《22 基本不等式》教学设计、导学案、同步练习

第二章一元二次函数、方程和不等式

《2・2基本不等式》教学设计

（第1课时）

【教材分析】

本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基

本不等式》第1课时。从内容上看学生原有知识的掌握借况为：初中的勾股定理

知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式,

所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。引导学生学会

观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学

生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.推导并掌握基本不等式，理解这个基a.数学抽象：将问题转化为基本不等式；

木不等式的几何意义，并掌握定理中的b.逻辑推理：通过图形，分析法与综合法

等证明基本不等式；

不等号“2”取等号的条件是：当且仅

当两个数相等；C.数学运算：准确熟练运用基本不等式；

直观想象：运用图像解释基本不等式；

B.通过实例探究抽象基本不等式；通过d.

e.数学建模：将问题转化为基本不等式解

工而

多媒体体会基本不等式2等号决；

成立条件,进一步掌握基本不等式：

C.积极倡导同学们进行几何与代数的结

合运用，发现各种事物之间的普遍联系.

【教学重难点】

1.教学重点：从不同角度探索不等式2的证明过程，会用此不等

式求某些简单函数的最值;

2.教学难点：基本不等式2等号成立条件;

【教学过程】

教学过程教学设计意图

（一）、情景导学

如囹zti仕北为1tJ71刖弟N4乔国际奴子豕通过介绍第

大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵24届国际数学家

爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理大会会标的背景，

而绘制了弦图。讲行设问，引导学

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风生观察分析，发现

车，欢迎来自世界各地的数学家们。图形中蕴藏的基

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.本不等式，培养学

思考1：这图案中含有怎样的几何图形？生数学抽象和逻

思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？辑推理的核心素

（二）、探索新知养，同时渗透数学

文化，和爱国主义

i.探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形AJ3CD中有4教育。

个全等的直角三角形.设直角三角形的两务

长为a,b（aWb）,

那么正方形的边长为日+匕

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面

积为

由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积:，

通过图形得

我们就得到了一个不等式：/+〃之2".到了重要不等式

当直角三角形变为等谖直角三角形，即a二b时，的，几何解释，为了

正方形EFGH缩为一个点，更准确地感知和

理解，再从数学的

这时有=2〃。.（通过几何画板演示当a-b时的图

逻辑方面给出证

像）

明，不仅培养了学

2.得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意.实数a,b,

生严谨的数学态

我们有/+从之2",当且仅当a二bU寸，等号成立。

3.思考证明：你能给出它的证明吗？(设计意图：证度，而且还可以从

中学习到分析法

明：因为

证明的大体过程，

(a-/?)，20,+。2之2ah

培养和发展数学

当且仅当a=b时等号成立

抽象和逻辑推理

4.(1)基本不等式：如果a>0,b>0,我们用右、尿分

的核心素养，增强

别代替a、b,可得〃十/注2，石，通常我们把上式写作：基数形结合的思想

意识。

本不等式2(a>C,b>0)(当且仅当a多时，取等号)

a+b

5.基本不等式：(1)在数学中，我们称2为&、。的

算术平均数，称〃而为a、方的几何平均，数.本节定理还可叙

述为：两个止数的算术平均数小小于它们的几何平均数.此

不等式又叫均值不等式。

(2)从不等式的性质推导基本不等式

如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上

的分析法。

"+”>4ab(a>0.Z?>01

用分析法证明：证明不等式2

证明：要证2

只要证0+8224

只要证。2>0

只要证(&一声》之°，显然，是成立的.

当且仅当a=b时，(3)中的等号成

立.

竺兄箍

(3)理解基本不等式2的

几何意义

探究：你能利用这个图形得出基本不等式0~~的

几何解释吗？

在右图中，AB是圆的直径,点C是AB上的一点，

AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.(1)AB

表示什么？(2)2表示哪个线段？(3)〃石对应哪个线段

呢？

(4)0D与CD的大小关系如何？

易证RtZ\ACDsRtaDCB,那么CD?=CA・CB即C

D=点.

a+b

这个圆的半径为2，显然，它大于或等于⑦，即从不同的侧

面理解不等式，培

更”晒

2,其中当且仅当点C与圆心重合“即a=6时，养学生数形结合

的思想意识。

等号成立.

4ab<—

•

.因此:基本不等式2几何意义是“半径不小于»

半弦”

【归纳总结】

1、由赵爽弦图我们得到了重要不等式：力+〃？2皿

(1)通过换元我们得到了基本不等式：2

(2)两个不等式的区别和联系：区别：a,b范围不同；

联系:等号成立的条件相同

(3)从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意

义；

从数的角度来看，基本不等式揭示.了“和”与“积”这

两种结构间的不等关系

(三)典例解析

利用基本不等式求最值

(I)己知a>0,/?>0,ab=36,求a+ZX的最小值。

解析：

Q等3庭

\a+b?2\[ab2Gs=12(当且仅当a=Z?=6时取等)

(2)已矢口〃>0,7?>0.«+Z?=18,求出和J最大值。

解析：

nr~ra+b,_d+b.18.,

Qy/ub------,ah?(-------)2(Z—)2=8o1

222

(当且仅当。=〃二9时取等)

故aZ?的最大值为81

基本不等式的使用条件

例2、(1)已知尤v0,求函数/Xx)=x+，的最小值

x

解：/(x)=x+1=・[(-X)+(・')]?2/(-x)?(-)=-2

XxvX

当且仅当-x=-即x=-1时有最小值-2

X

(2)已知x>3,函数v=x+—,当x为何值时，函数

x-3

有最值，并求其最值，

解析：

Qx>3

\y=x+—=(x-3)+—+3?2/(X3)?—3=5

x-3x-3Nx-3

当且仅当x-3二」一，即x=4时，函数有最小值，通过典型例

x-3题的解析和跟踪

最小值为5。

练习，让学生明确

(3)若Ovxv；,求函数)，=x(l-2x)的最大值。

运用基本不等式

的三个关键步骤；

Q12>0-正、二定、三相

\丫=工(1-2幻」皴《1-2月川1群出^2」等，发展严谨细致

22K28

的思考习惯，训练

_1、

当且仅当2产(1-2又)，即「时，取“=”号.思维的灵活性。

.••当"W时，函数j=x(l-2x)的最大值是.

1.设Ovxv3,求函数)，=4x(3-2x)的最大值。

跟踪训练2

4

«：QO<x<-\3-2x>0

2

\y=2^x(3-2x)W2(2v^^2v)2=|

当且仅当2x=3-2x即x=±?(0,-)时取等

42

2.函数f(x)-77石能否用基本不等式求最小直？

Jf+2

由基本不等式知Jf+2+/=?22

当且仅当4r3=—=即¥+2=1时取等，而这是不可

能的，故此函数不能用基本不等式求最小值。

三、达标检测

1.下列不等式中，正确的是()

4

A.己+—24B./+^24^6

a

C.人D.小

4

解析：选D.aVO,则a+-24不成立，故A错；a=l,

a

b=1,4+万<4aZ?,故B错，a=4,b=16,则

乙

故C错；由基本不等式可知D项正确.

通过练习巩

固本节所学知识,

2.若a>l,则a+—1的最小值是()提高学生运用基

a—\

本不等式解决问

A.2B.<aC.3题的能力，感悟其

中蕴含的数学思

解析：选D.a>L所以a—1>0,

想，增强学生的逻

所以a+.-a1+1+(a1)・.

a-\a-IYa—1辑推理和数学运

十1二3.算素养。

当且仅当之一1二」7即a=2时取等号.

a—1

3.若a,人都是正数，则(1+北1+•的最小值为()

A.7B.8C.9D.10

解析：选C.因为a,。都是正数，所以

(।Z?Y,4a\b4alb4c/

1+14-,—5H-I--V->5+2A/•.—9,

Ia人bJabab

当且仅当b=2a>0时取等号.

1Q

4.己知¥>0,y>0,且；+：=1,则x+y的最小值为

9、V9x

解析：x+y—(x+y)•+,—10-HH;

l.xV)xy

210+2、/』•—=104-6=16.

xy

即x=4,尸12时等号成立，所以x+y的最小值为16.

四、小结生学生根据

本节课，我们学习了直要不等式^+斤22H；基本不等课堂学习，自主总

a+b结知识要点，及运

式；两正数方、力的算术平均数（2），几何平均数（、④）

用的思想方法。注

a+b意总结自己在学

及它们的关系（22痴）.它们成立的条件不同，前者

习中的易错点；

只要求a、。都是实数，而后者要求。、。都是正数.它们既

是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下

一节我们将学习它们的应用）.

五、作业

1.习题2.21,2,4,5题

2.预习下节课内容

2.2.2基本不等式

（第2课时）

【教材分析】

本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基

本不等式》第2课时。从内容上看是对基本不等式在实际问题中应用的学习，通

过问题解决，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素

养。在学法上要指导学生：从实际问题中列出数量关系式，进而运用基本不等式

解应用题，数学建模能力乜是本节要体现的重要素养。对例题的处理可让学生先

思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应

用题的方法和步骤。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.能够运用基本不等式解决生活中的a.数学抽象：在实际问题中抽象出不等式；

应用问题；b.逻辑推理：运用基本不等式求最值的条

B.围绕如何引导学生分析题意、设未知件；

量、找出数量关系进行求解这个中心。C.数学运算：灵活运用基本不等式求最值：

例题的安排从易到难、从简单到复杂，d.直观想象：运用图像解释基本不等式：

适应学生的认知水平；e.数学建模：将问题转化为基本不等式解

C.进一步培养学生学习数学、应用数学决：

的意识以及思维的创新性和深刻性.

【教学重难点】

1.重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值;

2.难点：注意运用不等式求最大(小)值的条件

【教学过程】

教学过程设计意图

(一)、小试牛刀

1.判断正误.(正确的打，错误的打“X”)通过课堂小

(1)对任意的功力WR，若a与6的和为定值，则仍有测，了解学生对基

最大值.()本不等式的掌握

(2)若盯=4,则x+y的最小值为4.()情况，暴露问题及

9

(3)函数/'(才)=*+布的最小值为2蛆一1.()时纠正。通过解题

培养学生数学抽

答案：(1)X(2)X(3)V

象和逻辑推理的

2.已知x+y=l且x>0,y>0,贝lj;+］的最小值是()核心素养。

A.2B.3C.4D.6

绍桁处11'+y1>1A.

wrvl：'——勺/1、一4,

xyxyxyp+y„

I2)

当且仅当时取等号，

法二」+工=山4业=2+2+2，4,当且仅当x=y

xyxyxy

=；时取等号.

通过简单的

答案：C应用性问题，让学

(二”探索新知生体会在实际问

问题1.用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这题中运用基本不

个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是等式的步骤。

多少？

培养和发展

数学抽象和数学

建模的核心素养。

解：(1)设矩形菜园的长为】m,宽为)'叫则肛:1笫

篱笆的长为2("+))m

由2,

可得x+y之,2(X+)')240

等号当且仅当x7时成立，此时因此，这

个矩形的长、宽为10m时，

所用篱笆最短，最短篱笆为40m

结论1:两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅

当两变量值相等时取最值.简记“积定和最小”.

问题2.用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个

矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积

是多少？

解：设矩形菜园的长为Xm,宽为叫则2("+)')=36,

」+九18,矩形菜园的面积为即切2,

/—.x+y18

Jxy<—-=-=9,

由乙乙

可得孙&8I,

可得等号当且仅当*=V时成立»此时"=y=9

因此，这个矩形的长、宽都为91n时，菜园的面积最大,

最大面积为81

结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅

当两变量值相等时取最值.简记“和定积最大”.

(三)典例解析

均值不等式在实际问题中的应

用

例1、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为

4800)深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池

通过典型例

壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最

题解析，发展学生

低？最低造价为多少元？

数学抽象和数学

分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，

建模的核心素养。

因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价

最低。

解：设底面的长为工m,宽为m,水池总造价为Z元，

根据题意，有

4Q()()

z=15()x^—+120(2x3%+2x3y)

=240000+720(x+)，)

由容积为48为"3,可得

3xy-4800xy=1600

由基本不等式与不等式性质，可得

240000+720(x+y)>240000+720x2y/xy

z>240000+720x2Vl600z>297600

即，

可得等号当且仅当x=)山寸成立，此时x=y=4。

所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造

价最低,最低造价为297600元

跟踪训练1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地

上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为

3000m2,其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2m,

中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两

个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为s平方米.

(1)分别写出用X表示y和S的函数关系式(写出函数定

义域)；

(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？

［解析］(1)由已知xy=3000,2a+6=y,

3000\

则nly=——(z6<K500),

X

y—6

S—(x4)a+(x6)a—(2x10)a—(2x10)•?

—(x5)(y6)—30306x*(6<K500).

z、15000/15000

(2)S=3030-6A-------------W3030-2、6x・----------=

xx

3030-2X300=2430.

当且仅当6¥=叵9"即x=50时，“=”成立，此时

X

通过典型例

x=50.y=60,

题的解析和跟踪

S”,x=2430.即设计x=50m,y=60in时，运动场地面积最

练习，让学生总结

大，最大值为2430nl二

归纳，运用基本不

2.某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价

等式解决应用问

I05

格为每件x(50〈xS80)元时，每天销售的件数为一%,若

题的基本步骤。

想每天获得的利润最多，则销售价应定为多少元？

解析：方法一：设当销售价格为每件X元时，获得的利

105

润为y,由题意知，尸(:-50)•二话

_________10^________

-J50)*x-502+20x-504-100

________IO"

,1001•

十—50+——4-20

万一50

Vx-50^0,・・・x—50+-^;220,

x—50

.7w

,20+20=2500,

当且仅当L50=1°a,即x=60或x=40(舍去)时，

x—50

等号成立，为x=2500.

io5

方法二：由题意知，尸5—50)•不行，

令*—50=*=3+50(方20),

io』_______m__________io^___io5

用■=1+1()2=^+2(n+100=100-这20+23=

r+—4-20

2500,

当且仅当1=学，即1=10时，等号成立，

C-

此时x=60,%u=2500.

答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多，

最多利润为2500元.

【归纳总结】

求实际问题中最值的一般思路

(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系

式.

(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.

(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一股先

考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再

考虑函数的单调性.

(4)正确写出答案.

利用基本不等式证明简单的不等式

例2已知a,〃都是正数，且a+b=l,

求证：(1+3(1

分析:结合条件a+力刁,将不等式左边进行适当变形,然

后利用基本不等式进行证明即可.

证明：因为azX),bX),a+b=\,

所以1+工=l+"=2+3

aaa

同理1+J=2+W，

bb

故(l+3(l+》=(2+!)(2+3=

5,2("£)25MR-户5+K.

所以+329(当且仅当a=b=；

时,等号成立)

跟踪训练1.已知：a,b,c£R+,求证：一+7+—2a

abc

+Z?+c.

、*rn1-r-A-A-_1Xbe、CQj-/beca八

证明：由基本不等式：一十7三2、/—•—=2c,

ab7ab

lieca、ab、cab、bc、c,

同理：—+—22a,—+—226.

bccc

三式相加即得：二+7+32什什。

（当且仅当a=8=c时取“="）.

【归纳总结】利用不等式&2+62、2超和&+6。2\国

（a>0,力20）时，关键是对式子恰当地变形，

合理造成“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应

用.

三、达标检测

1.已知正数a、。满足a力=10,则a+b的最小值是（）

Ao10B.25C.5D.2巫

［解析］a+b22ylm=2寸6等号在3=力=/5时成

立，・••选D.

2.小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a

和从水方)，其全程的平均时速为％贝IJ()

A.水v=y［ab通过练习巩

I-a+6a+b固本节所学知识，

C.yjcib<\<D.v—

乙99乙

提高学生运用基

［解析］设从甲地到乙地的路程为s,则

本不等式解决问

2s22ab/2abr—

一金+“。厂"£日一迎.题的能力，增强学

abab生的数学抽象和

2abab~a数学运算素养。

•水b,..va—..a—,,>0,..v>a.

a-\-Da-\-b

:.a<火，蕊.故选A.

3.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，

运费为6万元/次，一年的总存储费用为44万元.要使一年

的总运费与总存储费用之和最小，则>的值是_______.

解析：本题考查基本不等式及其应用.

设总费用为y万兀，则y—,X6+4x—4(x+'.

N240.

当且仅当/=迎，即x=30时，等号成立.

X

答案：30

4.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度

恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价

40元，两侧墙砌胸，每米长造价45元，顶部每平方米造价

20元，求：

①仓库面积S的最大允许值是多少？

②为使S达到最大，而实际投资乂不超过预算，那么正

面铁栅应设计为多长？

解：①设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面

积为S=xy,依题意得，40x+2X45y+20xy=3200,

由基本不等式得320022440x-90y+20孙

=12八瓦+20xy，=120小+205

所以S+6/'-160W0,即（小'一10）（小、+16）W0,

故事W10,从而SW：OO,

所以S的最大允许值是100平方米，

②取得最大值的条件是40x=90y且“100,

求得彳=15,即铁栅的长是15米.

5.已知aX）,6X）,cX）,且a+b+c=l,求证:工+:+工力9.

abc

证明：因为aX）,力为，cX）,且a+b+c=l,

所以｝+[+/=（'+.+：）（a+b+0

石+（＞：）+《+9+（》沪3吆吆但

当且仅当a=b=c=1等号成立.故工+9+》9.

四、小结生学生根据

1.利用基本不等式来解题时•，要学会审题及根据题意列课堂学习，自主总

出函数表达式，要懂得利用基本不等式来求最大（小）值结知识要点，及运

2.利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：先建目标用的思想方法。注

函数，再用基本不等式求函数的最值，从而得出实际问题的意总结自己在学

解。习中的易错点；

五、作业

1.课时练

2.预习下节课内容

（2.2基本不等式》导学案

（第1课时）

【学习目标】

1.推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理

中的不等号取等号的条件是：当且仅当两个数相等;

2.通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式审4/万等

号成立条件，掌握运用基本不等式求最值；

【重点难点】

1.从不同角度探索不等式疝W审的证明过程，会用此不等式求某些简单

函数的最值；

2.基本不等式皇4〃石等号成立条件;

【学习过程】

一、情境导学

（1）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国

古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各

地的数学家们。

思考1：这图案中含有怎样的几何图形？

思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗?

（2）探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A.BCD中有4个全等的直角三角

形.设直角三角形的两条直角边长为a,b（aHb），那么正方形的边长为

而行.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为

由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积,

我们就得至IJ了一个不等式：a2+h2>lab.

问题1.思考证明：你能给出它的证明吗？

二、新知探究

基本不等式:如果a>O,b>（）,我们用右、屈分别代替a、b，可得〃+力22，^,

通常我们把上式写作：基本不等式甲2疝（a>O,b〉O）（当且仅当。二〃时，取

等号)

(1)在数学中，我们称等为八〃的算术平均数，称疑为人人的几何

平均•数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

此不等式又叫均值不等式C

探究1.从不等式的性质推导基本不等式

如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。

分析法证明：证明不等式等之旅(。>0力>0)

探究2.理解基本不等式誓>顶的几何意义

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作

垂直于AB的弦DE,连接AD、BD.

你能利用这个图形得出基本不等式，而W审的匚何解释吗？

(l)AB表示什么?(2)巴厂表示哪个线段？(3)点对应哪个线段呢？

(4)OD与CD的大小关系如何？

典例解析：

利用基本不等式求最值

例1.(1)已知a>0,〃>0,“〃=36,求a+崩最小值。

(2)已知a>0,Z?>0,a+〃=18,求的最大值。

基本不等式的使用条件

例2、1.⑴已知U<0,求函数f(x)=x+工的最小值

x

(3)若0<x<g,求函数y=x(l-2x)的最大值。

跟踪训练L设0<工<今求函数y=4x(3-2幻的最大值。

2.函数人X）=V7+2+T^能否用基本不等式求最小值？

\lx2+2

【达标检测】

I.下列不等式中，正确的是（）

A.。+（三4B./+左之4而C.yfab>1^D..F+国2#

2.若。>1,则。+占的最小值是（）

A.2B.aC~^~D.3

a—I

3.若m匕都是正数，则（1+缶+为的最小值为（）

A.7B.8C.9D.10

Ia

4.已知x>0,）>0,且；+;=1,则x+y的最小值为________.

入y

【课堂小结】

我们学习了重要不等式层+从22岫；基本不等式；两正数4、力的算术平均

数（等），几何平均数（疝）及它们的关系（审石）.它们成立的条

件不同，前者只要求。、力都是实数，而后者要求。、〃都是正数.它们既是不等

式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）.

参考答案：

问题L证明：因为。

222

v（a-/?）>0,:.a+b>2abt当且仅当a二b时等号成立

探究1：证明：要证管石

只要证。+2立石只要证〃+—>0只要证（JZ—〃1>0,显然，

是成立的.当且仅当a=b时，（3）中的等号成立.

探究2：易证RtZ\ACDsRi/\DCB,那么CD?=CA・CB即CD=而.

这个圆的半径为等，显然，它大于或等于CD,即等石，

其中当且仅当点。与圆心重合.，即。=〃时，等号成立.

.因此：基本不等式而4岁几何意义是“半径不小于半弦”

例1(1)解析：Q?3”石

\a+b?14^b2后=12(当且仅当a=〃=6时取等)

(2)解析：Q而—,ab?(―)2(―)2=81

222

(当且仅当。=8=9时取等)故,山的最大值为81

例2.(1)解：./(幻=4+1=-[(-x)+(-，)]?2J(-x)?(-)=-2

xxVx

当且仅当-x=-L即x=-l时有最小值-2

X

⑵Qx>3,\y=x+工=(x・3)+-^+3?2，3)?」3=5

当且仅当工-3=」一,即x=4时，函数有最小值，最小值为5。

x-3

(3)>:VO<x<-.QI-2x>0,

21

.八八、八c、口/〜

\y=x(l-2x)=-1®x(l-2x)W-g—+(Y1--2.-r)=~1

当且仅当2x=(l-2x),即X="!"时，取“=”号.，当X△时，函数y=x(l-2x)的

44

最大值是.

跟踪训练(1)解:QO<x<g\3-2.r>0

(2)由基本不等式知+2+,12?2a22?^=^^2

当且仅当^即/+2=1时取等，而这是不可

Vr+2

能的，故此函数不能用基本不等式求最小值。

达标检测

4

1.解析：选D.aVO,则«+->4不成立,故A错；。=1,〃=1,/+按〈4时,

故B错，。=4,力=16,则丽〈皇，故C错；由基本不等式可知D项正确.

2.解析：选Do>l,所以

所以。+'7=。-1+-4+1小\/(〃-1)•」+1=3.当且仅当。一1

a—1a—1Ya—1

=-1即〃=2时取等号.

a—1

3.解析:选C.因为a,b都是正数，所以(1+%+与)=5+(+芸5+2噌下

=9,

当且仅当b=2a>0时取等号.

4.解析：x+y=(x+y)g+堂=1。+打牛210+2yg§=10+6=16.

《2・2基本不等式》导学案

(第2课时)

【学习目标】

1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；

2.围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中

心，发展数学抽象和数学建模的核心素养。

【重点难点】

重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值；

难点：注意运用不等式求最大(小)值的条件

【学习过程】

一、小试牛刀

1.判断正误.(正确的打7”,错误的打“X”)

(1)对任意的a,b&R,若。与b的和为定值，则滴有最大值.()

(2)若xy=4,则X+y的最小值为4.()

(3)函数凡、)=『+品■的最小值为2啦一1.()

2.已知x+y=l且心>0,)>0,则;十：的最小值是()

A)

A.2B.3C.4D.6

二、新知探究

问题1.用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为

多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

结论1：

问题2.用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽

各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

结论2：

(三)典例解析

均值不等式在实际问题中的应用

例1、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800〃/,深为3m。

如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水

池能使总造价最低？最低造价为多少元？

跟踪训练1.某地方政府准备在一块面积足够大的

荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其IH

总面积为3000n?,其中场地四周(阴影部分)为通道,

通道宽度均为2m,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两

个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方式.

（1）分别写出用工表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；

（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？

2.某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格为每件x（50<i<80）

元时，每天销售的件数为岑及，若想每天获得的利润最多，则销售价应定为多

少元？

【归纳总结】

利用基本不等式证明简单的不等式

例2已知a,b都是正数，且a+b=\,

求证：（1+0（1+。沙

跟踪训练3.已知：a,b,c£R+,求证：9+管+%a+b+c.

【达标检测】

1.已知正数8满足曲=10,则的最小值是（）

A.1OB.25C.5D.2回

2.小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为。和伙a。），其全程的

平均时速为v,则（）

A.a<v<y[abB.v=yfab

r—a+Z?a+b

C.7_~-D.v=-2-

3.某公司一年购买某种货物6（X）吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一

年的总存储费用为4%万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则工的

值是.

4.某单位决定投资32()0兀建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用

旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元,

顶部每平方米造价20元，求：

①仓库面枳S的最大允许值是多少？

②为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多

长？

5.已知«>0,Z?>0,c>0,且。+b+c=l,求证:2++->9.

abc

【课堂小结】

1.利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式，要懂得

利用基本不等式来求最大(小)值

2.利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：先建目标函数，再用基本不等

式求函数的