【从高考到强基】高中数学强基计划专题训练05 数列（原卷版）-高考数学总复习归纳总结资料-高考数学

专题训练05数列

一、单选题

1.已知数列｛%｝满足4=1,，.=为-3片.给出下列匹个结论：

①数列｛%｝每一项。“都满足。<4tK1(〃£N*)：

②数歹U｛%｝的前〃项和S〃<2；

③数列｛q｝每一项都满足为<黄y成立；

④数列｛巴｝每一项%都满足%>(；)"T(〃eN).

其中，所有正确结论的序号是()

A.①③B.②④C.®@@D.①②④

2.若㈤=1,且对任意正整数〃，均有4Z3+2Z“Z”+1+Z；=0,则称一个复数数列｛z”｝为“有

趣的若存在常数G使得对一切有趣的数列｛z“｝及任意正整数m,均有归+22++zJ>C,

则。的最大值为()

A.旦B.IC.3D.空

433

二、多选题

3.定义：若数列满足"=e"q3-(”0)，则称｛可｝为“刀如双指数迭代数列

已知在“侬双指数迭代数列”｛q｝中，首项4=〃«根。0),则()

A.当〃?=2时，a2>0

B.当，"=3时，｛%｝为递增数列

C.当机=1时，也｝有最小值

D.当，"取任意非零实数时，｛可｝一定有最大值或最小值

4.已知函数力(x)=sin""+cos2"M〃eN*),记Z,(x)的最小值为%,数列｛q｝的前〃项和

为5”，下列说法正确的是()

Icc31

A.a,=—B.S.=—

■2416

n|

c.W>(l+q)<2D.若数列｛2｝满足“MY；二一，则

f-11-10a2an

X“姐+也+2<17

1=14

5.利用“InxKx—1”可得到许多与〃(〃22_a〃cN')有关的结论，则正确的是()

,z,111CII11

A.In(〃+l)<l+—+-+•+—B.In??>-+-++—

v723n23〃

6.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：11,2,3,5,8,

13,21,.该数列的特点如下：前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等于它前面两个

数的和.人们把这样的一列数组成的数列｛为｝称为斐波那契数列，现将｛qj中的各项除以2

所得的余数按原来的顺序构成的数列记为也｝,数列｛%｝的前〃项和为S.,数列也」的前〃

项和为，，下列说法正确的是()

A.422=1348B.若(=2022,则〃=3033

C.Sax)=4oo2-1D."J+&~++-+牝仅：="S(KMSOI

三、填空题

7.已知数列｛q｝、｛a｝、匕｝的通项公式分别为4=?、以=.、%=,,其中〃+s+，=l°°，

s=kn,〃，s,左wN"令M”=max｛a〃也,c“｝,(max,”也,c.｝表示/、b“、c”三者中的

最大值)，则对于任意上eN',M”的最小值为.

8.作单位圆的外切和内接正3x2"边形(〃=12…)，记外切正3x2”边形周长的一半为心,

内接正3x2"边形周长的一半为九.计算可得4=3x2"tanQ,其中斗是正3x2"边形的一条边

所对圆心角的一半.

给出下列四个结论：

c\

③*1=%也；④记W”,则D〃eN.,十1Vz.

Cn—

其中正确结论的序号是

9.对任意xeR,函数/(%)满足/(x+1)=J/(x)-尸(x)+g,〃,,=/Ya)-/(")，数列｛5｝

a1

的前15项和为-张数列匕｝满足G+*="(2023)R若数列£｝的前〃项和的极限存

在，贝Ue产.

四、解答题

10.已知数列｛4｝.给出两个性质：

①对于也｝中任意两项4回(亚力，在｛凡｝中都存在一项小，使得4=4q；

②对于｛%｝中任意连续三项4，%，勺+2，均有(4一4+「/+2)(4一3““一限)=0・

(I)分别判断以下两个数列是否满足性质①，并说明理由：

(i)有穷数列｛q｝：%=2"T(〃=1,2,3)；

(ii)无穷数列也｝:女=2〃-15=1,2,3,).

(2)若有穷数列｛4｝满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数〃，的最大值；

(3)若数列｛勺｝满足性质①和性质②，且4>0,生<-1,/=2,求｛《,｝的通项公式.

11.对于每项均是正整数的数列A:%、生、L、%,定义变换(，乙将数列A变换成数列

[(A):“、4-1、阻-1、L、an-\.对于每项均是非负整数的数列B:4、4、L、粼，

定义变换(，4将数列8各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列((B)：又

定义S(8)=2他+次+…+〃④)+彳+4+…+优.设A是每项均为正整数的有穷数列，令

1二7；(7；(A))伏=0,12…).

⑴如果数列4为5、I、3,写出数列A、4；

⑵对于每项均是正整数的有穷数列A,证明S(7；(A))=S|A)；

⑶证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列4,存在正整数K,当k2K时，

S(4+J=S(A).

12.已知数列｛4｝满足--4=2,其前8项的和为64；数列出｝是公比大于()的等比数列,

4=3,b^-b2=18.

⑴求数列｛q｝和低｝的通项公式；

(2)记%〃wN,求数列卜〃｝的前〃项和小

H+I

(-1产•//】="-l,kwN"

⑶记4=2+i求S2”=£4.

n=2k,keN*A-I

13.若无穷数列｛q｝满足MzeN,|q-4用|=〃+1,则称｛4｝具有性质若无穷数列｛叫

满足V〃eN*，anan^+\>a；+2t则称｛叫具有性质〉.

(1)若数列也｝具有性质4,且4=0,请直接写出。3的所有可能取值；

⑵若等差数列｛4｝具有性质8,且6=1,求其+。；的取值范围；

(3)已知无穷数列｛q｝同时具有性质4和性质6，为=3,且。不是数列｛a,,｝的项，求数列｛6｝

的通项公式.

14.对于一个有穷单调递增正整数数列P,设其各项为4，4，L,q(〃25),若数列尸

中存在不同的四项与，%,4，q满足（+4=4+4,则称P为等和数列，集合

M称为P的一个等和子集，否则称。为不等和数列.

（1）判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；41,3,

5,7,9；B：2,4,6,7,10：

⑵已知数列P：N，%，%，4，4是等和数列，并且对于任意的总存

在。的一个等和子集M满足集合求证：数列P是等差数列；

⑶若数列P：%,七,L,。“是不等和数列，求证：4>—9.

15.高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.

以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段AB、BC代表山坡，线

段。。为一段平地.设图中A及3C坡的倾角满足tan。=三，tan/=己A3长250m,AC长

2412

182m,CD长132m.假设该路段的高铁轨道是水平的（与CD平行），且端点瓦尸分别与A。在

同一铅垂线上，每隔30m需要建造一个桥墩（不考虑端点厂建造桥墩）

⑴求需要建造的桥墩的个数；

⑵已知高铁轨道的高度为80m,设计过程中每30m放置一个桥墩，设桥墩高度为人（单位：

m）,单个桥墩的建造成本为W=0.65力+5（单位：万元）.求所有桥墩建造成本总和的最小

值.

16.给定整数让3,由〃元实数集合S定义其相伴数集7={|。-即以〃£5,。工〃},如吴

min(T)=l,则称集合S为一个〃元规范数集，并定义S的范数/为其中所有元素绝对值之

和.

⑴判断4={-0.1,-1.1,2,2.5}、8={-1.5,-0.5,051.5}哪个是规范数集，并说明理由；

⑵任取一个〃元规范数集S,记〃?、M分别为其中最小数与最大数，求证：

min(S)|+|max(S)|>/z-l：

⑶当S=M，%,LM切3}遍历所有2023元规范数集时，求范数/的最小值.

注：min(X)、max(X)分别表示数集X中的最小数与最大数.

17.约数，乂称因数.它的定义如下：若整数。除以整数〃?(，〃工0)除得的商正好是整数而没

有余数，我们就称〃为〃，的倍数，称胴为。的约数.设正整数。共有攵个正约数，即为

q,%，…(4eg<…〈仆).

(I)当〃=4时，若正整数。的&个正约数构成等比数列，请写出一个。的值；

⑵当人4时，若02fM3-J，…，4-%构成等比数列,求正整数。；

2

(3)记A=a}a2+a2a3+•••+出_。，求证：A<a.

18.定义圈数列X：'，Z(〃N3)；X为一个非负整数数列，且规定匕的下一项为七,

记%==%,这样々的相邻两项可以统一表示为Z_d，4=123,…(节的相邻两

项为与，工2,即乙，12；Z的相邻两项为人7，乙+1).定义圈数列X做了一次P运算：选取一项

x,>2,将圈数列X变为圈数列P(X)：对占,…,XI+1，Z—2,.%1+1…，即将不减2,相邻

两项各加1,其余项不变.并记下标我输出了一次.记X进行过i次。运算后数列为匕：

%，％，…，£」•(规定X°=X)

⑴若X：4,0,0,直接写出一组可能的乂多名,小；

(2)若进行q双P运算后(°>。)，有X=X“，此时下标&输出的总次数为&,记％=册，。向=6

直接写出一组非负实数名万，使得对任意〃=123,…,〃，都成立，并证

明*1；

⑶若X：〃+1,0,0,0,证明：存在M,当正整数我＞何时，乂人中至少有一半的项非

零.

19.数列伍”｝的前〃项和为工，若对任意的正整数〃，总存在正整数加，使得5.=金，则

称数列｛《J是"E数列

⑴数列｛4｝的前〃项和S“=3”(〃eN")，判断数列他/是否为“E数列”，并说明理由；

⑵数列｛"｝是等差数列，其首项4=1,公差4＜0,数列出“｝是“石数列"，求"的值；

(3)证明：对任意的等差数列｛4｝,总存在两个“E数列”色｝和｛qj,使得《,=勿+1(〃€用)

成立.

20.定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列

称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二

阶和数列，以此类推可以得到〃阶和数列，如｛2,4｝的一阶和数列是｛2,6,4｝,设〃阶和数列

各项和为S”.

⑴试求数列｛2,4｝的二阶和数列各项和邑与三阶和数列各项和邑，并猜想他」的通项公式

(无需证明)；

(5-3)(2/?+1).、2025

⑵设“，低｝的前机项和乙，若工”＞学，求〃?的最小值

Ilog式K3”-3八)lo：g式/3向-3八)2

21.已知数列A：4，%「、*（"之4）,其中4，生,…,SYCZ,且《＜生＜…〈6Y.

若数列4:外生，纵满足4=4%="N，当i=2,3,・N-1时，4=《T+1或《二。"|一1,则称

A：44…%为数列A的“紧数列”.

例如，数列A：2,4,6,8的所有“紧数歹小为2,3,5,8；2,3,7,