关于函数的表示方法探究

目录摘要 关于函数的表示方法探究摘要函数既是初等数学研究的重要内容，也是数学分析研究的主要对象，本文首先根据中学课程中函数的三种不同表示方法（图像法、解析法以及列表法），从不同的方面展示了函数的自变量和因变量之间的对应关系,并通过若干实例进一步阐述了函数概念.在此基础上结合实例进一步系统地探究了数学分析中函数的表示方法：变上下限积分,函数项级数,幂级数,傅里叶级数,隐函数，含参量积分等方法,以及一些特殊函数：黎曼函数，狄利克雷函数，符号函数等。而这里探究的函数表示方法各有特点，并且在理论与实践中都有非常广泛的应用.关键词函数表示方法数学分析.OntheRepresentationandExplorationofFunctionsAbstractFunctionisnotonlytheimportantcontentofelementarymathematicsresearch,butalsothemainobjectofmathematicalanalysisresearch.Firstly,accordingtothreedifferentrepresentationsoffunctioninmiddleschoolcurriculum(imagemethod,analyticmethodandlistmethod),thispapershowsthecorrespondingrelationshipbetweenindependentvariablesanddependentvariablesfromdifferentaspects,andfurtherelaboratestheconceptoffunctionthroughseveralexamples.Combiningwithexamples,thispaperfurthersystematicallyexplorestherepresentationmethodsoffunctionsinmathematicalanalysis,suchasvariableupperandlowerboundintegral,functionitemseries,powerseries,Fourierseries,implicitfunction,parametricintegral,andsomespecialfunctions:Riemannfunction,Dirichletfunction,symbolicfunction,etc.Thefunctionrepresentationmethodsexploredherehavetheirowncharacteristicsandarewidelyusedintheoryandpractice.Keywordsfunctionrepresentationmethodmathematicalanalysis.引言在中学中，函数的表示法是很重要的一个专题，利用三种不同表示方法从不同方面帮助我们解决生活中的实例，从而加深对自变量和因变量之间的对应关系的理解；图像法、解析法以及列表法这三种方法都可以单独的表达函数，每个方法都各有侧重和有点，它们也可以互相转化，所以，在解决实际问题时，会根据不同问题选择合适的方法.在大学中,经过数学分析这门课的学习,我们又探究了多种函数的表示方法,有黎曼函数，符号函数，伽马函数，分段函数，狄利克雷函数，贝塔函数，变上下限积分,函数项级数,幂级数,傅里叶级数,隐函数,含参量积分等等多种函数的表示方法.函数表示方法的应用使我们在解决很多用平常方法不能解决的问题能很轻松地解决,本文分为两部分,第一部分对中学中的函数表示方法做了总结,第二部分从数学分析中的函数的表示方法进行叙述,使我们对数学的研究又有了进一步的认识,加深了我们对数学的兴趣.1中学中函数的表达式1.1函数的定义给出实数集和，如果有对应法则，使得对内任意一个数，都有唯一的一个数与之相对应，则称为定义在数集上的函数.记作1.2函数的理解函数的概念是从集合和映射的角度出发，从集合中任取一个数，按照相应的法则，总能在集合中找到唯一的数与之对应.简单记为其中为自变量，为因变量.所以,很容易得知函数实质是从非空数集到非空数集的一个特殊的映射.为此，我们不难看出，函数的三个要素必须为：定义域、值域以及对应法则.作为核心的对应法则,它是函数关系的本质特征.我们可以用任意小写字母来表示自变量、因变量和对应法则.自变量的取值范围称为函数的定义域,如果函数的定义域和对应法则确定之后,函数的值域也就确定了.所以说,定义域、值域和对应法则为函数的三要素.1.3中学中所学的函数的表示方法在中学的学习中，我们已经知道了函数的表示法主要有三种，即解析法、列表法和图像法.1.3.1解析法通过等式表示函数的方法叫解析法,这个等式叫函数的解析式.一次函数,二次函数,反比例函数等都是利用解析法表示的函数.有了解析式就可以确定变量间的关系,而且还能求出任意自变量的函数值.比如某工厂销售面粉,售价一千克7.5元,设购买千克面粉，应付款为元,则计算应付款的算式为这样就可以很清晰地反映出函数与之间的关系.当时,应付款为75元.表示函数的式子不一定非得是一个，也可以分几个式子来表示函数，称其为分段函数.例如，小明坐出租车去超市买东西，如果路程低于2公里，则按起步价10元收费，若路程高于2公里，则按每公里3.5元收费，设路程为，应付钱为元，故函数的解析式为1.3.2列表法列表法是利用表格来列出两个变量间的函数关系,比如面粉厂的售货员为了计费方便,经常将订购面粉的重量与应付款的对应关系列成表格如表1:/千克12345/元510152025表1这种方法的好处是不必计算就可看出来两个变量之间的函数关系,缺点是在自变量值较多时,就很难将两个变量的对应数值一一列出.1.3.3图像法图像法是指用图像表示两个变量之间的函数关系,函数的图像是任意形状的，它既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线以和离散的点等等.它可以很直观地表示自变量的变化和对应的函数值变化的趋势,但是对函数关系的表示显得有点粗略.2数学分析中函数的表示方法函数不仅是初等数学研究的重要内容，也是数学分析研究的主要对象，本章我们就来探究一下可以用哪些方法来表示函数.2.1用变限积分表示函数2.1.1变限积分函数的定义设在上可积，若从中任取一个数，则在上为可积函数，那么，(1)称为自变量为的变上限的定积分，同样地，还可以定义变下限的定积分：（2）与统称为变限积分.变限积分之间具有一些重要性质，例如函数的连续性、求极限、求导数、判断函数的单调性、极值性等等，由于.所以，我们只讨论变上限积分的情形.定理2.1若被积函数在上可积，则（1）式中的函数在上连续.定理2.2若在上为连续函数，则由（1）式中的函数在上处处可导，且（3）的任意两个原函数只能相差一个常数，那么当函数连续时，它的任意原函数一定须满足若在此式中令，得到，从而有再令，就可以得到(4)这是牛顿—莱布尼茨公式的又一证明.例1求极限,解应用洛必达法则以及定理2.2很容易得到===1关于变限积分的求导（1）对变上限积分求导的时候，第一点要搞清楚是对那个变量进行求导，不要把变上限积分函数中的自变量和积分变量混淆了.变上限函数的自变量为上限变量，所以说，对变上限积分函数的求导归根结底就与上限变量有关，和积分变量没有任何关系.有的时候被积表达式中会含有上限变量的情况，这个时候就应该把被积表达式中的上限变量提到积分号外面去，从而在进行求导.比如对关于求导，首先将从被积函数中提到积分外面来，其次再利用分部求导法则进行求导，即（2）如果处处连续，并且和都是的可微函数，那么就有下列公式（3）若积分上下限以及被积函数中都含有函数自变量时，求导的时候就要先想办法把被积函数中的移到积分外，然后在进行求导，下面我们就举几个例子来说明这一观点例2[1]求极限解不难看出此极限属于型不定式，这是就要考虑洛必达法则，再利用换元法令，使变量“消失”，然后再进行求导，详细求解过程如下：例3[1]当时，函数可导，并且反函数非负，使得以下恒等式成立试求函数.解此题涉及到变限积分函数的求导、反函数的概念和定积分的性质等.第一步对上式两边关于t求导得到其次利用反函数的概念可以得到，所以得到最后由，又因为连续非零，所以得到，则，即，故2.1.2由变限函数拓展的积分函数这里的积分函数指的是它的自变量不在积分限上，而是存在于定积分的被积函数里面，虽然它不符合变限积分函数的定义，但是我们可以利用换元的方法将其换成变限积分函数，下面我们就通过例题来叙述这类函数的解答方法以及应用例4[1]假设函数在上连续，并且，令函数，求的导函数，并讨论导函数的连续性.解很容易看出，属于定积分的形式，它不满足我们上面讨论的变限积分函数，无法直接求导，所以我们需要用换元的方法进行求导.令，所以，即很容易看出，在上述换元中，必须有，如果，由知，，从而得，进而得所以，当时，而当时，利用导数得定义和洛必达法则可以得到所以，要讨论得连续性，当时，处处连续，所以只需讨论函数在的情况，再由得的导函数在上连续.2.1.3变限积分函数在概率论上的应用此小节主要是论述变限积分函数在概率论上的应用.定义2.1.4设为的概率密度函数,其中为非负可积函数，则（5）称为随机变量的分布函数.下面我们探究几个重要的分布函数.标准正态分布[2]称正态分布为标准正态分布，记标准正态变量为，为分布函数，即.因为标准正态分布的分布函数中没有任何未知参数，所以其值可以完全算出，对于有变上限积分不仅可以用来表示一维分布函数，还可以定义二维连续型随机变量的分布函数.定义2.1.5如果二元函数非负，为二维连续型随机变量，的联合密度函数为.则称为二维随机变量的分布函数.二维分布函数的常用性质：（1）.（2）.2.2利用函数项级数表示函数2.2.1函数项级数的定义定义1设数集E上存在一个函数列，则称（6）为上的函数项级数，记为或.并称（7）为函数项级数（6）的部分和函数.若，函数项级数（8）收敛，即部分和当时极限存在，就说明级数（6）在点处收敛，为收敛点，若级数（8）发散，那么级数（6）在点发散.当级数（6）在数集的某个子集中的每个点都收敛时，那么数集就为函数项级数（6）的收敛域.并将称为级数（6）的和函数，即2.2.2函数项级数的性质设函数项级数，其和函数,，若，正整数.当时，对一切都有，那么函数项级数在上一致收敛于.性质1（连续性）若函数项级数在区间上一致收敛，且每一项都连续，则在上为连续函数.这个性质说明，求和运算与求极限运算可以交换顺序，即（9）性质2（逐项求积）若函数项级数在上一致收敛，且每一项都连续，则（10）性质3（逐项求导）如果函数项级数的每一项在区间上都有连续的导函数，为的收敛点，并且在上一致收敛，则（11）例5求级数的和函数解设和函数为，则下式成立令令2.3利用幂级数展开式表示函数2.3.1幂级数的定义函数项级数（12）称为幂级数.下面我们主要讨论当时，幂级数（13）的情形，因为只要我们将（13）中的改成即可，这样就可以得到（12）.首先，我们应该了解幂级数的（13）的收敛性，如果幂级数（13）在处收敛，那么对满足不等式的任何，幂级数（13）收敛而且绝对收敛，若幂级数（13）在处发散，则对满足不等式的任何，幂级数（13）发散.我们在参考文献[3]中已经了解了如何求幂级数的收敛区间，下面我们讨论幂级数的性质.2.3.2幂级数的性质（1）幂级数（13）的和函数在收敛区间上为连续函数；若幂级数（13）在左（右）端点上收敛，则其和函数在右（左）端点上也连续.例如以下两个幂级数（14）（15）很容易看出幂级数（14）、（15）分别逐项求积和逐项求导就能得到幂级数（13）.（2）幂级数（13）和幂级数（14）、（15）的收敛区间相同.（3）如果幂级数（13）在收敛区间上的和函数为，如果有，那么（i）在点为可导函数，且（ii）在区间上可积，且（iii）和函数在收敛区间上具有任意阶导数，且可逐项求导任意次，即从而有.例6[4]证明解析这类例题有点复杂，如果我们从等式左边入手的话，的原函数很难求得；并且等式右边的和函数用常规方法很难求出结果，用幂级数的方法也很难求出来.因此我们进一步分析，由于，则我们须将等式左边的积分看做正常积分.因为，所以我们运用指数函数的幂级数展开式来证明该等式.证明我们由（1）的关系，利用幂级数展开式并逐项积分，就有，要想求得等式右边级数通项中的积分部分，必须考虑其中，在上式第三个等式中的，这是因为因此，综上，例7求级数的和.解析该问题直接求和不是很容易，那么我们可以将此级数和看作幂级数在处的和.解设，等式两边求导得等式两边积分得由可得所以，2.3.3几个重要的用幂级数表示的函数（1）对应的我们可以得到一般指数函数的幂级数展开式.（2）那么逐项求导可得到的幂级数展开式.（3）（4）.因为是任意实数，所以当时就得到（16）当时得到（17）一般来说，以上给出的初等函数都满足在处有任意阶导数，并且对一切满足不等式的，有这里的是在处的泰勒公式余项.总之，通过对初等函数进行变量代换、四则运算或逐项求导、逐项求积等方法，间接的可求出相应函数的幂级数表达式.例[3]以与分别代入（16）与（17）式，可得（18）（19）对于（18）式、（19）式分别逐项求积可得到函数与的幂级数展开式：2.4以傅里叶级数表示函数上节我们了解到了什么样的函数可以用幂级数展开式表示函数，本节我们就来探究一下能否简化函数所满足的条件，从而用另外一种级数来表示函数，这就是我们本节所探究的以傅里叶级数表示函数.2.4.1傅里叶级数的定义若在整个数轴上（20）并且等式右边级数一致收敛，则有下列关系式：（21a）（21b）（21c）我们将以的傅里叶系数为系数的三角级数（20）称为的傅里叶级数，记作（22）令时，函数（22）变为（23）2.4.2傅里叶级数的性质性质1在上为可积函数.性质2在上每一点都存在，且有（24）性质3补充定义在上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为），在上可积.性质4如果是以为周期的连续函数，且在上按段光滑，则的傅里叶级数在上收敛于.例8求级数的和解因为函数是一个偶函数，则它的傅里叶系数为根据收敛定理可得，故例9[2]设函数在上为可积函数.证明：若的傅里叶级数在上一致收敛于，则称为帕赛瓦尔等式，其中，为的傅里叶系数.证明因为的傅里叶级数在上一致收敛于，所以由在上为可积函数知，在上为有界函数，由于在上一致收敛，则在也上一致收敛，因此积分与求和可交换次序，可得就本节来看，以傅里叶级数表示函数的条件相比于上节来说要简单一些，只需满足函数在按段光滑且在上为周期函数即可.2.5隐函数2.5.1隐函数的概念我们之前所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，比如这种形式的函数称为显函数，但是我们在不少场合遇到过另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应关系则是由一个方程式所确定，我们称为此类函数为隐函数，例如.设，函数，对于方程（26）若，对，都有唯一确定的，使得，且满足方程（26），那么称方程（26）为在定义域，值域含于上的隐函数.若则成立恒等式比如下列方程我们可以很容易得到一个定义在上的隐函数.如果将从方程中解出，这个函数也可表示显函数形式2.5.2隐函数的性质若二元函数满足：（i）在以为内点的某一区域上连续，（ii），（iii）偏函数，在上都连续（iv）那么（1）存在点的某邻域，在上方程惟一地确定了一个在某区间上的（隐）函数，使得当时，，且；（2）在上连续.（3）由方程（26）所确定的隐函数在上有连续导函数，且（27）例9求由方程所确定的隐函数的导数解设2.5.3多元隐函数 我们可以类似的给出由方程所确定的元隐函数的定义，并叙述下列元隐函数的唯一存在与连续可微性定理定理2.5.3（1）函数在以点为内点的区域上连续，（2），（3）在上存在且为连续函数，（4），则10存在点的某邻域，在上方程唯一地确定了一个在的某邻域上的元连续函数，使得当时，且20在上有连续偏导数而且2.5.4隐函数组设有方程组（28）其中是定义在上的四元函数.如果存在平面区域，，对于中的任意一点，有唯一的，使得，且满足方程组（28），则称由方程组（28）确定了隐函数组并在上成立恒等式定理2.5.4若（i）在以点为内点的区域上连续，（ii）（iii）在上具有一阶连续偏导数，（iv）在点上不为零，则10存在点的某一邻域，在上，方程组（28）唯一的确定了在点的某一邻域上的两个二元函数使得，当时20在上都为连续函数，30在上具有连续的一阶偏导数，且（29）注：常微分方程的解常常是以隐函数的形式呈现.2.6用含参量积分表示函数在2.1中我们定义了以变限积分表示函数，被积函数为一元函数，积分上下限为自变量，本节我们来讨论一下被积函数为二元函数的含参量积分函数.2.6.1含参量积分函数的定义定义1设是矩形区域上的二元函数，当取上某定值时，函数则是在上以为自变量的一元函数，若在上为可积函数，则其积分值是在上的取值函数，记它为，即（30）若区域变为，则（31）我们将（30）、（31）称为在上的含参量积分.定义2若二元函数定义在无界区域上，为一区间,若对每一个固定的,反常积分（32）都收敛,则它的值是上取值的函数,当记这个函数为时,则有（33）称（32）式为定义在上的含参量反常积分.2.6.2含参量积分的性质性质1（连续性）若在上为连续函数，则在上也连续；性质2（可微性）若和其偏导数在矩形区域上都为连续函数，则在上可微，且（34）性质3（可积性）若在矩形区域上连续，则分别在和上可积.即（35）性质4（连续性）设在区域上连续，其中上的连续函数，则在上为连续函数.性质5（可微性）若在上连续，其值含于内的可微函数，则在上可微，且（36）性质6设在上为连续函数，若含参量反常积分在上一致收敛，则在上连续.则（37）例11[5]当，能否算出的导数？解不能，因为2.6.3两个重要的含参量积分函数1伽马函数（38）性质1在定义域内连续且可导.性质2递推公式（39）当为正整数，则（39）式可写成（40）2贝塔函数（41）性质1在定义域内连续.性质2对称性：.性质3递推公式（42）（43）3伽马函数与贝塔函数的关系（1）（2）这两个函数统称为欧拉函数，通过两个函数之间的关系，在以后的解题过程中可以得到简化。例12[6]计算广义积分：解设有：例13[7]求积分解其中令，上式就等于令得上式另外在概率论中也有两个常用的概率分布伽马分布若随机变量的密度函数为则称服从伽马分布，记作，其中为形状参数，为尺度参数.伽马分布的数学期望和方差伽马分布的两个特例1.当时，伽马分布变为指数分布,则，2.当时，随机变量服从自由度为的（卡方）分布，记为，即则，贝塔分布若随机变量的密度函数为则称服从贝塔分布，记作,其中都是形状参数.则那么几种常用的特殊函数1符号函数（44）该函数具有以下常用性质（1）为唯一的跳跃间断点.（3）由可知，它在上为奇函数.（4）它在非原点处都可导，且导数为0.（5）它在任意区间上都可积.此函数可以用来证明可积函数不一定有原函数，也可用于简化带绝对值函数积分的计算.2黎曼函数（45）该函数具有以下常用性质（1）它的间断点为有理点，连续点为无理点.（2）它在区间内的极限处处为0.（3）它在区间上都可积，且积分值为0.（4）它在区间上的每一点都不可导.3狄利克雷函数（46）该函数具有以下常用性质（1）它是有界的偶函数.（2）它不具有单调性,也没有极限.（3）它在任意区间上既不连续也不可导.（4）它是周期函数，且任何正有理数都是它的周期（没有最小正周期）.4取整函数取整函数指的是不超过的最大整数，用表示，叫做的取整函数.取整函数的常用性质（1）当时，当时；（2）单调递增的函数，即（3）右连续，即任意（4）.其实特殊函数也是函数表达式又一形式，特殊函数的形式可以帮助我们简化解题思路，每一种特殊函数都有各自的针对性和特殊性