【高考数学 特色题型汇编】第77讲 新文化试题-复数（原卷及答案）（新高考地区专用）高考数学复习

新文化试题—复数

1.欧拉公式/=cosO+isin火e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉

发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变

函数论里占有非常重要的地位，当0=•时，就有*+1=0,根据上述背景知识，试判断

J学表示的复数在复平面内对应的点位丁()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.由《物理世界》发

起的一项调资表明，人们把欧拉恒等式“1+1=0”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的

公式其中，欧拉恒等式是欧拉公式：d"=cos，+isin。的一种特殊情况.根据欧拉公式，

£.5£.

+e6=()

A.—B.3C.V2D.75

22

3.欧拉公式〃=cose+isine(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞1•著名数学家

欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则

的最小值等于()

A.0B.1C.2D.3

4.数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kr〃〃echr,1823-1891)说“上

帝创造了整数，其余都是人做的工作”，复数是由数学家在数系中规定了虚数尸=7而得

到.若复数z满足z(2-i)=4+3i,则2=()

A.2+zB.2-iC.1+2/D.1-2/

5.棣莫弗公式(cosx+isinx)"=cos〃x+isin〃x(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗

(1667-1754)发现的，根据梭莫弗公式可知，复数(cos^+isinq)在更平面内所对应的点

位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.欧拉公式/=cos9+isin6把自然对数的底数“、虚数单位i、三角函数联系在一起，充

分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥“，若复数z满足(*+i)-z=i,则|z|=()

A.立B.1C.V2D.2

2

7.欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧

拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——若复数、指数函数与三角函数

联系起来(*=cos6+isin，，自然对数的底数82.71828,虚数单位i).若复数z满足

Z=2e7—]2021,则2的虚部为()

A.(V2-l)iB.V2-1

C.-(V2-l)iD.|-V2

8.“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔(友“"3"〃州)创制的，直到19

世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数•样比较大小.已知复数z,忖=1且

z-(l+i)>0(其中，是虚数单位)，则究数z=()

A.万&iB.V2+x/2i

V2V2.&

Cr.-------1Dn.+1

2222

9.在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元〃次复系

数多项式/。)在复数集中有〃个复数根(重根按重数计)那么/(%)=寸-1在复平面内使

/(%)=。除了1和-;+这两个根外，还有一个复数根为()

A16.R1G.r1>/3.n1后.

22222222

1（）.欧拉是十八世纪伟人的数学家，他巧妙地把自然对数的底数。、虚数单位i、三用函数

8S，和sin®联系在一起,得到公式e2=8se+isine，这个公式被誉为“数学的天桥"，根据

该公式，可得＜）

A.0B.1C.TD.i

11.棣莫弗公式［r（cos6+isin匆”=，'（cos〃6+isin〃。）（i为虚数单位，/•＞（））是由法国数

学家棣莫弗（1667—1754）发现的.根据棣莫弗公式，在复平面内复数「kos'+isin/）］

对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

12.欧拉公式*=cosx+isini（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数

函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有重

要的地位.特别是当*=兀时，*+1=0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上

帝创造的公式根据欧拉公式可知，.争表示的复数在复平面中位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

13.欧拉公式（，=cosO+isin。）被称为“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝

藏尤其是当6=不时，得到y+1=0,将数学中几个重要的数字0,1,i,e,〃联系在一

-V.I

起，美妙的无与伦比.利用欧拉公式化简z=j,则在复平面内，复数Z对应的点位于（）

对

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

14.欧拉公式/=8sx+isinx（其中i为虚数单位，xeR）,是由瑞士著名数学家欧拉创立

的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数

论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项能确的是（）

A.复数/'对应的点位于第三象限B.为纯虚数

c.的共规复数为一正九D.复数$的模长等于;

e22V3+:2

D.复数/(OeR)在复平面内对应的点的轨迹是网

18.欧拉公式*=cosx+isinx(i为虚数单位，xwR)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,

它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数

学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是()

A./+I=OB.卜”|=1

C.cosx=t^D.e⑵在复平面内对应的点位于第二象限

2

19.在复平面内，复数z=a+川伍/eR)对应向量oz(0为坐标原点)，设|OZ|=r,以射

线。工为始边，0Z为终边旋转的角为0,则z=r(cose+isine),法国数学家棣莫弗发现了

棣莫弗定理：=7i(cos^+/sin^),马二弓(cosa+isinq),则

Z[Z2=M[cos(a+a)+isin(a+e2)],由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：

[『(cose+isine)r=/'(cos〃e+isin〃e),已知z=(G+i)4,则151=:若复数/满足

l=O(〃wN')，则称复数。为〃次单位根，若复数”是6次单位根，且。足R,请写出

一个满足条件的/=.

20.任何一个复数z=a+加(其中a、/?eR,i为虚数单位)都可以表示成：z=r(cos6>+isin0

的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

zn=[r(cos^+isin^)J=/'(cos〃0+isin〃，)(/?eN)我们称这个结论为棣莫弗定理.根据

以上信息，若r=l,6=5时，则zM2=________；对于22,

4

0I(2-1)江上.(〃—1)再

>|cos------+sin-------]=

出〃«

参考答案:

1.B

【分析】根据欧拉公式，化简复数得的-1+且"结合复数的几何意义，即可求解.

22

【详解】由题意，可得e3=cos(-----------)+isin(-----------)=-cos—+isin—=—4------1,

333322

所以夏数表示的夏数在熨平面内对应的点为(一摄乎)位于第一象限.

故选:B.

2.C

【分析】化简复数也，利用处数的模长公式可求得结果.

V•V

r、¥«事冗..冗5乃..5%I一百I一、

【详解】c-+c6=cos—+isin—+cos—+isin—=--------+-----

336622

因此，产+斗旧斗(阴=五.

故选:C.

3.B

【分析】根据复数的求模公式得出--2/]=J5-4sin。,结合-IVsin。力即可.

【详解】由题意知KM-2i|=|cose+(sine_2)i|=Jcos2e+(sin6—2)2=j5—4sin£,所以当

sin〃=l时，,"一2，]取得最小值I.

故选：B.

4.C

【分析】根据复数的除法的运算法则进行计算即可.

4+3/_(4+3/)(2+/)_8+4/+6/-3

【详解】由z(2-i)=4+3inz==)+2/

2-i~(2-/)(2+Z)~5"

故选：C

5.C

【解析】由题意(以拈工+曲1]£丫=85.+isin皿，根据复数的几何意义结合cos竺＜0、

\55)555

si吟＜0即可得解.

【详解】由题意(cosX+isinE〕=cos—+zsin—,

I55)55

所以该复数在复平面内所对应的点为卜伊竽仆皿会｝

因为cos£＜0,sin会＜0,

所以该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限.

故选：C.

【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定,

属于基础题.

6.A

【分析】由已知可得力=-1,再把(浮+i)-z=i变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，

结合复数模的计算公式求解.

【详解】解：由=cos0+isin。，=cos^+isin^=-l＞

…但ii(-l-i)II.

则由(*+i).Z=i,得z=F=(T+i)(7_j)=5

等

故选：A.

7.D

【分析】根据欧拉公式求得/i，再根据复数的乘方求得泮21即可得复数Z,再根据共规复

数的定义和复数虚部的定义即可得出答案.

【详解】解：:e浴=cos6+i$in。，,e，=cosX+isin¥=^^+^^i.

4422

又.•.复数z=j2+(j2—l)i,.・.5=>/2-(j2-l)i,

则三的虚部为1-&.

故选：D.

8.C

【分析】根据条件，设Z=4+加，再列式求《力，即可得到复数.

【详解】设z=ai〃i，a2+b2=1>①

(a+/;i)(1+i)=(«-/?)+(«+/?)i>0,得a+0=0,且②，

由①②解得：。=立~，b=-^~,

22

所以z=巫-立i.

22

故选：C

9.B

【分析】利用方程根的意义，把」+正，•代入方程，经化简变形即可得解.

22

【详解】因拳是方程/("=0的根，

,।6*।,1凤2116

(1--t)=1=(1--/)=--------f=-----------1

即22221G22

---4-----1

22

z1场7,1,6、2/1凤1,6

=(-2-丁)=(-2+V0(~2~^~l)=~2

所以一1一且i是方程/(力=0的根.

22

故选：B

1().C

【分析】直接利用新定义，推出结果即可.

【详解】根据该公式，可得e"=cos万十isin乃=一1，

故选：C.

II.A

【分析】根据棣莫弗公式计算后化为代数形式，得对应点的坐标，可得结论.

【详解】由题意「(cos]+isin])]=2l5(cos-^^+/sin=2l5cos-^-+2”sin.i,

对应点坐标为(2”85号£,2%皿3，，

早是第•象限角，正弦，余弦都为正数，即对应点的横坐标和纵坐标均为正，点在第•象

限.

故选：A.

12.B

【分析】由题得e争=-!+在i,即得解.

22

【详解】由题得°争=cos型-isin至=」+3i,

3322

它对应的点为(-今亭，在第二象限.

故选：B

13.D

月.7r..7r

71cos—+isin—

【分析】先利用欧拉公式得Z=J=------3,然后利用的运算性质求解出复数Z,从

-i7t..71

e2cos—+1sin-

e22

而可求出复数z对应的点位于的象限

£cos]+isin]母6.41.>/2

+1

【详解】由题意得z="=T——2=TT=HF，血生，

cosy+isiny-j--I~221

所以复数Z对应的点弓，-乎位于第四象限,

故选：D

14.BCD

【分析】对于A,3=cos2+isin2,根据2e《，幻，即可判断出；对于BCD,根据欧拉

公式/=cosx+isinx逐项计算，然后判断正误即可.

【详解】解：对于A,由于於=cos2+isin2,

2w(；,1),

/.cos2e(-l,0),sin2e(0,1),

表示的复数在复平面中位于第二象限，故A错误;

对于。，^-cos-+/sin--/,可得%'为纯虚数，故“正确;

22e

对于C,^=cos-+/sin-=-!-+^/\.j'的共规复数为,一立3故。正确.

3322,22

一十e"cosA+/sin.r(cosx+isinA)(\/3-1)6cosx+sinx5/3sin.v-cos.v.

对于>k—⑸以6-i)—-4-十-4-

VJcos.t+sin.v>f3sinx-cosx

可得其模的长为

44

3cosj+26sinxcosx+sin,x3sin?x-26sinxcosx+cos,x_

16+16~2故。正确;

故选：BCD.

15.ABD

【分析】根据ei'=cos6+isin6可判断ABD,根据复数的乘法运算可判断C.

【详解】因为eJcosJ+isine

所以c?=cos^+isinX=i,故A正确

22

故选：ABD

16.AC

【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可

判断B选项的正误：计•算出复数之，可判断C选项的正误：计算出z4,可判断D选项的正

误.

【详解】对于A选项，z=r(cos^+/sin^),则22=/(。5；28十/飞皿2，)，可得

|z2|=|r2(cos2^+isin2。)|=r2,|z|2=|r(cos+1sin^)|2=r2,A选项正确;

对于B选项，当r=l,时，z，=(cose+isin。)'=cos3^4-/sin3^=cos^+/sin^=-l,

B选项错误:

对于C选项，当/,=],e=g时，z=cosX+/'sinX=，+立■/',则z='-3,C选项正确:

3332222

对于D选项,z"=(cos〃+isin0)”=cosnO+isinnO=cos—+/sin—

44

取〃=4,则〃为偶数，则z4=cos;r+isin乃=-1不是纯虚数，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了更数的模长、共扼复数的运算，考查计算能力,

属于中等题.

17.ABD

【分析】根据纯虚数、共飘复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.

7t..71

【详解】解：对A：因为复数。=cos—+isin—=i为纯虚数,故选项A正确:

99

对B：复数十=cos2+isin2,因为cos2<0,sin2>0,所以复数/对应的点为(cos2,sin2)位

于第二象限，B正确；

对C复数:？=85巳+1311工=1+31的共扼复数为！-且「故选项C错误：

332222

对D：复数c'"-cos，+isin0(0已R)在红平面内对应的点为(cos〃,sin〃)，

因为c/e+sin*=1,所以复数/(OeR)在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.

故选：ABD.

18.AB

【解析】根据欧拉公式的定义，代入工=江，判断选项A,根据模的计算公式判断B,令x=-x,

两个式子联立解方程组判断C,令x=12,则e⑵表示的复数在复平面内对应的点的坐标为

(cos12,sin12),判断D.

【详解】解析：ex,+1=cos+/sin+1=0»A对；K，=|cosx+isinx|=l,B对：

c°sx=g士二，C错：依题可知才表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cosxsinx),

2

故e⑵表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cosl2,sinl2),显然该点位于第四象限：D

错；

故选：AB.

【点睛】本题考杳新定义和复数的计免和性质，属于基础题型，本题的关键是读懂新定义.

19.16cos^^+/sin^^(Ar=1,2,4,5)

66

【分析】由已知可得\^+i=2(cosf+isinJ),则z=24(cos1”+ish]”)，再由I彳l=|z|求解，由

6633

题意知/6=1,设。=cos6+，sin。，即可取一个符合题意的。，即可得解.

【详解】解：=G+i=2(cos]+isinJ),

66

z=(6+，)"=2’(cos-江+isin—；r),

则|5|=|z|=2+=16.

sin66=0

由题意知6y=i,设切=cos6+isin。，则啰=cos6。+isin6。=1.所以<8s60=1'又涨R'

所以singwO,故可取。=巳，则3=cosC+isin工

333

故答案为:16,(D=cos—+zsin—(答案不唯一).

33

.71

sin—

n

20.

,兀

l-cos—

【分析】利用给定定理直接计算即得产22;令卬=cos生+isin工，求出等比数列｛“定（〃白2）

nn

前〃-1项的和，再利用复数相等求解作答.

【详解】当iY时，"吟+is吟所以

z2022=(cos^+isin^)3G2=cos(504^++isin(504.T+-^)=-i；

V/?GN*,令w=cosX+isin2,则”=(cos2+isin£)”=cos乃+isin;r=-l,

nnnn