2026届广东广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（含答案）

广东省广州市普通高中2026年毕业班综合测试(二)数学试题

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。2026.04

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2

B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使

用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合A={-2,-1,0,1},B={x||x-1|＜2},则A∩B=

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1}

2.已知a∈R,复数在复平面内对应的点在虚轴上，则a=

�−�

A.1+�B.-1C.1D.

3.已知非−零2向量a,b满足|a|=3|b|,且(a+b)⊥b,则cos〈a,b〉=2

11

A.-B.C.D.

33

2222

.已知1，则33

43−

1+sin2�

tan�=11

A.2Bc.os2�C.-D.-2

2=2

5.若函数y=f(x)的图象与的图象关于直线y=x对称,且f(2)=18,则a=

A.-9B.�=𝑙�3�+�C.log2D.9

3

6.已知a＞b＞0，且a+b=1−，�则��下2列不等式不一定成立₃的是

A.＜B.＜C.＜D.sinα＜cosb

�11

x2y2

7.已知F�，�F分别为双曲�线−�C：�－=1（a＞b＞�0+）�的左2、右焦点，点A在C的渐近线上，

a2b2

且满足₁₂则C的离心率为

54

A.312B.122C.D.

��⊥��,∣��∣=2∣��∣,33

8.若函数有且仅有两个零点，则的最小值为

32

A.-�2�=�+�B�.+-�1C.1�+�D.2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.

设事件A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”，则

3211

A.B.C.D.

102522

111

10.已知�函𝐴数=���=��则∣�=��∣�=

234

A.2π是f�(x�)的=一co个s�周+期cos2�+cos3�+cos4是�,f(x)图象的一条对称轴

�

25π

C.f(x)的最大值为D�..�=f(x2)在内单调递减

23

11.在棱长为1的正方体1中，点E在线0段AB(包括两端点)上运动，

点F为线段BC的中点𝐴，𝐵则−�1�1�1�1₁₁

A.存在点E,使得AE⊥BD

₁₁

B.存在点E,使得AE∥平₁面BDF

C.当时，经过点₁A，C，E的平面将正方体分成体积之

比为�1�3：=1的3�两�部1分𝐴𝐵−�1�1�1�1

9

D.当△AEF的面积为时，三棱锥F-ABE的外接球表面积为

4

5

4�

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

的展开式中，常数项为.

5

31

2

1132.某.2人�工−智�能博览会有4个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去

参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X，则X的数学期望为.

14.已知圆若直线l:kx-y+3k=0上至少存在一点P,使得圆C上恰

22

有两个点�:与�点+P�的−距4离�+都3为=2，0,则实数k的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+2csinB.

(1)求tanB的值;

(2)若的面积为2，求△ABC的周长.

�=5,△𝐴�

16.(15分)

已知函数

2�

(1)当a=1�时�,求=曲��线��y−=f(�x)−在1点�(1.,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若x=a是函数f(x)的极值点,证明:f(a)＞0.

17.(15分)

如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,将△ACD沿

AC翻折至△ACD',使得连接BD',如图2.

'∘

(1)求三棱锥D'-ABC的体�积�;𝐴=120,

(2)求直线BD'与直线AC所成角的余弦值.

18.(17分)

x2y2

已知椭圆C：－=1（a＞b＞0）的离心率为直线x=1被椭圆C所截得的线段的长

a2b2

1

2

为3.,

(1)求C的方程:

(2)已知点过点P(4,0)的直线l交C于E,F两点(E,F在x轴的下方),直线

BF交直�线0x=13于,点M.

(i)设直线ME的斜率为k，直线MF的斜率为k，判断是否为定值，并

说明理由：₁₂�1+�2

(ii)证明:直线ME过定点.

19.(17分)

*

从1,2,3,…,n(n∈N,n≥4)中任取3个不同的数,且这3个数从小到大构成一个等差

数列，这样的等差数列共有A，个，这A，个等差数列的所有项之和为

�

(1)写出A,A,S,S的值;�.

(2)求An;₄₅₄₅

(3)求Sn.

2026年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学答案详解

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。2026.04

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用

2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使

用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合A={-2,-1,0,1},B={x||x-1|＜2},则A∩B=

A.{-1,0}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1}

【答案】D

【解析】＜＜

故选D�={�∣−1�3},�∩�=01

2.已知a∈R,复数在复平面内对应的点在虚轴上，则a=

�−�

A.1+�B.-1C.1D.

【答案】−C【2解析】2

�−��−�1−��−1�+1�−1

故选C1+�=1+�1−�=2−2�,2=

.已知非零向量,满足||=||,且(+)⊥,则〈,〉=

03,�=0aba3babbcosab

11

A.-B.C.D.

33

2222

【答案】A−33

【解析】即故选A

2

2�⋅�−|�|1

.已知�+1�，⋅则�=0,�⋅�=−|∣�|,𝑙���=|�||�|=3∣�||�|=−3

43

1+���2�

����=11

A.2B�.��2�C.-D.-2

2=2

【答案】A

【解析】

故选A

5.若函数y=f(x)的图象与的图象关于直线y=x对称,且f(2)=18,则a=

A.-9B.�=𝑙�3�+�C.log2D.9

【答案】B−𝑙�32₃

【解析】由f(2)=18知(18,2)在γ上即故选B

6.已知a＞b＞0，且a+b=1，则下列不等2式=不𝑙�一31定8成+立�,的�是=−𝑙�32

A.＜B.＜C.＜D.sinα＜cosb

�11

【答案】�B��−���+�2

【解析】令＞不成立

3211

故选B�=5,�=5,�−�=5�,

x2y2

7.已知F，F分别为双曲线C：－=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A在C的渐近线上，

a2b2

且满足₁₂则C的离心率为

��1⊥��2,∣��1∣=2∣��2∣,

54

A.3B.2C.D.

33

【答案】C

【解析】因.O为中点，则则A(a,b),设A在第一象限,

2

��1⊥��2,又∣��∣=∣��1∣=�,即∣��1∣

22222222

=�即+�+�,|��2|=�−�=�又,∣��1∣=2即∣��2∣,�+�故+�=4�−�+

22222222�5

�故,选C−3�+10��−3�−3�=0,�=�+�,10��−6�=0,�=�=3

8.若函数有且仅有两个零点，则的最小值为

32

A.-�2�=�+�B�.+�-1C.1�+�D.2

【答案】B

【解析】当a≥0,f(x)↗不符

'2

当a＜0时，�令�f'=(x3)�=0+得�,

�

�=±−3

不妨设即

3

−�24�

�−3=0,�=−

则令27

33

24�4�

�+�=�−27,ℎ�=�−3

令h'(a)=0得27

22

'4�

故ℎ�=1−9,3�=−

2

故ℎ选��B��=ℎ−=−1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。

9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.

设事件A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”，则

3211

A.B.C.D.

102522

【答案�】�A�C=���=��∣�=��∣�=

33

【解析】对于.A对

5410

3

对于B:�:�𝐴=B×错=,

211

���=5×4=10,1

对于CC对

32

�𝐴10

��|�=3=,

��=5

1

对于DD错故选AC

14

�𝐴10

:��|�===,

��1211

10.已知函数5则

234

A.2π是�f(�x)的=一𝑙个��周+期𝑙�2�+𝑙�3�+𝑙�是4�,f(x)图象的一条对称轴

�

252π

C.f(x)的最大值为D�..�=f(x)在内单调递减

123

【答案】ACD0

【解析】对于11

23

1

1114

�:��+2�=𝑙��+2�+𝑙�A对2�+4�+𝑙�3�+6�+𝑙�4�+

234

111

对8�于=B𝑙��+𝑙�2�+𝑙�3�+𝑙�4�=��,

234

11

:��−�=𝑙��−�+𝑙�2�−B2错�⋅𝑙�3�−3�+𝑙�4�−4�=

24

1

111

对−�于���C：+当𝑙�2�−3�时��，3�+𝑙�4�≠取�最�大,，C对

234

25

���

对于D:.�=2��𝑙���=1�＜�=1++(x)+在=12,D对

'��

故选ACD��=−����−���2�−���3�−���4�0,�∈03,�03,

11.在棱长为1的正方体中，点E在线段AB(包括两端点)上运动，

点F为线段BC的中点𝐴，𝐵则−�1�1�1�1₁₁

A.存在点E,₁使₁得AE⊥BD

₁

B.存在点E,使得AE∥平面BDF

C.当时，经过点₁A，C，E的平面将正方体分成体积之

比为�13�：=1的3�两�部1分𝐴𝐵−�1�1�1�1

9

D.当△AEF的面积为时，三棱锥F-ABE的外接球表面积为

4

5

【解析】设A(0,0,0),B(1,40,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1)�

₁

1

111

对�于1A0:1,�111,�011,�121,若��01,�∈则01即t=-1不符，

A错��=�01,�1�=−11−1,��⟂�1�,��⋅�1�=�−1=0,

对于B：易求平面的法向量若平面则0,即

t=1,故存在这样的点�E�，1�B对�=12−1,��‖��1�,��⋅�=�−1=

对于C：当时，平面ACE的方程为x-y-tz=0与交于

33−3

1111

��=3𝐴�=1+3=2,��

11

G(1,1-t,1),又体积比不为3：1，C错

66

2

�−���1�−���

对于D：�=,�即=1−�,即t=0,E与重合，则球心为

2→→

5125

�△���=4=|��·��∣45−8�+5�=4,�1�1

表D对

111329

故24选2B,�D=4,�=4��=4�,

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

的展开式中，常数项为.

5

31

2

【12答.案2�】−-4�0

【解析】组合原理知：

323

13.某人工智能博览会有�45个2不−同1的场=−馆4A0，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去

参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X，则X的数学期望为.

【答案】3

【解析】X的取值可能为2，3，4

23

C416C42

226C2C23

C4C444

��=2==,��=3==

22

C4C21

226

C4C4

��=4==

11

66

2

14�.�已知=圆2×+3×3+4×=3若直线l:kx-y+3k=0上至少存在一点P,使得圆C上恰

22

有两个点�:与�点+P�的−距4离�+都3为=2，0,则实数k的取值范围是.

【答案】

5

【解析】圆−C:12+∞则C(0,2),r=1

22

圆C恰有两点，�与+P的�距−离2为=2，1,即以P为圆心，2为半径的圆与圆C相交.

则两圆距离＜＜

即1∣��∣3＜

|��0+��0+�||0−2+3�||3�−2|

222223

即�=�+�＜=�+−1=1+�

22

得9�＞−12�+49�+9

5

四、�解答−1题2：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+2csinB.

(1)求tanB的值;

(2)若的面积为2，求△ABC的周长.

【解析】解：�=(1)由5,正△弦𝐴定�理，得：

且：����=��𝐴𝑙��+2����⋅��𝐴

所以����=����+得�=��𝐴1𝑙��+𝑙𝐴����

2

1

(2)由𝑙𝐴=2��得𝐴，,��𝐴=

2

12

155

由��𝐴=��𝐴得=c=4,𝑙𝐴=

2

又余�弦△�定��理=����𝐴=2,得

222

所以周�长=为�+�−2��𝑙𝐴,�=5

△𝐴�25+4

16.(15分)

已知函数

2�

(1)当a=1�时�,求=曲��线��y−=f(�x)−在1点�(1.,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若x=a是函数f(x)的极值点,证明:f(a)＞0.

【解析】解:(1)当(a=1时，

2�

��=���−�−1�

'12�'2

切�线�=�−2�−1�,�=分�别1令：=x1=0−,y�=,0�1=0

2

得l与�坐:�标=轴1交−点�为�−1,和(1,0)

2

所以10�−1

22

2�−1

�=∣�−1∣⋅1=2

'�2�

若2x=�a为�f=(x�)的−极2�值−点1,则�.x�=a0)＜在

'2�'�2�'

2

(0,+∞)单调递减��=1−2�−1�=0�'�=−�−4��0,��

则x=a为f(x)唯一解,x∈(0,a),f'(x)＞0,f(x)单调递增

x∈(a,+∞),f'(x)＜0,f(x)单单调递减，故x=a为f(x)极值点

所以f(a)为f(x)最大值

令因为＞

'2�2

故a�≠�1,所=以��f(a=)＞1f−(1)2=�0−1�,�1=1+�0

17.(15分)

如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,将△ACD沿

AC翻折至△ACD',使得连接BD',如图2.

'∘

(1)求三棱锥D'-ABC的体�积�;𝐴=120,

(2)求直线BD'与直线AC所成角的余弦值.

【解析】解:(1)过E作EP∥FB交AB于P,

��‖𝐴

由BF⊥AC知EP⊥AC

且又D'E⊥AC且D'E∩EP=P

∘

所以�A�C�⊥�面=D1'2E0P,过D'作交PE延长线上

'

所以AC⊥D'H,又AC∩EP=E�,故�⟂D�'�H⊥面ABC

即D'H为四棱锥D'-ABC的高

由题知AB=2,BC=1,则

'2''∘3

1��1=15,𝐵=��=5,��=𝐵⋅𝑙�60=5

332

315

''

𝐵−𝐴�=·�△𝐴�·��=··2·1·5=15

3

5

'''

平2方得�：�=��+��+𝐵=��+��+𝐵所以

222

'23''2121

��3=��+5��+��+2��⋅��=5,∣��1∣=15

5

'2

��⋅��=−��=−3

18.(17分)

x2y2

已知椭圆C：－=1（a＞b＞0）的离心率为直线x=1被椭圆C所截得的线段的长

a2b2

1

为3.2,

(1)求C的方程:

(2)已知点过点P(4,0)的直线l交C于E,F两点(E,F在x轴的下方),直线

BF交直�线0x=13于,点M.

(i)设直线ME的斜率为k，直线MF的斜率为k，判断是否为定值，并

说明理由：₁₂�1+�2

(ii)证明:直线ME过定点.

【解析】解：(1)第一步：根据离心率建立关系

1

椭圆＞的离心率(c为焦距，满足因此

222

���222�

22

。�:�+�=1��0)�=�=�=�+�),�=2

结合代入得：

222�

�=�+�,3�=2

24

22�22

�=�+2⇒�=�

第二步：利用直线x=1截椭圆的线段长列方程

直线=代入椭圆方程得：

x122

��

22

�+�=1,

2

1�221

222

�+�=1⇒�=�1−�

线段长为2|y|，由题知线段长为3，因此：

2

��−1

将2⋅�代=入3上式，化简得：

3

�=2�

222

进而3⋅�−1=3⇒�−1=3⇒�。=4

23222

因此，�椭=圆4×的4方=程3,为�=�−�=。1

C22

��

4+3=1

(2)直线与椭圆的位置关系分析

设直线l的方程为x=my+4(避免斜率不存在的情况)，设E(x，y)，F(x,y),M(1,t)。

联立直线l与椭圆方程:₁₁₂₂

�2=�2�+4

{��

4+3=1

代入消元得由韦达定理得：

22

3�+4�+24��+36=0,

24�36

22

且�判1+别式�2=−3�+4,�1�2=3�+4＞故＞。

2222

(i)判断k+�k=是否24为�定值−4⋅3�+4⋅36=144�−40,�4

直线BF过₁₂(因E，F在x轴下方，B为下顶点更合理，修正题目隐含坐标误差)

和F(x，y)�，0其−方程3为。

�2+3

₂₂�2

令x=1，得M的纵坐标�=�−3。

�2+3�2+3−3�2

计算�通=分后�2利用−韦达3定=理化简�2：

�1−��2−�

�1=�1−1,�2=�2−