2026年62届数学竞赛试题答案

2026年62届数学竞赛试题答案

一、单项选择题(每题2分，共10题)1.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)<0$，则方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内（）A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一实根2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,x)$，若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$x$的值为（）A.2B.3C.6D.-63.函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{4}$4.抛物线$y^2=4x$的焦点坐标是（）A.$(0,1)$B.$(1,0)$C.$(0,2)$D.$(2,0)$5.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_2=3$，$a_5=9$，则$S_5$等于（）A.15B.20C.25D.306.函数$y=\ln(x-1)$的定义域是（）A.$(1,+\infty)$B.$[1,+\infty)$C.$(0,+\infty)$D.$[0,+\infty)$7.已知$\tan\alpha=2$，则$\sin2\alpha$的值为（）A.$\frac{4}{5}$B.$-\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$-\frac{3}{5}$8.曲线$y=x^3-3x^2+1$在点$(1,-1)$处的切线方程为（）A.$y=3x-4$B.$y=-3x+2$C.$y=-4x+3$D.$y=4x-5$9.若复数$z$满足$(1+i)z=2i$，则$z$的共轭复数$\overline{z}$等于（）A.$1+i$B.$1-i$C.$-1+i$D.$-1-i$10.从5名学生中选2名参加数学竞赛，共有（）种选法。A.5B.10C.15D.20二、填空题(每题2分，共10题)1.集合$A=\{1,2,3\}$，集合$B=\{3,4,5\}$，则$A\capB=$______。2.不等式$x^2-2x-3<0$的解集是______。3.已知函数$f(x)=x^2+2x$，则$f(-1)=$______。4.圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为______。5.已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_4=8$，则公比$q=$______。6.函数$y=2^x$的反函数是______。7.已知向量$\vec{a}=(2,-1)$，$\vec{b}=(1,k)$，若$\vec{a}\perp\vec{b}$，则$k=$______。8.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=______。9.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的离心率为______。10.已知函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(x-1)$，则函数$f(x)$的周期为______。三、判断题(每题2分，共10题)1.空集是任何集合的子集。（）2.在区间$(a,b)$内，若$f^\prime(x)>0$，则函数$f(x)$单调递减。（）3.向量的模一定是非负实数。（）4.若$a>b$，则$ac^2>bc^2$。（）5.函数$y=\sinx$是偶函数。（）6.等比数列的公比不能为0。（）7.直线与平面平行，则直线与平面内的任意一条直线平行。（）8.若函数$f(x)$在$x=a$处可导，则$f(x)$在$x=a$处连续。（)9.复数的实部和虚部都是实数。（）10.排列数公式$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$。（）四、简答题(每题5分，共4题)1.简述函数单调性的定义及判断方法。2.写出等差数列的通项公式和前$n$项和公式。3.简述椭圆的定义和标准方程。4.简述向量数量积的定义和性质。五、讨论题(每题5分，共4题)1.讨论如何提高数学学习中的解题能力。2.讨论数学在实际生活中的应用及重要性。3.讨论如何培养学生对数学的兴趣。4.讨论数学竞赛对学生数学素养提升的作用。答案一、单项选择题1.A2.C3.A4.B5.C6.A7.A8.B9.B10.B二填空题1.{3}2.(-1,3)3.-14.4π5.26.y=log₂x7.28.59.$\frac{\sqrt{5}}{3}$10.2三、判断题1.√2.×3.√4.×5.×6.√7.×8.√9.√10.√四、简答题1.函数单调性定义：设函数$f(x)$的定义域为$I$，如果对于定义域$I$内的某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$、$x_2$，当$x_1<x_2$时，都有$f(x_1)<f(x_2)$（或$f(x_1)>f(x_2)$），那么就说函数$f(x)$在区间$D$上是增函数（或减函数）。判断方法：定义法，求导法等。2.等差数列通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$；前$n$项和公式：$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$或$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。3.椭圆定义：平面内与两个定点$F_1$、$F_2$的距离之和等于常数（大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。标准方程：焦点在$x$轴上时$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$；焦点在$y$轴上时$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$。4.向量数量积定义：已知两个非零向量$\vec{a}$与$\vec{b}$，它们的夹角为$\theta$，则数量$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积（或内积），记作$\vec{a}\cdot\vec{b}$。性质：$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$；$\vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$等。五、讨论题1.多做练习题，熟悉各种题型的解题思路和方法；建立错题本，分析做错原因，总结解题技巧；学会举一反三，对类似题型能快速找到解题切入点；遇到难题多思考，尝试不同方法，拓宽思维。2.数学在生活中应用广泛，如购物算账、投资理财、建筑设计等。它能帮助我们更精确地理解和描述世界，做出合理决策，是很多领域发展的基础，提升我们的逻辑思维和解决问题的能力。3.开展数学趣味活动，如数独比赛、数学游戏等；介绍