【吃透中考数学29个几何模型】模型28 平行线笔尖型

专题28平行线笔尖型

一、单选题

1.如图，直线机〃〃，在MABC中，N8=90。，点A落在直线〃z上，与直线〃交于点。，若N2=B°

则N1的度数为（）.

A.30°B.40°C.50°D.65°

【答案】B

【分析】

由题意过点B作直线/〃加，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案.

【详解】

解：如图，过点B作直线///〃?，

•・•直线m〃n,l//m,

，///〃，

・•・Z2+Z3=180°,

VZ2=130°,

・•.Z3=50°,

VZB=90°,

/.Z4=90°-50°=40°,

■：IHm,

/.Zl=Z4=40°.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行丁•其中一条

直线则平行于另一条直线是解答此题的关键.

2.如图，已知AB//CD,则Na,之间的等量关系为（）

A.Za+Z^-Z/=I8O°B,Z^+Z/-Za=180°

C.Na+/〃+//=360。D.Z«+Z/7+Z/=180°

【答案】C

【分析】

过点E作EF〃AB,则EF〃CD,然后通过平行线的性质求解即可.

【详解】

解:过点E作EF〃AB,则EF〃CD,如图，

VAB/7EF/7CD,

Zy+ZFED=180°,

VZABE+ZFEB=180°,ZABE=Za,ZFED+ZFEB=Zp,

/.Zy+ZFED+ZABE+ZFEB=360°,

Za+Zp+Zy=360°,

故选：C.

【点睛】

本题主要考杳了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键.

3.如图所示，若AB〃EF,用含。、B、7的式子表示X,应为（）

E____a尸

A./B.fi+y-aC.180°-a-/+/?D.180°+a+/7-/

【答案】C

【分析】

过C作CD〃AB,过M作MN〃EF,推出AB〃CD〃MN〃EF,根据平行线的性质得出a+NBCD=180D

ZDCM=ZCMN,ZNMF=/,求出NBCD=1800-<7,ZDCM=ZCMN=/?-X,即可得出答案.

【详解】

过C作CD〃AB,过M作MN〃EF,

•••AB〃EF,

，AB〃CD〃MN〃EF,

Aa+ZBCD=180°,ZDCM=ZCMN,ZNMF=7,

.,.ZBCD=180°-<2,NDCM=NCMN=6-y,

/.X=ZBCD+ZDCM=180°-a-y+尸，

故选：C.

A______B

D.......义9c

“AN

E____X尸

【点睛】

本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力.

二、解答题

4.如图1,四边形MN8D为一张长方形纸片.

(1)如图2,将长方形纸片剪两刀，剪出三个角(N84E、ZAEC.NECD),则NBAE+NAEC+NEC。=

(2)如图3,将长方形纸片剪三刀，剪出四个角(NBAE、ZAEF./EFC.ZFCD),则

乙BNE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=°.

(3)如图4,将长方形纸片剪四刀，剪出五个角(N84E、NAEF、NEFG、ZFGC、NGC。)，则

ZBAE+ZAEF+ZEFG+ZFGC+ZGCD=0.

(4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪〃刀，剪出(〃+1)个角，那么这(〃+1)个角的和是

【答案】(1)360：(2)540；(3)720：(4)180〃.

【分析】

(1)过点E作EH〃AB,再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180。的2倍；

(2)分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180，的

三倍；

(3)分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。

的三倍：

(4)根据前三问个的剪法,剪n刀，剪出n+1个角,那么这n+1个角的和是180n度.

【详解】

(1)过E作EH〃AB(如图②).

•.•原四边形是长方形，

，AB〃CD,

又•••EH/ZAB,

・・.CD〃EH(平行于同一条直线的两条直线互相平行).

■:EH/7AB,

・・・NA+N1=18O。(两直线平行，同旁内角互补).

VCD/7EH,

・・・N2+NC=180°（两直线平行,同旁内角互补）.

/.ZA+Z1+Z2+ZC=360°,

又•••/1+N2=/AEC,

ZBAE+ZAEC+ZECD=360°；

图②

(2)分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示,

用上面的方法可得NBAE+NAEF+NEFC+NFCD=540。；

(3)分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示,

用上面的方法可得/BAE+/AEF+/EFG+/FGC+/GCD=720。：

(4)由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度.

故答案为：(1)360；(2)540：(3)720：(4)180n.

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律

求解是本题的难点.

5.请你探究：如图(I),木杆与厂C平行，木杆的两端4、C用一橡皮筋连接.

（1）在图（1）中，D8与/C有何关系？

（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则NA、DB、/C之间有何关系？

（3）若将橡皮筋拉成图（3》的形状,则NA、D〃、NC之间有何关系？

（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状,则/A、力8、NC之间有何关系？

（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状,则NA、力8、NC之间有何关系？

（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）

【答案】(1)/B+NC=18O°：(2)ZB+ZC=ZA：(3)ZA+ZB+ZC=360°；(4)ZA+ZB=ZC：(5)ZA+ZC

=ZB

【分析】

（1）利用平行线的性质”两直线平行，同旁内角相等“即可解答：

（2）过点A作AD〃BE,利用“两直线平行，内错角相等“即可得出结论；

（3）同样过点A作AD〃BE,利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论：

（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论：

（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论.

【详解】

（1）如图（1）EB与FC平行,.,.ZB+ZC=18O0：

（2）如图（2）,过点A作AD〃BE,则AD〃BE〃CF（平行于同一条直线的两条直线平行）,

/.ZB=ZBAD,ZC=ZDAC,

...ZB+ZC=ZBAD+ZDAC=ZBAC,

即NB+NC=/A：

(3)如图(3),过点A作AD〃BE,贝ijAD〃BE〃CF,

ZB+ZBAD=180°,ZDAC+ZC=180。，

「・NB+NBAD+/DAC+NC=360°,

即NB+NA+NC=3600：

（4）如图（4）,设BE与AC相交与D,

EB与尸C平行,

，ZC=ZADE,

■:ZADE=ZA+ZB,

.•・ZA+ZB=ZC；

(5)如图(5),设CF与AB相交与D,

■:EB与尸C平行，

I.ZB=ZADF,

VZADF=ZA+ZC,

:.ZA+ZC=ZB.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键.

6.阅读下面材料,完成(1)〜(3)题.

数学课上，老师出示了这样一道题：

如图1,己知48//8,点£产分别在48,8上，EP±FP,Z1=6O°.求N2的度数.

图1

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：

小明：“如图2,通过作平行线，发现N1=N3,N2=N4,由已知£P_L尸产,可以求出N2的度数.”

AEB

图2

小伟：”如图3这样作平行线，经过推理，得N2=N3=N4,也能求出/2的度数.”

图3

小华：..•如图4,也能求出N2的度数.

(I)请你根据小明同学所画的图形(图2),描述小明同学辅助线的做法，辅助线：；

(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出N2的度数为°;

老师：”这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广.”

清大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：

(3)如图，A8//CO,点E"分别在A8,CQ上，FP平分NEFD,NPEF=NPDF,若NEPD=a，请探

究NCFE与NPE尸的数量关系((用含。的式子表示)，并验证你的结论.

【答案】(1)过点夕作尸Q〃AC：(2)30；(3)ZCFE-2ZPEF=180-a.

【分析】

(1)根据图中所画虚线的位置解答即可；

(2)过点P作

PQI/AC,根据平行线的性质可得N1=N3,N2=N4,由EP_LFP可得N3+N4=90。，即可得出Nl+N2=9

0°,进而可得答案：

(3)设NCFE=x,NPEF=NPDF=y,过点。作PQ//AA,根据平行线的性质可得

ZBEP+ZEPQ=180°,ZCFE=ZFEB=x,/PDF=/DPQ,进而根据角的和差关系即可得答案.

【详解】

(1)由图中虚线可知PQ〃AC,

.•.小明同学辅助线的做法为过点夕作~Q〃4c,

故答案为：过点P作PQ//AC

⑵如图2.过点尸作PQ//PC.

•••AB//CD,

/.PQ//AB//CD,

.♦・Nl=/3,Z2=Z4,

VEP1FP,

ZEPF=Z3+Z4=90°,

.,.ZI+Z2=90°,

・21=60°,

・•・Z2=30°,

故答案为：30

图2

(3)如图，设/CFE=x,/PEF=/PDF=y,过点〃作PQ//A8,

/./BEP+ZEPQ=180°,ZCFE=/FEB=x

AB//CD,

PQ//CD,

/PDF=ZDPQ

：./DPQ=/EHF=/PDF=y

,:ZCFE=/FEB=x=ZFEP+NBEP

.,.x=)，+(lX0-a+y)

:.x-2y=\S0-a,即NCFE-2NPM=180-a.

【点睛】

本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互

补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

7.综合探究：己知A8//C。，点M、N分别是4B、。加上两点，点G在4B、C。之间，连接MG、

NG.

(1)如图I,若GM_LGN,求N4MG+NCNG的度数：

(2)如图2,若点〃是C7)下方一点，MG平分N6M尸，ND平分乙GNP,已知/4MG=40。，求

NMGN+NMPN的度数.

【答案】(1)90°；(2)120°

【分析】

(1)过G作G////A8,根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题：

(2)过G作GK//A3,过点尸作PQ//48,根据两直线平行，内错角相等性质解得

NMGK=N8MG=40。，再根据角平分线性质，求得N8MP=80。，最后再用平行线定理解题，证明

4QPN=NDNP.进而计算NMGN+4MPN的值即可.

【详解】

解：(1)如图I,过G作GH//AB,

AB//CD,

：.GH//AB//CD

/AMG=NHGM,ZCNG=ZHGN

MGA.NG

NMGN=Z.MGH+4NCH=ZAMG+/CNG=90°

(2)如图2,过G作GK//A8,过点尸作尸Q//A8设NGNO=a

GK/h\B,AB//CD,

GK//CD

NKGN=NGND=a,

GK//AB,ZBMG=40°,

/.NMGK=/BMG=40°

MG平分NAMP,NO平分NGNP,

NGMP=NBMG=4()o

/./BMP=80°,

PQ//AB,

/MPQ=NBMP=80。

ND平分/CNP.

/.4DNP=4GND=a,

AB//CD,

:,PQ//CD，.二4QPN=4DNP=a,

/.4MGN=40°+a,NMPN=80°-a,

4MGN+乙MPN=40。+a+80。一a=120°

【点睛】

本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

8.已知点A,。分别在直线4，，2上，点8在直线4与之间，NBCNcNBAMW90。.

(1)如图1,求证：/ABC=NBAM+NBCN.

阅读并补齐卜列推理过程

过点、B作BG//NC,因为“〃2，

所以4Ma()

所以ZABG=ABAM,4CBG=4BCN()

所以ZABC=ZABG+/CBG=ZBAM+NBCN.

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，在学习中要注意体会.

图1

(2)如图2,点。，E在直线4上，/DBC=NBAM,BE平分43C,

N-

图2

求证：/DBE=/DEB.

（3）在（2）的条件下，过点8作8尸平分NC8E,请直接写出使B///AM时，N84M与N8CN之间

应具备的关系.

【答案】（1）BG,平行于同一条直线的两条直线平行，两条直线平行内错角相等；（2）见解析；（3）

N8AM=3/BCN

【分析】

（1）添加平行线，根据平行于同•条直线的两条直线平行，再利用平行线的性质进行角的等量代换；

（2）与（1）同理，通过添加平行线，根据平行于同一条直线的两条直线平行，再利用平行线的性质、角

平分线的定义进行角的等量代换；

（3）在（2）的条件下，根据已有的数量关系，加上平行线得到的内错角相等进行等量代换即可.

【详解】

解：⑴BG,

平行于同一条直线的两条直线平行，

两条直线平行内错角相等；

（2）过点ZT作BG//NC,

/.AM//BG

ZDEB=ZEBG,ZCBG=ZBCN,

由(1)知，ZABC=ZBAM+ZBCN,

又ZDBC=ZBAM.

NABC=NDBC+NBCN,

ZABC=ZABD+ZDBC,

...ZABD=ZBCN,

ZABD=ZCBG，

BE平分/ABC,

ZABE=ZCBE,

ZDBE=ZEBG,

ZDEB=ZDBE

(3)ZBAM=3ZBCN,理由如下：

ZDBC=ZDBEIZEBPIZPDC,

VBF/7AM,

:.ZEBF=ZDEB,

,.,BF平分NCBE,

:.ZCBF=ZEFB,

而由(2)知：ZDBE=ZDEB,

，NDBC=3NFBC,

VCN/7AM,

••・CN〃BF,

AZFBC=ZBCN,NDBC=3NBCN,

而NBAM=NDBC,

/.ZBAM=3ZBCN

【点睛】

本题考查平行线的推论和性质，熟练掌握平行线的性质，并灵活进行等量代换是关键.

9.(I)问题情境:如图1,AB//CD,ZPAB=120°,ZPCD=130°,求/APC的度数.

小辰的思路是：如图2,过点P作PE//AB,通过平行线性质，可求得NAPC的度数，请写出具体求解过程.

（2）问题迁移:

①如图3,AD//BC,点P在射线0M上运动，当点P在A,B两点之间运动时，设NCPD=N。，NADP=£,

NBCP=/y,问：Na、B、//之间有何数量关系？请说明理由.

②在①的条件下，如果点P不在A,B两点之间运动（点P与点A,B,0三点不重合），请直接写出N。、

B、//间的数量关系.

【答案】（1）110。：（2）①Na=N/+Ny：②Na=Ny-N/?或Na=N/?-Ny

【分析】

（1）过点P作PE//AB,可得PE//CD,所以由平行线的性质可以求得NEPA和NEPC的度数，进一步可以

得到NAPC的度数：

（2）分别过P作PQ//AD,则可得PQ//BC,再由平行线的性质和角的加减运算可以得解.

【详解】

解：（1）如图，过点P作PE//AB,则由平行线的性质可得PE//CD,所以：

NEA4+N£PA=I8O,NPCD+NEPC=18。，所以：

NE弘=180-ZPAB=180-120=60，ZEPC=180-ZPCD=180-130=50

所以，ZAPC=ZEPA+^EPC=\\0：

(2)①Na=N/?+Ny,理由如F：

如图，过P作PQ〃AD交DC于Q,则由平行线的性质得PQ〃BC,所以：

M

A

4DPQ=/。,4CPQ=4y,

ZDPQ+NCPQ=Na,Na=N/7+Ny；

②分两种情况讨论：

第一种情况，P在射线AM上，如图，过P作PQ//AD交射线DN于Q,则由平行线的性质得PQ//BC,所以:

/QPD=/0,/QPC=/y,4a=4QPC-4QPD=-：

第二种情况，点P在OB之间，如图，过P作PQ〃AD交射线OD于Q,则由平行线的性质得PQ〃BC,所以:

/DPQ=/仇4CPQ=4y,Aa=ADPC=ZDPQ-ZCPQAfi-Ay

【点睛】

本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运完是解题关

梃.

10.问题情境：如图1,AB//CD,/以3=130。，ZPCD=120°,求/APC度数.

ABBBB

小明的思路是：如图2,过P作PE//A从通过平行线性质，可分别求出NAPE、NCPE的度数，从而可求

出NAPC的度数:

小丽的思路是：如图3,连接4C,通过平行线性质以及三角形内角和内知识可求出/4PC的度数；

小芳的思路是：如图4,延长AP交。。的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出

NAPC的度数.

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计克，你求得的/4PC的度数为°；

问题迁移：（1）如图5,AO〃8C,点户在射线OM上运动，当点P在A、8两点之间运动时，NAOP=N”，

N8C尸=N0./CPD、Na、之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点尸在,4、8两点外侧运动时（点。与点4、8、。三点不重合），请你直接写

出NCP。、Na、Np间的数量关系.

【答案】问题解决：110。；问题迁移：（1）ZCPD=Za+Zp,理由见解析：（2）NCPO=N0-Na,理由

见解析

【分析】

小明的思路是：过P作PE〃A从构迨同旁内角，利用平行线性质，可得NAPC=110。.

（1）过。作PE〃A。交C7）于E,推出4O〃PE〃8C,根据平行线的性质得出Na=NOPE,/p=/CPE,

即可得出答案；

（2）画出图形（分两种情况：①点尸在的延长线上，②点P在A6的延长线上），根据平行线的性质得

出Na=NOPE,Np=NCPE,即可得出答案.

【详解】

解：小明的思路:如图2,过，作/石〃48,

图2

'：AB//CD,

：.PE//AB//CD,

：.ZAPE=1800-ZA=50°,ZCPE=1800-ZC=60°,

/.ZAPC=50°+60°=110°,

故答案为：110：

(1)ZCPD=Za+Zp,理由如下：

如图5,过。作PE//AD交C。于E,

*：AD//BC,

：.AD//PE//BC,

:,Na=NDPE,/p=NCPE,

/.ZCPD=ZDPE+ZCPE=Za+Zp：

(2)当。在8A延长线时，ZCPD=Zp-Za；

理由：如图6,过P作P£〃/1。交CQ于E,

'.,AD//BC,

：.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,NB=NCPE,

・•・NCPD=/CPE-/DPE=Zp-Za：

理由：如图7,过户作PE〃八。交CD于E,

'.'AD//BC,

：.AD//PE//BC,

:・/a=NDPE,NB=NC/>E,

图7

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考瓷学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线

构造内错角以及同旁内角.

II.问题情境：如图1,AB//CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求N4PC的度数.小明的思路是:

过户作PE//A8,通过平行线的性质来求NAPC的度数.

图1图2

(1)按小明的思路，易求得NAPC的度数为度：

(2)问题迁移：如图2,AB//CD,点P在射线0”上运动，记N/M8=a,4PCD=。,当点尸在8,

。两点之间运动时，试问/APC与a,夕之间有何数量关系？并说明理由.

(3)在(2)的条件下，当点。在B点左侧和。点右侧运动时(点P与点。，B,。三点不重合)，请直

接写出NAPC与a,力之间满足的数量关系.

【答案】(1)110°；(2)ZAPC=a+p；(3)NCPA=a-。或NCPA=p-a

【分析】

(1)过P作PE〃AB,通过平行线性质求/APC即可：

(2)过P作PE〃AD交AC于E,推出AB〃PE〃DC,根据平行线的性质得出Na=NAPE,Zp=ZCPE,

即可得出答案：

(3)分两种情况:P在BD延长线上:P在DB延长线上,分别画出图形，艰据平行线的性质得出Na=NAPE,

Z0=ZCPE,即可得出答案.

【详解】

解：(1)过点P作PE〃AB,

VAB/7CD,

...PE〃AB〃CD,

/.ZA+ZAPE=180°,ZC+ZCPE=189°,

VZPAB=130°,ZPCD=120°,

AZAPE=5O°,ZCPE=60°,

:.ZAPC=ZAPE+ZCPE=110°.

(2)NAPC=a+。，

理由：如图2,过P作PE〃AB交AC于E,

•.•AB〃CD.

，AB〃PE〃CD,

，a=NAPE,p=ZCPE,

・•・ZAPC=ZAPE+ZCPE=a+p；

①当P在BD延长线上时,

ZCPA=a-p：

②当P在DB延长线上时,

本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解

题时注意分类思想的运用.

12.(1)同题情景：如图1,AB//CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°,求NAPC的度数.

小明想到一种方法，但是没有解答完:

如图2,过P作PE//AB,.,.ZAPE+ZPAB=180°,

...ZAPE=1800-ZPAB=180°-130°=50°

VAB/ZCD,APE//CD.

请你帮助小明完成剩余的解答.

(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：

如图3,AD//BC,当点P在A、B两点之间时，ZADP=Za,ZBCP=Zp,则NCPD,Za,Np之间有何

数量关系？请说明理由.

【答案】(1)110°，剩余解答见解析；(2)NCPD=Na+N0,理由见解析

【分析】

⑴过P作PE〃AB,构造同旁内角，通过平行线性质，可得NAPC=5(T+6()o=llO。

(2)过P作PE〃AD交CD于E点，推出AD〃PE〃BC,根据平行线性质得到Na=NDPE,Zp=ZCPE,即

可得出答案.

【详解】

解：⑴剩余过程：ZCPE+ZPCD=180°,

ZCPE=180°-120°=60°

ZAPC=500+60o=110°；

故答案为：110°.

(2)NCPD=Na+N0,理由如下：

如卜.图，过P作PE〃AD交CD于点E,

M

VAD/7BC

••・AD〃PE〃BC,

AZa=ZDPE,Zp=ZCPE

:.ZCPD=ZDPE+ZCPE=Za+Zp

故答案为：ZCPD=Za+Z(3.

【点睛】

本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考察学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错

角以及同旁内角.

13.AB//CD,点P为直线48,C。所确定的平面内的一点.

(1)如图1,写出NA、NC之间的数量关系，并证明；

(2)如图2,写出NAPC、NA、NC之间的数量关系，并证明：

(3)如图3,点E在射线上，过点E作E87PC,作NPEG=NPEF,点G在直线CD上，作/8EG的

平分线EH交PC于点H,若NAPC=30。，N%8=140。，求的度数.

D

【答案】(1)ZA+ZC+ZAPC=360°,证明详见解析；(2)4APC=ZA-ZC,证明详见解析；(3)55\

【分析】

(I)首先过点P作PQ〃AB,结合题意得出AB〃PQ〃CD,然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分

析即可证得NA+NC+NAPC=360。；

(2)作PQ〃AB,结合题意得出AB〃PQ〃CD,根据“两直线平行，内错角相等“进一步分析即可证得/APC

=ZA-ZC：

(3)由(2)知，ZAPC=ZPAB-ZPCD,先利用平行线性质得出NBEF=NPQB=11()。，然后进一步得

出NPEG=L/FEG,ZGEH=—ZBEG,最后根据NPEH=NPEG-NGEH即可得出答案.

22

【详解】

(1)ZA+ZC+ZAPC=360°,证明如下：

如图1所示，过点P作PQ〃AB,

.,.ZA+ZAPQ=180°,

又：AB〃CD,

，PQ〃CD,

：・ZC+ZCPQ=I8O°,

NA+NAPQ+NC+NCPQ=360°,

即NA+NC+NAPC=360°:

(2)ZAPC=ZA-ZC,证明如下:

如图2所示，过点P作PQ〃AB,

VAB>7CD,

，PQ〃CD,

工NC=NCPQ,

•:NAPC=NAPQ-NCPQ,

:.ZAPC=ZA-ZC：

(3)由(2)知，ZAPC=ZPAB-ZPCD,

,/ZAPC=30°,/PAB=140°,

/.ZPCD=110°,

：AB〃CD,

ZPQB=ZPCD=110°,

•.•EF〃PC,

r.ZBEF=ZPQB=110°,

■:/PEG=/PEF,

:.ZPEG=—ZFEG,

2

TEH平分NBEG,

:.ZGEH=—ZBEG,

2

:.ZPEH=ZPEG-ZGEH

=!/FEG-gZBEG

22

=-ZBEF

2

=55°.

【点睛】

本题主要考克了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

14.如图1、图2,已知Nl+N2=180。.

(1)若图I中试找出图中的平行线，并说明理由；

⑵如图2,N/>M8=3NQM8,NPND=3/QND,试探究//>与N。的数量关系？(直接写答案，不写

过程).

"人1B

【答案】(1)A8〃CO,EF//HL,理由详见解析：(2)NP=3NQ.

【分析】

(I)AB//CD,EF//HL；由同旁内角互补可得A8//C。；延长EF交C。于G,由平行线的性质及

已知ZAEF=NH1N，可得ZEGL=NHLN,从而可判定EFHHL：

(2)/P=3/。：作QR〃4先由平行线的性质推得/RQN=/QND,从而NMQN=NQMB+/QND；

同理可得/P=/PM"+NPN。；再将已知代入计算即可得解.

【详解】

解：(1)AB/ICD,EF//HL

理由如下：

Zl=ZAMN,Z1+Z2=I8O°

/.NAMN+N2=I8O。

AB/ICD；

延交CDFG

AB//CD

\AAEF=/EGL

乙人EF=Z.HLN

\NEGL=Z.HLN

,.EFf/HL；

(2)NP=3NQ

理由如下：

AB//CD,悍QRHAB、

:./RQM=/QMB,QR//CD

/RQN=4QND,

/.NMQN=NRQM+/RQN=NQMB-NQNO

同理可得ZP=NPMB+ZPND

/PMB=34QMB,/PND=3/QND

：.ZP=4PMB+4PND

=3ZQMB+3NQND

=3(/QMB+/QND)

=3/MQN

NP-3NQ.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线三线八角的基本模型是解题的关键.

15.如图，在六边形A8COE产中，AF//CD,乙4=140。，ZC=165°.

(1)求的度数：

【分析】

(1)过点B作BM〃AF,则BM〃AF〃CD,乙4=140。,ZC=165°,进而即可求解;

(2)延长AB,DC交于点N,由NABC=55。，ZBCZ)=165°,^ZBNC=40°,结合即可得到答案.

【详解】

(1)过点B作BM〃AF,

'：AF//CDt

••.BM〃AF〃CD,

ZA+ZABM=180°,ZC+ZCBM=180°,

VZA=140°,ZC=I65°,

・•.Zr?-ZABM+ZCBM-360A-ZA-ZC-360rt-140o-165&=55A.

(2)延长AB,DC交于点N,

VZABC=55%

:.ZNBC=125°,

VZBCD=165°,

r.ZBNC=165o-125°=400

AB//DE,WJZD=l80o-40o=140°.

故答案是：140。

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和三角形外角的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键.

16.如图所示，AD//BC,ZCFE=Z\+ZD,NB-NCFE=30°,求N2的度数.

【答案】Z2=30°.

【分析】

根据平行线的性质，由靴子图ABEFC和，ZB=NCFE+Nl,Zl=Z5-ZCFE=30°，由靴子图ABEDC

知，ZB=/.BED+ZD=Z14-Z2+ZD,

又因为N8=NC/E+N1,得到N2+NO=NCTE,所以N2=Nl=30°.

【详解】

因为AO//AC,结合题意，由靴子图ABEFC知，NB=NCFE+N1,Zl=ZB-ZCFE=30°,由靴子

图ABEOC知，NB=NBEO+NO=N1+N2+N。，

NB=NCFE+Nl,

：.NI十N2+ND=zLCFE+Z1即Z2+ZD=NCFE,

ZCFE=Z\+ZD,.•.Z2=Zl=30°

【点睛】

本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.

17.如图所示，AD//BC,G、〃分别为人A、C。外侧两点，E、F分别为CO、AB上两点，连结

EG、EH、FG、FH,NCEH=NGEH,NAFH=NGFH,求证：NG=2N”.

【答案】见解析•.

【分析】

设/CEH=4GEH=x,ZAFH=ZGFH=y,

由题意得NG=N