【吃透中考数学29个几何模型】模型17 角平分线和高线的夹角

专题17角平分线和高线的夹角

I.如图，A6C中，一内角和一外用的平分线交于点。，连结AD,4Z)C=24。，NCAD=

【解析】66°

【分析】

过D作,DF_LBE于F,DG_LAC于G,DH_LBA,交BA延长线于H,由BD平分/ABC,可得NABD=/CBD,

DH=DF,同理CD平分NACE,ZACD=ZDCF=,DG=DF,由NACE是△ABC的外角，可得

2ZDCE=ZBAC+2ZDBC®,由NDCE是△DBC的外角，可得NDCE=NCDB+NDBC②，两者结合，得

ZBAC=2ZCDB,则NHAC=18(T・/BAC,在证AD平分NHAC,即可求出NCAD.

【详解】

过D作，DF_LBE于F,DG_LAC于G,DH1BA,交BA延长线于H,

•/BD平分NABC,/.ZABD=ZCBD=—ZABC,DH=DF,

〈CD平分NACE,AZACD=ZDCF=—ZACE,DG=DF,

2

VZACEABC的外角，

:.ZACE=ZBAC+ZABC,

2ZDCE=ZBAC+2ZDBC①，

VZDCE^ADBC的外角，

:.ZDCE=ZCDB+ZDBC®,

由®®得，ZBAC=2ZCDB=2x24°=48°,

・•.ZHAC=180°-ZBAC=180°-48°=132°,

VDH=DF,DG=DF,

ADH=DG,

VDG±AC,DH1BA,

AD平分NHAC,

ZCAD=ZHAD=—ZHAC=—x132°=66°.

22

本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利用好外角与内角的关系,

找到NBAC=2NCDB是解题关键.

2.如图，在AABC中，AD>AE分别是AABC的高和角平分线，"=50。，ZC=60°,则ND4£=

__________度.

【解析】5

【分析】

先根据三角形的内角和定理得到NBAC的度数，再利用角平分线的性质可求出NEAC=；/BAC,而

ZDAC=90°-ZC,然后利用NDAE=/EAC-/DAC进行计算即可.

【详解】

解:在△ABC中，

VZB=50°,ZC=60°,

，ZBAC=18()。-ZB-ZC=180°-50°-60£=70°,

TAE是△ABC的角平分线，

，ZEAC=—ZBAC=-x70°=35°,

22

VADMAABC的高,

:.ZADC=90°

，在^ADC中，ZDAC=180°-ZADC-ZC=180o-90°-60o=30°,

/.ZDAE=ZEAC-ZDAC=35°-3O°=5°.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180。是解答此题的关键.

3.如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，ZA=30°,ZB=60°,则NDCE=

【解析】

试题分析：根据三角形内角和定理可得：NACB=18（F—NA—NB=90。，根据角平分线的性质可得：

ZBCE=90%2=45°,根据CD_LAB,/B=60。可得：ZBCD=30°,则NDCE=45°—30°=15°.

考点：（I）、角平分线的性质：（2）、三角形内角和定理

二、解答题

4.（1）如图1,A6c的内角NA6c的平分线与外角NACD的平分线相交于P点，请探究/尸与乙4的

关系，并说明理由

（2）如图②③，四边形ABCD中，设乙4=8/。=4,/户为四边形41^^的内角448。与外角/。。£

的平分线所在直线相交而形成锐角，请利用（1）中的结论完成下列问题：

①如图②，若a+/?>180°,求/P的度数（用的代数式表示，记得把图转化为图）

②如图③，若。+夕<180",请在图③中画出NP,并直接写出NP=（用/的代数式表示）

田①图②圈③

②如图3,延长AB交DC的延长线于F.

VZF=1800-a-p,ZP=yZF,

AZP=—2(1800-a-p)=90°--2a--2P”.

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，

注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

5.小学我们已经知道三角形三个内角和是180。，对于如图I中，AC.80交于。点，形成的两个三角形

中的角存在以下关系：①NQOC=NAO3：②NQ+NC=NA+NB.试探究卜.而问题：

已知ZBAD的平分线AE与NBCD的平分线CE交于点石，

(1)如图2,若A3〃CD,ZD=30°,N8=40。，则NE=：

(2)如图3,若A8不平行CO，ZD=30°,4=50°,则/石=.

(3)在总结前两问的基础上，借助图3,探究NE与/。、D8之间是否存在某种等量关系？若存在，请

说明理由：若不存在，请举例说明.

【解析】(1)35°；(2)40°；(3)ND+NB=2NE,理由见解析

【分析】

(I)(2)在4CDF和△AEF中，有：ND+NDCF=NE+NDAE①：在CABG和△CEG中，NB+/EAB=

ZE+ZBCE®；①+②再结合ZBAD的平分线4E与N8CD的平分线CE交「点E，进行化简得到/E=g

2

(ZB+ZD),然后将NB和/D代入即可解答；

(3)根据(I)(2)的推导即可得到/D+NB=2NE.

【详解】

解：(I)如图2在△CDF和△AEF中，有ND+NDCF=NE+NDAE①

△ABG和^CEG中，有NB+NEAB=NE+NBCE②

①+②得：ND+NDCF+NB+/EAB=NE+/DAE+ZE+ZBCE

又•・•ZS4D的平分线AE与"CD的T分线CE交于点E

/.ZDCF=ZBCE,ZEAB=ZDAE

/.ZE=-(ZB+ZD)

2

VZD=30°.Z£?=40°

/.ZE=35°

(2)如图3:同⑴可得NE=1(ZB+ZD)

2

VZD=30°.ZB=50°

；•ZE=40°

(3)解：ND+NB=2NE.

理由如下：

在△CDF和△AEF中，有ND+NDCF=/E+NDAE①

△ABG和^CEG中，有NB+/EAB=ZE+ZBCE®

①十②得：ND+NDCF+NB+NEAB=NE+NDAE十ZE+ZBCE

又ABAD的平分线AE与/BCD的平分线CE交于点E

：.ZDCF=ZBCE,ZEAB=ZDAE

AZE=-(ZB+ZD)

2

:.ZD+ZB=2ZE

【点睛】

考查了平行线的性质、三角形内角和定理、刈顶角相等的性质，解题方法较多，关键在于选择合适的解题

方法.

6.在△AHC中，已知/A=a.

AA

（1）如图1,NA8C、N4CB的平分线相交于点。.

①当。=70。时，N8DC度数=度（直接写出结果）;

②N3OC的度数为（用含a的代数式表示）；

（2）如图2,若NA8c的平分线与NACE角平分线交丁・点八求/8FC的度数（用含a的代数式表示）.

（3）在（2）的条件下，将△F3C以直线8c为对称轴翻折得到AGBC,NG3C的角平分线与NGC8的角

平分线交于点M（如图3）,求N3MC的度数（用含a的代数式表示）.

【解析】（I）（1）①125。：②90'+，。，（2）ZBFC=-a；（3）ZBMC=90+-a

224

【分析】

（1）①由三角形内角和定理易得NABC+NACB=I1O。，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理

可求/BDC：

②由三角形内角和定理易得NABC+/ACB=l80O-NA,采用①的推导方法即可求解；

（2）由三角形外角性质得NB尸C=NFCE-N阳C,然后结合角平分线的定义求解:

（3）由折叠的对称性得NBGC=NBFC,结合（1）②的结论可得答案.

【详解】

解：(1)①:NDBC=-ZABC,NDCB=-/ACB,

22

:.4BDC=1800-NDBC-ZDCB

=180°--(ZABC+ZACB)

2

=180。--(180°-70°)

2

=125°

@VZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

:./BDC=1800-NDBC-ZDCB

=180°--(NABC+NACB)

2

=180°--(1800-ZA)

2

1

=90°+—乙4

2

1

=90°+—a.

2

故答案分别为125°,90°+-a.

2

(2)〃和C尸分别平分N4AC和/4CE

/.ZFBC=-ZABC,ZFCE=-ZACE.

22

・•・ZBFC=ZFCE-^FBC='(NACE-ZABC)=-ZA

22

即ZBFC2a.

2

(3)由轴对称性质知：ZBGC=ZBFC=-a,

2

由(1)②可得/BMC=900+L/BGC,

2

・,.ZBMC=90°+-«.

4

【点睛】

本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解

题的关键.

7.如图所示，在AABC中，A7)是高，AE、8/是角平分线，它们相交于点。，ZBAC=50°,ZC=70°,

求NZMC、NBOA的度数.

【解析】ND4C=20。，ZBOA=\25°

【解析】

【分析】

由AD是高易得/DAC与NC互余，即可求出/DAC,由三角形内角和定理求出NABC,再根据角平分线

的定义求出NABO与NBAO,最后根据三角形内角和定理即可求出NBOA的度数.

【详解】

解：AD是A4BC的高

:.ZADC=90°

在AADC中

ZZ>4C=90°-ZC=90°-70°=2()°

在AABC中

ZABC=180°-ABAC-ZC=180°—50°-70°=60。

•••AE、是角平分线

NA8O=-ZA^C=-x60o=30°

22

ZBAO=-ZBAC=-x50°=25°

22

在AABC中，

ZBOA=1800-ZABO-ZBAO=180°-30°-25°=125°

【点睛】

本题考查了三角形中的角度计算，熟练掌握高和角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键.

8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是NBAC的平分线，ZEAD=I5°,ZB=40°.

(1)求NC的度数.

(2)若：ZEAD=a,/B邛，其余条件不变，直接写出用含a,。的式子表示/C的度数.

【解析】

【分析】

(1)根据三角形的内角和定理求出/BAD,求出/BAE,根据角平分线的定义求出/BAC,即可求出答案;

(2)根据三角形的内角和定理求出/BAD,求出NBAE,根据角平分线的定义求出NBAC,即可求出答案.

【详解】

(1)VAD±BC,

:.ZADC=ZADB=90°,

ZB=40°,

/.ZBAD=90°-40°=50°,

■:ZEAD=15°,

AZBAE=5O°-15°=35°,

；AE平分NBAC,

ZCAE=ZBAE=-ZBAC=35°,

2

・•・ZBAC=70°,

ZC=1800-ZBAC-ZB=I80°-70o-40c=70°:

(2)VAD±BC,

:.ZADC=ZADB=90°,

■:/B邛，

・•・NBAD-9(T-p,

VNEAD=a,

/.ZBAE=90°-p-a,

TAE平分NBAC,

/.NCAE=NBAE=；ZBAC=90°-P-a,

・•・ZBAC=180°-2p-2a,

/.ZC=1800-ZBAC-ZB=180°-(180°-2p-2a)-p=0十2a.

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键.

9.如图，BD、砥分别是AABC的高和角平分线，NA=46。，ZABC=74°求NO3石的度数.

【解析】ZDBE=1°

【解析】

【分析】

先根据直角三角形两锐角互余求出N48。的度数，再根据角平分线的性质求出NA3E的度数，二者作差即

可得出答案.

【详解】

解：:BO是A43C的高，

ZAfiZ)=90°-ZA=90°-46°=44°,

•••6E是zM“。的角平分线，

AZABE=-ZABC=1x74°=37°,

22

・•・ZDBE=ZABD-ZABE=44°-37°=7°.

【点睛】

本题考查了直角三角形两锐角互余、先平分线的性质.在图形中找出NOM=NA〃。一NAAE这一数量关

系是解题的关键.

10.如图，在A46C中，CE是角平分线，£)是A台延长线上一动点，DFLCET点下,试探索/£＞与ZABC、

的数量关系.

【解析】

【分析】

过点C作CGJ_AB「点G,首先根据三角形的内角和定理，求出/BCA的度数；然后根据角平分线的性

质，求出NACE；再根据三角形的外角的性质，求出/CED的度数，进而求出NECG,再根据同角的余角

相等得出NECG=ND即可.

【详解】

解:如图，过点C作CG_LA6于点G

DF1CE,:"GCE+4CEG=/D+/DEF=90。，

:.ZD=4ECG、

在AA8c中，/ACB=I8O。-(ZA+ZABC)

•••CE是角平分线，

:.ZACE=-NACB=900--ZA--/ABC

222

二ZDEC=90°+-ZA--NABC

22

・•.ZECG=900-ZDEC

:.ZECG=g(ZABC-ZA).

【点睛】

此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180。.此

题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻

的两个内角的和.此题还考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个角

的角平分线把这个角分成两个大小相同的角.

11.如图，在A48C中，NA=42°，NB=70。，CE平分NAC8,C£>J_AB于。，DF工CE于F，求/眇.

【解析】ZEDF=14°.

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理求出NACB,根据角平分线的定义求出NACE,根据三角形的外角的性质求出NFED,

根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】

解：VZA=42°,NB=70°,

・•・ZACB=180o-700-42o=68°,

TCE平分NACB,

ZACE=-ZACB=34°,

2

・•・ZFED=ZA+ZACE=76°,

VDF1CE,

:.ZEDF=90°-ZFED=14°,

故答案为140.

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理以及三角形的角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180。是解题的关键.

12.如图，在AABC中，N84C=N8C4=44，M为A43C内一点，使得NMCA=30,NM4C=16,

求/BMC的度数.

【解析】150°

【解析】

【分析】

作3D_L4。子点O,延长CM交30于点。，连接AO，Z(9AM=ZQ4C-ZAMC=30°-16°=14°,

故ZBAO=NMAO,证AABOwAAMO，从而O8=QA/.由N3OM=120。，得

IQ()O_120°

NOMB=NOBM=---------------=30。，故ZBMC=180°-NOMB.

2

【详解】

如图，作BOJ.AC于点。，延长CM交3。于点。，连接A。，则

NQ4C=NM4C=3()。，

ZBAO=44°-30o=14°,

Z.OAM=ZOAC-ZMAC=30°-16°=14°,

得NBAO二NMAO.

乂ZAOQ=90。-NCMP=60。=NCO。，

所以ZAQW=120°=ZAQ8,乂AO=AO

因此AABO二AAMO，从而OB=OM.

1Q0O—120。

由/BOM=120。，得NOMA=NOBM=-----------=30°,

2

故ZBMC=180°-/OMB=180°-30°=150°.

【点睛】

考核知识点：全等三角形判定和性质，等腰三角形性质.作好辅助线是关键.

13.如图，在A4BC中，月力是N84。的平分线，G为A。上一动点，GH工AD,交BC的延长线于点

(1)若NB=30°,NAAC=40°,求/”的度数：

(2)当点G在A力上运动时，探求N”与D3、N4C。之间的数量关系，并证明.

【解析】C)ZH=40°.(2)NH=；(N4C8—NB).见解析.

【解析】

【分析】

(1)先根据三角形外角的性质及角平分线求出ZADH的度数，再根据宜角三角形两锐角互余即可求出Nh

的度数：

(2)先根据三角形外角的性质及角平分线得出NAO，=N8+，NB4C,再根据直角三角形两锐角互余即

2

可得出N"与9