出两函数的值域，根据两值域关系和新定义即可判断；对于C，转化为成立，再分，以及讨论即可判断；对于D，转化问题为存在，使得成立，进而分、、、讨论求解即可判断.【详解】对于A，由题意，是在定义域上的“级友谊函数”，则对任意的，总存在，使得成立，显然，对任意的，故A正确；对于B，当，当时，，取，则，对于任意的，，此时不存在，满足，所以和不是区间上的“2级友谊函数“，故B错误；对于C，由题知是在区间上的“3级友谊函数“，则任意，总存在，使，因为，则只需使成立即可，①当时，在上单调递增，其值域为，所以，则因为任意，总存在，使成立，所以，则，即，即，此时．②当时，在上单调递减，其值域为，所以，则，因为任意，总存在，使成立，所以，则，即，即，此时．③当时，当时，有，不存在，使得，此时不存在这样的，，不符合题意．综上所述，，故C正确；对于D，由题知是在区间上的“1级友谊函数”，则对任意的，总存在，使得成立，当时，，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，，时，，则，所以，则存在，使得成立，当时，，，当时，，则，即，解得；当时，令，得，若，即时，，则，即，解得；若，即时，，而，则或，解得；若，即时，，则，即，解得.综上所述，，故D正确.故选：ACD非选择题部分（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数则__________.【答案】1【解析】【分析】由里往外直接计算即可求解.详解】由题得.故答案为：113.已知函数在区间上不单调，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解.【详解】当时，，依题意，，解得，所以的取值范围为.故答案为：14.已知为正实数，且，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】整理可得，，进而可得，，构造函数，结合函数单调性求值域即可.【详解】因为为正实数，，则，且，则，又因为，则，可得，整理可得，且，则，可得，即，由，可得，解得，构造函数，可知在内单调递减，当趋近于1时，趋近于4，可得，即，所以实数的取值范围为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记不等式的解集为，不等式的解集为.（1）求集合；（2）若集合，写出的所有子集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式求解；（2）求出集合，利用交集的概念求出，即可写出子集.【小问1详解】不等式，即，解得，所以集合.【小问2详解】由，解得，即.又因为，所以，因此，集合的子集有.16.已知函数.（1）求的值；（2）将的图象向左平移个单位得到的图象，解关于的不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简函数解析式即可直接计算求解；（2）由平移变换求出的解析式，再由正弦函数性质解不等式即可.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】由题知，所以即，所以，解得，所以原不等式的解集为.17.已知.（1）求函数的解析式；（2）判断函数的奇偶性并说明理由；（3）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）奇函数，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）应用换元法结合指对数转化得出解析式；（2）应用奇函数定义证明；（3）先证明函数是上单调递减函数，再根据单调性列式，再应用一元二次不等式有解计算判别式计算求参.【小问1详解】令，则，从而，所以的解析式为.【小问2详解】是奇函数，证明：函数的定义域为.因为，都有，且，所以为奇函数.【小问3详解】先证函数的单调性：任取，不妨设.则.因为，所以，所以.所以，即.所以函数在上单调递减.因为有解，即有解.即有解，亦即有解，所以，得.18.已知函数.（1）求的定义域；（2）若，求的值；（3）若，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由正切函数的定义域可解；（2）由差角的正切公式计算可得；（3）法一：拆角后得到，令，则，展开两边同除以，结合二倍角的正余弦和同角的三角函数关系化简可得；法二：拆角后由诱导公式变形得到.令，则，用和差角的正弦公式展开并整理，两边同除以再计算可得；法三：前面同法一，得，再由辅助角公式化简后计算可得.【小问1详解】令，得.所以函数的定义域为.【小问2详解】因为，所以.【小问3详解】法一：因为，所以.令，则，展开得，两边同除以，得，所以.从而，因为，所以，当且仅当时取到最大值.法二：由，得，即，所以.令，则，所以，用和差角的正弦公式展开并整理，得，两边同除以，得.展开得，即.所以，当且仅当时取到最大值.法三：前面同法一，得.则.由辅助角公式得，即，所以，解得，所以的最大值为.19.已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围；（3）记，若对于和，恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）0（2）（3）4【解析】【分析】（1）去绝对值后利用分段函数的解析式