《应用高等数学》教案 第20课 定积分及其应用（一）

第20课定积分及其应用（一）

课题定积分及其应用（一）一一定积分的概念和性质

课时2课时(90min)

知识技能目标：

1.理解定积分的概念

2.理解定积分的几何意义，并掌握其应用

3.掌握定积分的7个性质，并掌握其应用

教学目标思政育人目标：

通过生活中常见的不规则图形面积，引导学生学习定积分的概念，使学生体会

到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；培

养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝

不苟的科学精神

教学重点；定积分概念的理解、定积分的性质和公式

教学重难点

教学难点：理解定枳分的几何意义

教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法

教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材

第一节课：课前任务-*考勤（2min）-*复习（10min）f讲授新课（33min）

教学设计第二节课：讲授新课（20min）一课堂测验（10min）互助指导（12min）

f课堂小结（3min）一课后拓展

教学过程主要教学内容及步骤设计意图

第一节课

【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同

学做完作业，在指定时间内交齐

【学生】做完作业，在指定时间内交齐通过课前的预热，

【教师】通过APP或其他学习软件，布置课前问答题：让学生了解所学

课前任务（1）积分学是研究什么的？科目的大概方向，

激发学生的学习

（2）什么是定积分？

欲望

（3）定积分的几何意义是什么？

【学生】查找资料，预习教材

培养学生的组织

考勤【教师】清点上课人数，记录好考勤

纪律性，掌握学生

【学生】班干部报请假人员及原因

(2min)的出勤情况

【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及复习前面所学相

复习时讲解

关知识，为讲授新

(10min)【学生】做复习题目课打好基础

【教师】通过引例(曲边梯形的面积、变速直线运动的路

程)引导学生理解定积分的概念

引例已知一质点以W，)=，+1(m/s)的速度做变

速直线运动，求质点从乙=ls到q=3s这两秒时间内所经

过的路程.

分析路程函数是速度函数的枳分，即

sQ)=Ju«)d/=J(/+l)dz=；/+,，+c.

于是质点在

L，G］=U，3］时间段里所经

过的路程是

5(3)-5(1)=6m.从实际实例引出

该质点的速度函数图形如定积分的概念，从

图3-2所示，其中，阴影部具体到抽象地讲

分的梯形面积正好是质点解定积分的概念.

在两秒内所经过的路程.使学生体会到数

讲授新课引例(曲边梯形的面积问题)如图3-3所示，学是源于生活的，

设函数y=f(x)(不妨设/(x)…0)在区间［a,b\上连续,是为实际问题的

(33min)

求由)，=/*)与直线/=a,%=%及x轴所围成的平面图抽象产生的，数学

形AB'CD(称为曲边梯形)的面积A.学科不是脱离我

们实际生活的，所

以要好好学习数

学

图3-3

魏曲边梯形是不规则图形，无法直接计算其面

积.将曲边梯形沿x轴拆分成多个小曲边梯形，小曲边梯

形的面积就可用小矩形的面积近似代替，再将所有小矩形

的面积进行累加，即可得到曲边梯形的近似面积.若对区

间进行无限捌分，就可得到曲边梯形的精魂面积，其具体

步骤如下.

(1)分割一拆分曲边梯形为〃个小曲边梯形(化整

为零).

如图34所示，在区间［〃,川内任意插入〃-1个分点，

即

a=.%<N<.q<<菁_］<菁<<A:,,.1<xn=b（i=\,2,,〃）

把区间,切分成〃个子区间：

K,芭］,［百，再］…，X_i,/］,这些子区间

的长度可记为Ax；=%-X-.过每个分点作平行于），轴的直

线，它们把原曲边梯形分成〃个小曲边梯形.

（2）近似代替一用小矩形面积代替小曲边梯形面积

（化曲为直）.

在每个子区间［西_1，芭］上任取一点。（.总系吗％）,以

/©）为高、色为底作小矩形，用小矩形的面积/©）州近

似代替小曲力梯形的面积M，即Mx/g）州.

（3）求和一求〃个小矩形面积之和（积零为整）.

把〃个小矩形面积累加起来，得和式它是曲

r-l

边梯形面积A的近似值，即

A=£M可偌2;.

/=!/=!

（4）取极限一由近似值过渡到精确值（无限逼近）.

将区间m，切无限细分卜.去，并使每个子区间的长度

心,都趋于0,即当〃无限增加且子区间长度的最大值义（即

2=maxfATj,%,,Ax,｝）无限趋于0时，若上述和式

的极限存在，则此极限就是原曲边梯形面积的精确值，即

曲边梯形的面积为

1=1

（变速直线运动的路程问题）将引例1的

问题一般化,设某质点做直线运动，已知速度卜=,（/）是时

间段氏，邛上f的一个连续函数，且以/）...0,求质点在这

段时间内所经过的路程S.

晒整个时间段里，质点的运动速度是变化的，把

必=xt-A；_1.在各子区间上任取一点6©e［A；_j,xj）,作

和之/（。）.，记2=max{&i若极限

r=l

limN/©）此存在，则称此极限为函数/（x）在区间［a,b］

人TO..

r-l

上的定积分，记作

J：/（x）dx=期£./■©）&*,

r=l

也称函数人幻在m，。］上可积，符号J：/。）小读作函数

/（幻从〃到〃的定积分，m，加是积分区间，〃是积分下限,

力是积分上限.

关于定积分有以下几点说明.

（1）所谓lim£/©）州存在（即函数/⑴可积），是

1=1

指无论对区间［4,可如何分割，也不论对点自如何选取，极

限都存在，该极限大小与区间的分割方式和点。的取法无

关.注意，此处不能用〃->8来代替4-0；

（2）定积分是和式极限，是一个数值，它只与被积函

数/*）和积分区间口，加有关，而与积分变量用什么字母

表示无关，即J：f（x）dx=J：=£f（u'）du；

（3）规定f/（x）dx=-J：/（x）dx，£7u）dx=0；

（4）闭区间上的连续函数、单调函数、有界且只有有

限个第一类间断点的函数均可积.

根据定积分的定义，引例2和引例3都可以表示为定

积分.

（1）曲边梯形的面积人是函数在区间上的

定积分，即A=J：/（x）dx；

（2）变速直线运动的路程s是速度函数1也）在时间

片，冕］上的定积分，Up5=j\v）dr.

【学生】理解定积分的概念

第二节课

【教师】通过图形介绍定积分的几何意义，并通过例题掌

握其应用

(1)在区间加上，当/(X)…0时，由曲线y=f(x)

与直线y=0,x=a,x=〃所围成的曲边梯形位于x轴上

方,定积分］)(好心在几何上表示工轴上方的曲边梯形的

面积A,即f/(x)A=A；

(2)在区间m，/“上，当/(X),,0时，由曲线y=/(x)

与直线y=0,x=a,x所围成的曲边梯形位于x轴下

方，定积分1/@)小在几何上表示x轴下方的曲边梯形面

积A的负值，即

f/(x)dx=-A；

学习定积分的几

(3)当/(x)在必，句

何意义和性质，并

上有正有负时，定积分

掌握定积分性质

讲授新课

f/U)d.v在几何上表示尤的应用。边做边

(20min)图3-5讲，及时巩固练

轴上方曲边梯形的面积减

去X轴下方由边梯形的面积.习，实现教学做一

体化

一般地，曲边梯形的面积是1|/(幻|心,而定积分

在几何上表示曲边梯形面积的代数和，如图3-5

Ja

网.

Q|例1I利用定积分的几何意义计算下列定积分.

(1)J：3dx；(2)J：(x+l)<k；

(3)T2dx.

解这三个定积分被积函数的图形分别如图3-6(a)、图

3-6(b)、佟3-6(c)所示，由定积分的几何意义，不难得

到以卜定枳分的值.

(1)工3心=6；(2)pi(x+l)dv=8;

(3)[\l\-x2dx=—.

J-i2

(a)(b)(c)

图3-6

【教师】讲解定积分的7个性质，并通过例题介绍其应用

设/(幻，g*)在区间口，加上可积，则定积分具有下

列性质.

性质1J，(x)dr=&J：/(x)dr(攵为常数，月工0).

性质2\h[f(x)±g(x)]dx=\bf(x)dx±f^U)dx-.

性质2可推广到有限多个函数代数和的情形.

性质3£kdx=k(b-a).特别地，有

性质4(定积分关于积分区间的可加性)设c为区间团,加

内的一点，则有

£/(X)&=£/(X)去+£/(X)匕，

在性质4中，C也可为区间必2]之外的一点，即积分结果

与上式中cH勺位置没有关系.

性质4常用于求分段函数的定积分.

Q|例2)已知=+"求「/(x)dj

---------[1-x,X...0,J

解f(A：)dv=(1+x)dr+£(1-x)dr.如图3-7所示为

函数/(x)的图形，利用定积分的几何意义，有

[°(l+x)cLv=—,f(l-A)(iv=—,于是有

j-i22

£/u)dv=l-i-l=i.

y

|01x

图3-7

性质5在区间[a,用上,若f(x)…g*),则有

1/(x)dx…1g(x)dv.

JaJa

特别地，当FCi)…0时，有J：/(x)dx…0.

[Q|例3]证明不等式J；sinXdr领J；JX山.J；tanxdr.

证如图3召所示为单位圆，其中4

为角度(弧度制).当xJ。」］时，

4

sinx=BC»x=AC,{QX\X=AT.比

较△QAC、扇)杉QAC、AOAT三者的

面积，不难证得sinx效ktanx,从

而有

『sinxdA尚fx心Jtanxdx.问题得证.

JoJoJo

性质6(估值定理)设M和机分别是/")在他㈤上的

最大值和最小值，则

m(b-。那，f(x)dvM(b-a).

Q|例4〕估计定积分J：(d+l)dx的取值范围.

解令f(x)=f+i,则/(x)=2x在区间［1,4］上有

rw>o,所以/(“)在区间口,4］上单调递增.因此,最小

值m=〃1)=2,最大值M=/(4)=I7.白估值定理知，

2X(4-1)^4(X2+1)(1V

17x(4-1),即

6到J：(/+l)心51.

性质7(定积分中值定理)如果函数/*)在必,加上连续,

那么在［a,b］上至少存在一点4，使得

£/(-v)d-'=/(6)(b一a)成立.

该性质的几何解释是：一条连

续曲线y=f(x)在团,勿上的

曲边梯形面积等于以区间

句长度为底、［a,一中一点

4的函数值为高的矩形的面

图3-9

积，如图3-9所示.

【学生】理解定积分的几何意义和性质，并掌握定积分性

质的应用

，教师在APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学通过测试，了解学

生加入测试生对知识点的掌

课堂测验

【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家握情况，加深学生

(10min)的学习情况对本节课知识的

【学生】做测试题目印象

所选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点

以学生为主体，针

【教师】