《立体几何》专题19 线线角、线面角、二面角基本概念（基础）学案（含答案）

《立体几何》专题19・1线线角、线面角、二面角基本概念

（4套，5页，含答案）

知识点:

异面直线所成的角：

直线方是异面直线，经过空,可任一点O,作直线/,b',

使，，我们把加与b'所成的

叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

如果两条直线所成的角是，那么我们就说

这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是

求异面直线夹角的时候，一般把直线平移至相交，然后再计算。

答案：（①⑵）

典型例题：

1.如图，在正方体力8。-481Goi中，

QAC和DD】所成角是度.②4c和DiC,所成的角是度.

③/1C和BQ所成的角是度.④/C和AiB所成的多是度.

⑤O为囱。1中点，4C和80所成角是度.

⑥48和囱。所成角是③度.

随堂练习：

1.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

QABLEF；②44与CW所成的角为60。；③EF与A/N是异面直线：④MN//CD.

以上结论中正确结论的序号为④.

直线与平面所成的角:

定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角.

如图所示，就是斜线/!尸与平面a所成的角.

（2）当直线力P与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；

当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是―二线面角0的范围：―

(⑤)

典型例题2：

I.在正方体力4。。一小BGQi中，

(I)直线48与平面ABCD所成的角是；

(2)直线AxB与平面4BCQ1所成的角是

(3)直线AiB与平面ABxCxD所成的角是⑥

随堂练习2：

1.如图所示，在四棱锥P—/14C。中，底面/4CQ是矩形，且必_L平面力4。。，%=5,48=4,4。=3.求直

线尸C与平面48C。所成的角.⑦

知识点3：

二面角：

(I)二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角.

叫做二面角的棱.叫做二面角的面.

⑵二面角的平面角

如图：在二面角。一/一夕的棱/上任取一点O,以点。为,在半平面。和夕内分别作垂直于棱

/的射线。4和。8,则射线。4和构成的叫做二面角的平面角.二面角范围是：

注意：要掌握两种求二面角的方法

注意：

(1)任意两条直线的夹角范围是：(2)两条异面直线的夹角范围是：

(3)两个向量所成的夹角范围是：(4)线面角的范围：

(5)二面角的范围：

答案：(⑧)

典型例题3：

1.二面角指的是(⑨)

A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形

C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90。的角

2.如图，四边形月4c。是正方形，平面48CO,且为=力4=〃.

(1)二面角A-PD-C的度数为；(2)二面角B-PA-D的度数为

(3)二面角B-PA-C的度数为；(4)二面角B-PC-D的度数为⑩

随堂练习3：

1.下列命题中：

。两个相交平面组成的图形叫做二面角；

②异面直线”，。分别和一个二面角的两个面垂直，则力所成的角与这个二面角相等或互补;

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角：

④二面角的大小与其平面角的顶点在楼上的位置没有关系，

其中正确的是(")

A.①③B.②©C.③④D.①②

2.正方体4SGO1一48CQ中，截面480与底面48co所成二面角小一80一4的正切值等于(12)

A.乎B吟C.y(2D.y[3

《立体几何》专题19・2线线角、线面角、二面角基本概念

1.正方体48co—力山9。】的棱长为〃、M、N、P、。分别为棱48、BC、GA和CG的中点，则

OMN与P0的位置关系为,它们所成的角为.

②DBi与MN的位置关系为,它们所成的角是—".

2.正方体小4]GG一44c。中，8。与小。所成的角是（14）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.如右图，在长方体力班?。一力山|。1加1中,

":面BBQiD所成角的正弦值为（15）

A当B.乎C.华

4.以下三个命题中，正确的命题有（16）

。一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面;

③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小

A.0个B.1个C.2个D.3个

《立体几何》专题19・3线线角、线面角、二面角基本概念

1.已知正方体CD'中:

（\）BC'与C。'所成的角为;

（2MD与BC'所成的角为17.

2.如右图，正方体/G中，E、尸分别是面小囱G9和4小。。的中心,

则跖和CQ所成的角是（18）

A.60°B.45°C.30°D.90°

3.直线。与平面a所成的角为50。，直线6%,则直线人与平面a所成的角等于（19）

A.40°B.50°C.90°D.150°

4.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是（2。）

A.相等B.互补C.互余D.无法确定

《立体几何》专题19・4线线角、线面角、二面角基本概念

21

1.如右图，力8。。一小囱。。|为正方体，下面结论•错*误的,是1......

080〃平面CBB；©ACiYBD；

③力GJ■平面CBB；④异面直线AD与CBi所成的角为60°.

2.线段48的长等于它在平面a内射影长的2倍，则力8所在直线与平面Q所成的角为（22）

A.30°B.45°C.60°D.1200

3.如图所示，在长方体力8。。一力86。中，BC=2,4小=1,E,b分别在4）和3c上，且EF〃/1B,若二

面角C\-EF-C等于45°,则BF=_23.

①答案：a'〃ab'〃b锐角（或直角）直角（0°,90。]；

②答案：[0°，90°],（0°,90°],[0°,180°],[0°,180°）,[0°,90。],[00,180cj.

③答案：①90°,②45。，③90°,@60°,⑤90°,⑥60°.；

[解析]①。面NBC。，：.DDil.AC；

②D\C\〃DC,ZDCA=45°,二.QiG与力。成45°隹；

③B\D\〃BD,BDLAC,：.B\D\LAC\

®A\B//DIC,△OMC为等边三角形，.••成60。角；

⑤在正方体中，是中点，JO为4G中点,

又AiB=BG，4O_L/hC|,

又AC〃4G,：,BOLAC,「.AC与80成90。角；

⑥B\D\〃BD,△48D为等边三角形，.•.成60。角.

答案：

解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB1EF,EF与MN是

异面直线，AB/7CM,MN1CD,只有①@正确.

⑤答案：射影锐角ZPAO；

⑥答案：(1)45°(2)30°(3)90°

解析

(1)由线面角定义知NA］BA为AiB与平面ABCD所成的角，NA1BA=45。.

(2)连接AQ、ADi,交点为O,

则易证AQJ_而ABGDi,所以AiB在面ABCiDi内的射影为OB,

AAiB与面ABCiDi所成的角为NAGO,

VAiO=^A|B,

；・ZA|BO=30°.

(3)VAiB±ABi,AiB±BiCi,

，AiBJL而ABiCiD,即AiB与面ABiCiD所成的角为90。.

［分析］找到PC在平面ABCD上的射影AC,则NPC/为直线PC与平面ABCD所

成的角.

［解析］如图，连接HC,因为为_L平面488,则,4C是尸C在平面力8C。上的射影,

所以/尸。是尸C与平面49C。所成的角.

在△玄。中，PA1AC,PA=5,AC=y/AB2+AD2=\j42+32=5.

则NPCj=45。，即直线PC与平面所成的角为45°.

®答案:0。［0°,180。］：

⑨答案：C：

⑩［答案］90°；90°；45°；120°；

［解析］⑴以_1_平面力8。，：.PA±CD.

又四边形48CZ)为正方形，，CO_L/1。，「.C。，平面以。，

又CDU平面PCD,：・平面以D上平面PCD,，二面角/1一。。一。为90。.

(2):%_1平面力8。。，，48_1_为，4。_1_44,，/%。为二面角8一力/＞一。的平面角.

又N历10=90。，二面角B-AP-D为90°.

(3)以_L平面力8。。，：,ABA.PA,ACX-PA,，NZMC为二面角8一以一。的平面角，

又四边形48CO为正方形，•••NA4c=45°,即二面角8一为一。为45°.

(4)作BE_LPC于石，连。E,

则由XPBCmXPDC知/BPE=/DPE,

从而APBE咨4PDE,

/DEP=NBEP=90且BE=DE,

.•.N8EO为二面角8—。。一。的平面角.

1为_L平面48CO,J.PAVBC.又AB1BC,

，8。_1_平面以从:.BCtPB,

.”PBBC近r-

••BE=-=q（iyBD=y1^a,

:,取8。中点。，则sinN8£0=桨=',

OZ-/乙

：.ZBEO=60°,/.NBED=120。

...二面角4-PC-。的度数为120°.

”［答案］B；

［解析］对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于。，。分别垂

直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角（或直角），所以应

是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.

［点评］根据二面角的相关概念进行分析判定.

二［答案］C；

［解析］设力C、6。交于O,连小O,,JBDLACyBDLAA\y，瓦），平面44iO,

BD工40,

ZA\OA为二面角的平面角.

tanN4|O4=4^=，5,.•.选C.

力Cz

”［答案］①相交60°②异面90°；

［解析］①连接力C、0c由于尸、。分别为GA、GC的中点，

Y1

A1/K:\叭

：\'Q

1、

'、、

:。、、

/一二二一必

4MB

所以尸0〃QC,

同理MN〃A3

则4c与。C所成角即为MN与P0所成角，NOG=60。.

②连接4C、BD交于O,

取的中点H,连OH,则OH〃BQ,

DiCi

又MN〃AC,OH〃B\D、:.MN工B\D.

”［答案］C；

［解析］.••小。〃《〈,，小。与所成的锐角（或直角）即为所求角，连接

为正三角形，

/4。8=60。.

条［答案］D：

［解析］取8Q中点O,在长方体/4C。一力出iG9中,

•・・小囱=51G=2,ACiOX5iDi,

又CQ工BBi,CQ_L平面

NC\BO为直线CM与严面BDiDQ所成的角,

在RtZXBOG中，CQ=®BCI=7BG+CC=6

・入山/。801=零.

览［答案］B；

［解析］仅②正确.

答案:(1)6()。(2)45°；

解析

连接BA',则BA'〃CD',连接A'C,则NA'BC'就是BC'与CD'所成的角.

由AA'BC为正三角形，

知/A'BC'-60°,

由AD〃BC,知AD与BC'所成的角就是NC'BC.

易知NC'BC=45°.

18答案：B；

连接BiDi,则E为BiDi中点，

连接ABi,EF〃AB