2026年20届华杯赛中年级初赛a试题及答案

2026年20届华杯赛中年级初赛a试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若三位数5a4能被9整除，则数字a的值是A.0B.1C.2D.32.把2026拆成两个质数之和，共有多少种不同的拆法（顺序不同视为同一种）A.12B.14C.16D.183.一个正方形被分成四个全等的小正方形后，周长总和比原正方形周长增加了24厘米，则原正方形面积是A.36B.64C.81D.1004.甲、乙、丙三人绕400米跑道同向跑步，速度分别为200、250、300米/分。三人第一次同时回到起点需A.4分B.6分C.8分D.12分5.从1到100中任取两数，使其和为完全平方数，则不同的取法共有A.48B.56C.64D.726.若定义运算a⊙b=a×b－a－b＋2，则方程x⊙7=37的解为A.5B.6C.7D.87.把1~9这九个数字填入3×3方格，使每行、每列、每条对角线之和都相等，则这个和是A.12B.15C.18D.218.某商品先提价20%，再降价20%，现价与原价的比值是A.0.96B.0.98C.1.00D.1.029.若正整数n满足n²+2026是完全平方数，则n的最小值是A.15B.18C.21D.2410.一条线段被随机分成三段，能构成三角形的概率是A.1/4B.1/3C.1/2D.2/3二、填空题（每题2分，共20分）11.把0.2026化成最简分数，分子与分母的和是________。12.若A=2³×3²×5，B=2²×3×5²，则A与B的最小公倍数是________。13.一个三位数，个位是十位的一半，百位比十位大2，数字和为12，这个数是________。14.把1~2026这2026个自然数依次写成一行，共用了________个数字。15.若x+y=10，xy=21，则x²+y²=________。16.时钟在4点________分时，时针与分针第一次重合。17.把边长为1的正方体表面全涂红后锯成27个边长为1/3的小正方体，恰有________个小正方体三面红色。18.若a※b表示a与b的最大公约数，则(2026※1111)※737=________。19.某班有48人，会游泳的占37.5%，会骑车的占62.5%，两项都会的至少________人。20.若正整数m使1+2+…+m的和为完全平方数，则m≤100时满足条件的m共有________个。三、判断题（每题2分，共20分，正确打“√”，错误打“×”）21.任意两个连续奇数一定互质。22.若a²>b²，则a>b。23.一个数的平方末位是6，则这个数的个位一定是4或6。24.把圆分成n个扇形，用3种颜色涂，要求相邻不同色，则n=5时共有30种方法。25.若x为无理数，则x²一定为无理数。26.任意六边形内角和为720°。27.若a:b=2:3，b:c=4:5，则a:c=8:15。28.把1~9分成三组，每组和相等，这种分法存在。29.若正整数n的所有正因数之和为2n，则n称为完全数，28是完全数。30.把1~100中所有能被3或5整除的数去掉，剩下66个数。四、简答题（每题5分，共20分）31.说明为何任意四个连续自然数之积一定能被24整除。32.甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，甲速4km/h，乙速6km/h，相遇后甲又走2小时到达B地，求AB距离。33.证明：若一个两位数的十位数字与个位数字交换后所得的新数与原数之和为完全平方数，则这个完全平方数只能是121。34.把1~8填入两个同心圆上的八个等分点，使每圆上四点之和相等，且两圆公共四点之和也相等，给出一种填法并说明思路。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论“黄金分割比”在小学数学竞赛题型中的渗透方式，并举例说明如何设计一道求线段分割点的试题。36.试分析“抽屉原理”在数论、图形、组合三类题型中的统一本质，并各举一例说明命题技巧。37.探讨“逆向思维”在解应用题中的价值，结合“倒水问题”说明如何引导学生倒推条件。38.讨论“对称策略”在填数游戏中的作用，以“魔方阵”与“圆排列”为例说明如何利用对称减少枚举量。答案与解析一、单项选择题1.C2.B3.B4.C5.C6.B7.B8.A9.C10.A二、填空题11.102612.2³×3²×5²=180013.84014.668115.5816.240/11≈21.818，即4点21又9/11分17.818.119.1220.8三、判断题21.√22.×23.√24.×25.×26.√27.√28.√29.√30.√四、简答题31.四个连续自然数中必含两个偶数，其中一个能被4整除，积含因数8；又含一个3的倍数，故积含3；8与3互质，因而积能被24整除。32.设相遇时间为t小时，则4t+6t=AB，相遇后甲走2小时路程即乙走t小时路程，故4×2=6t，得t=4/3小时，AB=10×4/3=40/3km。33.设原数为10a+b，新数10b+a，和为11(a+b)，要为完全平方数，则a+b=11，故和为121。34.外圆填1,4,6,7，内圆填2,3,5,8，公共四点取1,4,5,8，则每圆和18，公共和18，思路：先定公共四点使和相等，再调剩余数对称补位。五、讨论题35.黄金分割比≈0.618，可设计线段AB长100cm，求点C使AC:CB=φ:1，设AC=x，则x/(100−x)=φ，解得x=100φ/(1+φ)≈61.8cm，学生练比例方程。36.抽屉原理本质“量多于器则重复”。数论：任意7个整数必有4个和为4的倍数；图形：单位正方形内任意5点必有两对点距≤√2/2；组合：6人聚会必有3人互识或互不识。命题时控制“器”的大小，让学生算临界。37.逆向思维从结果倒找条件。倒水