2026年重庆中考数学二轮复习 专题07 二次函数综合压轴题(角相关4大题型)(重难专练)

Page专题07二次函数综合压轴题内容导航第一部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点核心模块重难考向考法解读/考向预测第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧要点梳理典例验知技巧点拨类题夯基考向二次函数角度相关第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶重●难●考●向●解●读2023、2024、2025年考法解读2026年考法预测中考数学中二次函数压轴题的各种点主要考向分为两类：一、最值相关（每年1道小题，4分）；二、角度相关（每年1题小题，4分）；考查内容稳定，，以解答题为主，难度中等偏上，计算难度较大。这道题通常涉及二次函数与几何图形，预计2026年将依然保持高综合性，重点考查分类讨论和数形结合思想。高频考点：常以二次函数为背景，融合三角形相似、角度相关的存在性探究。你需要熟练掌握利用顶点式求解析式，并灵活运用线段比转化坐标。

重●难●要●点●剖●析考向二次函数角度相关题型1角相等考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数等；能根据题意构建相似三角形，并能熟练利用二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数进行求解是解题的关键．1．（重庆大学城第三中学校2024-2025学年二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线上一点，抛物线的对称轴为直线．(1)求抛物线的表达式；(2)为直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标．此时点保持不动，将线段沿直线继续平移，求平移过程中的最小值；(3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，得到抛物线，的对称轴与轴交于点，线段上有一点，连接，过点作交抛物线于点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)(2)，的最小值为(3)点的坐标为或，过程见解析【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且经过点，∴，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：将代入，得，∴点的坐标为，将代入，得，，解得，，∴点的坐标为，点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，得，，解得，∴直线的解析式为，设直线的解析式为，将，代入，得，，解得，∴直线的解析式为，如图，延长交于点，交于点，作，垂足为，设点的坐标为，∵轴，∴，，∴，，，∴，，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴也是等腰直角三角形，∵，∴，，∵，∴当时，取得最大值，此时点的坐标为，∵两点之间，线段最短，∴，当、、三点共线时，取得最小值，又∵垂线段最短，∴当时，最小，此时点、、恰好共线，∴当时，取得最小值，如图，∵，，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即，∴点与点重合，在直角中，，∴，∴的最小值为．综上所述，的面积最大时，点的坐标为；平移过程中，的最小值为．（3）解：∵，，∴沿射线平移等同于向右和向上同时移动相同的单位长度，设抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，由平移规律可得，将点代入，得，，解得（负值舍去），∴，对称轴为直线，∴点的坐标为，设点的坐标为，点的坐标为，①当点在右侧时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∵轴，轴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，，，，∴，解得或，∵点在线段上，∴，∴，，∴点的坐标为；②当点在左侧时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，同理可得，∴，，∵，，，，∴，解得或，∵，∴，，此时点的坐标为，综上所述，点的坐标为或．2．（重庆市第二外国语学校2025年二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．直线经过，两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点是上方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交于点，点，为轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)(2)；(3)，【详解】（1）解：对于：令，则，则；令，则，则．把点，代入中，得，解得，所以，该抛物线的函数表达式为；（2）解：设，则，，此时，，，且，当时，取得最大值，此时．对于：令，则，，则，点，为轴上的动点，，将向上平移1个单位长度得到，，；（3）解：，．过程如下：抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，，即，，，轴，，，．分两种情况讨论：①当时，，，即，解得：，，，，②当时，，，即，无解．综上，，．3．（重庆市开州区2024-2025学年二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式：(2)如图1，连接、，过点B作交抛物线于点D，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点E、点F为x轴负半轴上一动点，连接、、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标及的最小值：(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线．点M为直线上一点．将直线绕点M逆时针旋转得到直线，其中，直线与新抛物线交于点N．若，请直接写出所有符合条件的点N坐标．【答案】(1)(2)，(3)或【详解】（1）解：代入点，得解得∴；（2）解：令，得，∴，设直线的解析式为，代入点，得，解得，∴，∵，∴可设直线的解析式为，代入点，得，解得，∴，令，解得，，令，得，∴，如图，连接，过点P作轴，交于点M，∵，∴，∴四边形的面积，设直线的解析式为，代入点，得，解得，∴，设，则，，∴，∴当时，的面积最大，即四边形的面积最大，，∴此时点P的坐标为，如图，作直线，使得，且，则，连接，过点P作，∴，∴即为的最小值，设，由题意，得，设直线的解析式为，代入，得，∴，∴，设点，则，，，又∵，∴，解得（舍去），或，当时，；（3）解：∵，，∴，，故抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，故，分两种情况讨论：第一种：如图，若是的外角，则，交x轴于点E，取点，则，由题意，得，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，平分，设点E到的距离为h，∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，又，∴，∴，设直线的解析式为，代入点，得，解得，∴，联立，得，解得（由图可知，不合题意，舍去），，当时，，∴；第二种：如图，若是的内角，则，顺时针旋转第一种情况下的得到，由题意，得，∴，∴，点在上，由旋转的性质，易得，，轴，，∴，设直线的解析式为，代入点，得，解得，∴，联立，得，解得（由图可知，不合题意，舍去），，当时，，∴，综上，或．4．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点B在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点D，过点D作，交于点E，求的最大值，及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M是新抛物线上一点，当时，写出符合条件的点M的横坐标，并选一种情况写出解答过程．【答案】(1)(2)最大值为2，此时，点的坐标为(3)点的坐标为或．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵抛物线与x轴交于点和点B（点B在x轴的正半轴上），∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：对于，当时，，∴，∴，又，，，∴是等腰直角三角形，∴，设，∵轴，∴，∴，∵，∴，又，∴；∵，，∴，∴，∴，∵，∴有最大值，最大值为2，此时，点的坐标为；（3）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为，∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，∴新抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，∴，∵点M是新抛物线上一点，∴设，∵，则有：①当点在上方时，如图，则，∴，∴，∵，∴，，∴点的坐标为；②当点在下方时，如图，则与交于点，设点，则，∴，∵，∴∵，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，把，代入得，解得，∴直线的解析式为，联立方程，解得或（不合题意，舍去）∴，∴点，综上，当时，点的或．题型2角互余主要考查了二次函数与坐标轴交点、求一次函数解析式、解直角三角形、勾股定理、二次函数图像平移、平行四边形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线和具备较强的计算能力是解题关键。5．（重庆市巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点，的坐标分别为，(1)求抛物线的解析式；(2)点是直线下方的抛物线上一动点，求四边形的面积最大值，及此时点的坐标；(3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)四边形的面积最大值为，(3)或【详解】（1）解：将A、B点坐标代入抛物线解析式，得，解得，抛物线的解析式为；（2）当时，，，设直线的解析式为，将B、C两点坐标代入，得，解得，直线的解析式为，如图，过点P作交于点D，连接，设，则，，，，当时，四边形的面积最大，最大值为，；（3）由题意知，分两种情况求解，如图，作，，即直线与抛物线的交点即为点M，C、M关于抛物线的对称轴直线对称，；如图，作直线使交于点F，又，，即直线与抛物线的交点即为点M，，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，，设直线的解析式为，将C、F点坐标代入得，解得，直线的解析式为，联立，解得或，，综上所述，点的坐标为或．6．（重庆市第一中学校2024-2025学年二模）如图所示，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点、两点，与轴的正半轴交于点．已知点，点，连接．(1)求拋物线的解析式；(2)如图1，点为抛物线第一象限内的一点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图2，点是线段的中点，将抛物线沿着射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线上，是否存在点使?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)的最大值为16，此时点的坐标为(3)或【详解】（1）解：代入，得，解得：，拋物线的解析式为．（2）如图，作轴交轴于G，交直线于E，令，则，即，，，，又，，轴，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，设，则，当时，有最大值8，即，此时，，，的最大值为16，此时点的坐标为．（3），，抛物线沿着射线的方向平移个单位，，抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位，新抛物线的解析式为：，由（2）中的结论得，，即，，；如图，以为斜边作等腰直角，设∴，∴∴由得，代入方程组解得：或∴或设直线的解析式为，代入，或∴或解得：或∴直线的解析式为或联立，解得或（结合函数图象，舍去）联立，解得或（结合函数图象，舍去）的坐标为或．7．（2025年重庆市西南大学附属中学九年级中考三诊数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知的面积为3．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上一动点，当点P在第一象限运动时，过点P作轴，垂足为H，作交于点Q，点G是y轴上的动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线交于另一点D．点K为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一种情况的求解过程．【答案】(1)(2)(3)点K的坐标为或【详解】（1）解：对于，当时，，∴，∴，∵的面积为3，∴，∴，∵，∴，将，代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵，，，∴设直线的解析式为，代入得，解得，∴直线的解析式为，∵，设直线的解析式为，代入得，解得，∴直线的解析式为，如图，作交轴于，令交于，∴设直线的解析式为，将代入解析式可得，解得，∴直线的解析式为，当时，，即，∴，∵，∴，，∵轴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴当最大时，取得最大值，设且，则，∴，∵，∴当时，的值最大为，此时的值也最大，当时，，即，∴，∴、关于轴对称，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得：，∴的最小值为的长，∴设直线的解析式为，将代入解析式可得，解得，∴直线的解析式为，联立，解得，即，∴，即的最小值为；（3）解：∵原抛物线为，直线的解析式为，∴设将该抛物线沿射线方向平移（即向右平移个单位长度，向上平移的单位长度）得到新的抛物线，∴新抛物线解析式为，∵新抛物线经过点C，∴，解得：或（不符合题意，舍去），∴新抛物线解析式为，联立，解得：或（不符合题意，舍去），∴；如图，当点在直线的上方时，连接交轴于，取的中点，连接，则，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，作于，则为等腰直角三角形，∴，设，则，，∵，∴，∵，∴，解得：，即，设直线的解析式为，将，代入解析式可得：，解得：，∴直线的解析式为，联立，解得：或（不符合题意，舍去），∴；如图，当点在直线的下方时，延长交于，则，∵，∴，∵，∴，∴，，设，则，解得：或（不符合题意，舍去），∴，同理可得：直线的解析式为，联立，解得或（不符合题意，舍去），此时；综上所述，点K的坐标为或．8．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点，轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标；(3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．【答案】(1)；(2)周长的最大值为，此时点P的坐标为；(3)存在，坐标为或．【详解】（1）解：把，代入得：，解得，抛物线的函数表达式为．（2）解：设，轴，H在直线上，，；在中，令得，令得，，，，，轴，，，是等腰直角三角形，，，，，当时，取最大值，最大值为，此时，的周长的最大值为，此时点P的坐标为．（3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下：当在轴上方时，延长，交于，如图：在中，令得或，，由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，新抛物线函数表达式为，把代入得：，解得舍去或，新抛物线函数表达式为，在中，令得或，，由，可得直线函数表达式为，设，，，，，，，解得，，由，可得直线函数表达式为，联立，解得或，；当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，由，得直线函数表达式为，联立，解得或，；综上所述，的坐标为或．题型3角的倍数关系考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，图像的平移，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点等知识点．掌握二次函数的图像与性质，图像的平移，相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．（重庆市第七中学校2024-2025学年二模）如图，一次函数与二次函数交于点和点．(1)求二次函数的解析式；(2)点P为直线下方抛物线上一动点，轴交于点M，，垂足为N，求的最大值，及此时点P的坐标；(3)将二次函数图象向某个方向平移，平移后（2）中求得的点P的对应点为，且新抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F的左侧），交y轴于点G．H为新抛物线位于第四象限上的一动点，过H作轴，垂足为K，连接．若，直接写出新抛物线的解析式和点H的坐标．【答案】(1)(2)的最大值为，此时，点(3)，【详解】（1）解：把点代入一次函数，则，，把，代入二次函数表达式，得：，解得：，则抛物线的表达式为：；（2）解：如图所示，设直线分别与x、y轴交于点T、R，一次函数，当时，；当时，，，，，是等腰直角三角形，，，轴，，，，是等腰直角三角形，，，，点P为直线下方抛物线上一动点，设点，则点，则，则，当时，有最大值，最大值为，，此时，点；（3）平移后（2）中求得的点P的对应点为，则函数向左平移2个单位向下平移2个单位，则新抛物线的表达式为：，当时，，则，当时，，，，如图所示，设与y轴交于点W，轴，，，，，，设，则，在中，，解得：，，设直线的解析式为，把代入，，解得：，直线的解析式为，，解得：，（不合题意舍去），在第四象限，．10．（重庆市巴渝学校2024-2025学年二模）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)设四边形的面积为S，求S的最大值；(3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标．【答案】(1)(2)的最大值为(3)【详解】（1）解：将代入，得：；（2）解：过点作轴于点，如图所示，令，则，，，为第四象限内抛物线上一点，设点，，，，，当时，有最大值，；（3）解：设交轴于点，如图，轴，轴，，，，，，，设，则，，，，设直线的解析式为，把代入得：，，令，解得：，点的横坐标为，把代入得：，点的坐标为．11．（重庆市开州区大进初级中学2024-2025学年九年级下学期三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点．(1)求该抛物线的解析式；(2)连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动时，连接，求的最小值；(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)；(3)存在，点的横坐标为，理由见解析【详解】（1）解：抛物线经过点，，，解得．该抛物线的解析式为．（2）解：抛物线与轴交于点，且当时，，，，设直线的解析式为，直线经过点，，，解得，直线的解析式为，设点，则，，，轴，，，当取最大值时，取得最大值，即，，∴当时，取得最大值，则点的坐标为；设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接，∵，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∵为定值，当三点共线时，有最小值，∴有最小值，即有最小值，∵，∴，∴的最小值为，即的最小值为，（3）解：存在，点的横坐标为，使得，理由如下：在轴负半轴上取点，使得，连接，如图．设点的坐标为，则，．在中，，，解得，，．，，，，．又∵，∴，∴，即，设，∴，解得或（舍去）．存在点，当点的横坐标为时，．12．（2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值；(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程．【答案】(1)(2)，(3)11或【详解】（1）解：∵，∴当时，，∴，∴，∵，，∴，，∴，，代入抛物线得：，解得：，∴．（2）解：如图：过点F作轴交于点G，交x轴于点L，设抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作，过点N作于点M，使，则，∵，∴抛物线的顶点坐标为，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，∴直线的解析式为，∵，，∴，，∵，，∴，∵轴，，∴，，∴，∴，即，∴，设，则，，∴，∵，∴当时，最大，此时，，即，由点到直线的最短距离可得当F、M、N三点共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交x轴于点S，此时，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，由，得，，∴，，∴，，∴，∴最小值为．（3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，∴新抛物线的解析式为，设直线解析式为，代入，，得：，解得：，∴直线解析式为，联立，解得：或，∴，如图：连接，∴∴，∴如图，在直线上取一点S，使得，则，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，设，则，，∴，解得：，∴，设直线解析式为，代入，，得：，解得：，∴直线解析式为，与抛物线联立得，解得：（舍），，即点K的横坐标为11；如图，利用对称性在直线上取另一点，使得，则，即直线与抛物线的另一交点即为点K，设，则，，∴，解得：（舍），，∴，设直线解析式为，代入，，得：，解得：，∴直线解析式为，与抛物线联立得，解得：（舍），，故点K的横坐标为．综上所述，点K的横坐标为11或．题型4多角和差关系考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质与判定，三角函数的定义，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度，利用几何性质构造角的和差关系是解题关键。13．（重庆八中宏帆中学2024-2025学年二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，作直线．已知是抛物线上的两点．(1)求抛物线的表达式；(2)试判断是否存在实数使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)(2)不存在满足条件的，理由见解析(3)点为或，见解析【详解】（1）解：，．将代入，得，解方程组，得，∴抛物线的解析式是；（2）解：，，．．关于的一元二次方程．∴不存在满足条件的；（3）解：∵抛物线与轴交于点，故．，，则直线为．设的坐标为，则．．当取得最大值时，．此时，．设的坐标为．当点在点的左边，，如答图1．，．．，∴直线为．，且过点，∴直线为．直线经过点，．解方程，得（舍去）．．当点在点Q的右边，．如答图2，过点作轴，与过点与轴平行的直线交于点．则．，，．．，即．∴整理，得．解方程，得（舍去）．．综上所述：满足条件的点为或．14．（重庆市万州区2024—2025学年一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，，其中，．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作交轴于点，过作轴交于点．点与点为直线上的两个动点，满足点在点的上方且，连接，，当取得最大值时，求点的坐标及的最大值；(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，点为新抛物线上一点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)(2)；，；(3)点的坐标为或或或，过程见解析【详解】（1）解：把点，代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：延长交轴于点H，当时，得到，∴∴∴，，∴，即∴设直线的解析式为，则，解得，∴的解析为，设点P的坐标为，则，∴，∵，当时，有最大值，此时点P的坐标为；将点沿着方向平移个单位得到（即向右平移1个单位，向下平移2个单位），则，则∴四边形为平行四边形，∴∴即的最大值为；（3）解：将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，相当于将抛物线向右移动２个单位，再向下平移4个单位，新抛物线的解析式为，∵，∴如图，记直线与轴交于点L，交抛物线于点，则，∴即，解得∴，设直线的解析式为，把，代入得到，，解得，直线的解析式为，联立得到，解得或在轴上取点，使得，则，同理可得，直线的解析式为，联立得到解得或∴点的坐标为或或或15．（重庆市鲁能巴蜀中学校2025年二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交轴于A，B两点在的左侧），交轴于点，连接AC，其中．(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段下方抛物线上的一动点，连接交线段于点，过点作直线交拋物线于点，点是轴上的动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；(3)在（2）中当取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点向右平移一个单位长度得到点，点为拋物线上的一动点并在拋物线的对称轴右侧，过点作直线交抛物线于点．连接PA，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程．【答案】(1)(2)，(3)【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点C，∴令，得，∴．∵∴∵点A在B左侧，∴．将代入抛物线方程：​，解得．∴抛物线的表达式为：．（2）解：设直线的解析式为，则，解得：∴直线的解析式为．∵，设的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为．设，设直线的解析式为，则，解得：∴直线的解析式为，联立、得：，解得：，∴，如图：过P作轴，轴，则，∴，，∵，∴，∴当时，有最大值，此时；∵，，∴，∴；如图：过点F作，过点B作垂足为G，∴，∴，∴，如图：过点F作于H，垂足为H，则四边形是矩形，∴，∴，如图：过点作交于，则是直角三角形，由垂线段最短可知：为的最小值，设，则，，∴，解得：或2；当时与点B重合，不符合题意，故，∴，∴的最小值；（3）解：∵抛物线沿方向平移​个单位，∴向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，，化简得．联立，解得：或（与点B重合舍去），∴，∵将点向右平移一个单位长度得到点，∴，设，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，联立，解得：或，∴或（与点K重合，不符合题意），∵，∴，∵，∴，如图：当即，点Q位于对称轴的左侧，延长使其相交于点H，则，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，解得：或（不合题意舍去），∴点Q的横坐标为．16．（重庆市珊瑚初级中学校2023-2024学年九年级下学期一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为交轴于两点，与轴交于点，连接．(1)求三点的坐标；(2)如图1，是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点，求的最大值及点的坐标．(3)如图2，将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上的一个动点．当时，请直接写出所有符合条件点的坐标．【答案】(1)，，(2)的最大值为1，点的坐标为(3)或【详解】（1）解：令，则，解得，，∴，，令，则，∴；（2）解：由（1）得，，∵，∴，∵轴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，，设直线的解析式为，代入，，得，解得，∴直线的解析式为，设点的坐标为，则，其中，则，∵，∴当时，有最大值，最大值为1，此时点的坐标为；（3）解：，∵，，∴直线的解析式为，∵将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，∴将抛物线向上平移2个单位长度，向右平移1个单位长度得到新抛物线，∴，∵，∴，①当在轴上方时，记此时点为，∵，∴，∴设直线的解析式为，代入，得，解得，∴直线的解析式为，联立，解得或（舍去），∴；②当在轴下方时，记此时点为，延长与交于点，设点的坐标为，∵，∴，∴，解得，∴，∴直线的解析式为，联立，解得（舍去）或，∴；综上，所有符合条件点的坐标为或．重●难●提●分●必●刷（建议用时：60分钟）1．直线与抛物线分别交于轴上的点和y轴上的点．(1)求抛物线的表达式；(2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点N；当面积取得最大值时，求的最小值；(3)记抛物线与轴的另一交点为点，将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得新抛物线．点为新抛物线上的一动点，若满足，则求所有符合条件的点H的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程．【答案】(1)抛物线的表达式为；(2)当面积取得最大值时，最小值为；(3)所有符合条件的点的横坐标为或．【分析】（1）先利用直线的表达式求得点、的坐标，然后利用待定系数法即可得抛物线的表达式；（2）作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，设，与抛物线联立，消去，可得关于的一元二次方程，令判别式为0，可得，利用勾股定理可得和之间的距离，将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，四边形为平行四边形，可证当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，此时取得最小值，通过平移规律求得，根据勾股定理可得，即可得的最小值；（3）由二次函数图象的平移可得，取点，连接，证明，可得，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标，作平行四边形，则，，点为射线与抛物线的交点，由待定系数法可得直线的解析式为，与联立，即可得点的横坐标．【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，，∴，，∵直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点，∴，解得，，∴抛物线的表达式为．（2）解：∵为直线上方抛物线上一点，∴作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，设：，则，∴有两个相等的实数根，令，解得，∴：，∴，解得，，即当时，面积取得最大值；由（1）可知，，，∴，∴为等腰直角三角形，∴，将直线：向下平移2个单位长度得到直线，：，设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示，则为等腰直角三角形，对于直线：，当时，，即，，，，直线和直线的距离为，为直线上任意一点，过点作于点，；将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示，则，，四边形为平行四边形，，，当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，为定值，此时取得最小值；作轴于点，如上图所示，则为等腰直角三角形，，，即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点，，，，，点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点，，，点为点关于轴的对称点，，，当、、共线时，此时，当面积取得最大值时，最小值为．（3）解：由可得，，∴，，根据题意可得，取点，连接，则，在和中，，∴，∴，∴，∴点为射线与抛物线的交点，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，由，可得，解得，，∴，∵，，∴，作平行四边形，则，，∴，∴点为射线与抛物线的交点，∵，∴，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，由，可得，解得，，∴，综上，所有符合条件的点的横坐标为或．2．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，为直线上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作轴交轴于点，交于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值；(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，的最小值为(3)存在，的坐标为或【分析】（1）先求得点，然后利用，求得点，然后利用待定系数法解题即可；（2）先求出直线的表达式，接着不妨设点，那么，表示出，结合二次函数，求出其最值，以及，从而得到点坐标，接着求出直线，的表达式，得到点坐标，算得长度，接着判断四边形是平行四边形，那么，那么当取得最小值时，最小，过点作，过点作交于，那么四边形是平行四边形，可得到，从而推出当、、三点共线时，取最小值，最小值为，不妨设点，利用平行四边形的性质，结合平移，表示出，，接着利用勾股定理求得即可；（3）先算得当点满足时，，以及新抛物线的对称轴为直线，接着设新抛物线的对称轴交x轴于点T，过点A作，交的延长线于点L，过点A作轴，交新抛物线的对称轴于点，过点作于点W，交x轴于点，先证明，得到，，设，则，接着证明，通过算得答案．【详解】（1）解：当时，代入，解得，∵抛物线交轴于点，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，∵抛物线交轴于，且过，∴，∴，∴；（2）解：设直线的表达式为，代入，得，解得，∴直线的表达式为：，不妨设点，那么，∴，∵，∴，∵，∴