【一题三变系列】数学九年级下册重要考点精练（人教版）专题04 反比例函数模型（专项突破）-解析版

专项突破04反比例函数模型

【思维导图】

◎突破一一点一垂线

例.（2020・河北・石家庄外国语学校九年级期中）反比例函数,，=上图象如图所示，下列说法正确的是

x

A.k>0

B.），随x的增大而减小

C.若矩形O48C面积为2,贝北=2

D.若图象上点8的坐标是（-2,1）,则当XV-2时，y的取值范围是yVl

【答案】C

【分析】根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判

断.

【详解】解：4、反比例函数图象分布在第二、四象限，则kV3所以A选项错误；

B、在每一象限，y随x的增人而增人，所以6选项错误；

C、矩形。ABC面积为2,则因=2,而ZVO,所以左=-2,所以C选项正确；

。、若图象上点B的坐标是（-2,1）,则当xV-2时，y的取值范围是OVyVl,所以。选项错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=［图象中任取一点，过这一个点向x

K

轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.也考杳了反比例函数的性质.

专训I.（2021・全国•九年级专题练习）如图，函数y=2（x>0）和y=£（x>0）的图象将第一象限分成

xx

三个区域，点”是②区域内一点，MN_Lx轴于点N,则AMON的面积可能是（）

A.0.5.B.1.C.2.D.3.5.

【答案】C

【分析】分别假设点M在），=2和上，即可得出aMON面积可能的值.

xx

【洋解】解：•・•点M是②区域内一点，且MN_Lx轴于点N,

2

假设点M落在），=士上，

x

根据反比例函数的性质，可得：AMON的面积为1,

假设点M落在了二色上，

x

根据反比例函数的性质，可得：AMON的面积为3,

•••△MON的面积可能是2,

故选C.

【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义.

专训2.（2022・湖南娄底•九年级期末）如图，点4是反比例函数），=七的图象上的一点，过点A作AB_Lx

X

轴，垂足为8.点。为y轴上的一点，连接AC,BC.若△ABC的面积为4,则工的值是（）

A.4B.-4C.8D.-8

【答案】D

【分析】根据反比例函数图象上点的几何意义求解即可.

【详解】解：连接04,如图，

•・•轴,

：.0C//ABf

•c—C-4

,•°OAB~°ABC~七

而$38=那|，

，驷=4，

故选D.

【点睛】本题考查/反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义.

专训3.（2021・全国•九年级专题练习）如图，面积为2后的RtZkOAB的斜边。8在x轴上，NA8O=30。,

反比例函数y=士图象恰好经过点4则%的值为（）

x

A.-273B.26C.&D.-75

【答案】D

【分析】作AO_LO8于。，根据30。角的直角三角形的性质得出04=308,然后通过证得

〉AODsXB0A,求得△40。的面积，然后根据反比例函数的几何意义即可求得女的值.

【详解】解：作AO_LOB于。，

y

•••RtZkOA8中，NA8O=30。，

JOA=^OB,

VZADO=ZOAB=90°t/AOD=/BOA,

/.△AOQS/XBOA,

•s*wY」

'"A\OB）4,

・•・S^AOD=-SABOA=Lx26=立，

442

TS4AoO=；因，

••・IH=G，

•・•反比例函数y=七图象在二、四象限，

x

:・k=・柩,

故选。.

【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得aA。。的面积是是

解答此题的关键.

◎突破二一点两垂线

例.（2021•全国•九年级专题练习）如图，点A是反比例函数y=-A的图象上的一点，过点A作DABCD,

x

使点C在x轴上，点D在y轴上，若CJABCD面积为6,则k的值是（）

C.6D.-6

【答案】C

【分析】作AEJ_BC于E,由四边形ABCD为平行四边形得AD〃x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，

所以平行四边形ABCD的面积;矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义得到矩形ADOE的面枳

=|-k|,则-k|=6,利用反比例函数图象得到-k<0,即k>0,于是有k=6.

【详解】解：作AE_LBC于E,如图，

•・•四边形ABCD为平行四边形，

・・・AD〃x轴，.••四边形ADOE为矩形，

**•,甘行四成形A8C。=Si?形A&W»而然影A〃0£一|一可，

/.|-k|=6,而一k<0,即k>0,/.k=6.

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数J=A（k和）系数k的几何意义：从反比例函数），=幺张翔）图象上任意・点

XX

向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|.

4

专训1.（2021・全国•九年级专题练习）如图，点A是反比例函数），=-一图象上的一个动点，过点A作

X

4B”轴，AC_L），轴，垂足分别为8,C,则矩形A8OC的面积为（）

A.-4B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】根据反比函数的几何意义，可得矩形/W0C的面积等于比例系数的绝对值，即可求解.

【详解】解：丁点A是反比例函数丫=-上图象上的一个动点，过点A作轴，AC_Ly轴，

x

・•・矩形A8OC的面积|-4|=4.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了反比函数的几何意义，熟练掌握本题主要考查了反比例函数丁二与传=0）中A的

-X,

几何意义，即过双曲线上任意•点引力轴、y轴垂线，所得矩形面积等于网是解题的关键.

3

专训2.（2021・全国•九年级专题练习）如图，A,B两点在双曲线），=一上，分别经过A,B两点向轴作

x

垂线段，已知阴影小矩形的面积为1,则空白两小矩形面积的和S/+S2=.

【答案】4

【分析】欲求S1+S2,只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即

可，而矩形面积为双曲线y=±的系数k,由此即可求出S1+S2.

x

3

【详解】解：•・•点A、B是双曲线y=2上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，

x

则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3,

:.S1+S2=3+3-lX2=4.

故答案为4.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度.

专训3.（2021•全国•九年级专题练习）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB_Ly釉于点

B,点C、D在x轴上，且BC〃AD,四边形ABCD的面积为4,则这个反比例函数的解析式为

【答案】y=--.

x

【详解】试题分析•：过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|,由此可得出答案.

解：过A点向x轴作垂线，如图：

根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为4,即|k|二4,

乂1•函数图象在二、四象限，

k=-4,

4

即函数解析式为：y=--.

x

4

故答案为y=-

考点：反比例函数系数k的几何意义.

◎突破三两点一垂线

例.（2021•全国•九年级专题练习）如图，A、B是反比例函数y=—的图象上关于原点O对称的任意两

x

点，过点A作AC_Lx轴于点C,连接BC,则AABC的面积为（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据题意，根据反比例函数的性质，设点A坐标为：再根据坐标系中两点关于原点对

称的性质，得点B坐标；过点7?做BO_LAO交AC延长线于点O,根据直角坐标系的性质，得30的值，

通过计算即可得到答案.

【详解】根据题意，设点A坐标为：且〃>0

2

,:A、B是反比例函数y=—的图象上关于原点O对称的任意两点

x

・••点B坐标为：\-m,---

•・•过点A作AC_Lx轴于点C

・••点C坐标为：（，〃,0）

如图，过点。做&）_LA£＞交AC延长线于点。

根据题意得：BD=m-（-m）=2m

S,4Wr=-ACx=-x—x2/n=2

Be22m

故选:B.

【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点

关干原点对称、反比例函数的性质，从而完成求解.

专训1.（2021・全国•九年级专题练习）如图，直产〃与双曲线,，=与交于点4,B.过点A作，4MLx•轴，

x

垂足为点M,连接8%若SM8M=1,则攵的值是（）

A.1B.m-\C.2D.m

【答案】A

【分析】利用三角形的面积公式和反比例函数的图象性质可知.

【详解】解：由图象上的点4、从M构成的三角形由△4WO和的组成，点力与点3关于原点中心

对称，

:,点、A，8的纵横坐标的绝对值相等，

:.AAMOfllABMO的面积相等，且为g,

:.点A的横纵坐标的乘积绝对值为1,

又因为点A在第一象限内，

所以可知反比例函数的系数攵为1.

故选A.

【点睛】本题利用了反比例函数的图象在一、三象限和S.=J期而确定出火的值.

专训2.（2022•辽宁沈阳•九年级期末）如图,直线1=如与双曲线），="交于点儿艮过点2作2P_Lx

x

轴，垂足为点P,连接若B的坐标为（3,2）,则S朴。=.

【答案】3

【分析】先根据反比例函数和正比例函数的性质求出点A的坐标，从而可得OP的长，再根据三角形的面

积公式即可得.

【详解】解：由题意得：点A与点6关于原点O对称，

伙3,2）,

••.A-3,-2）,OP边上的高为2,

人尸_Lx轴，

:.0P=3,

则SBPO=-x3x2=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质（对称性）是解

题关键.

专训3.（2022•四川遂宁.中考真题）已知一次函数X=a♦1（〃为常数）与x轴交于点A,与反比例函数

乃=2交于仄C两点，4点的横坐标为-2.

X

⑴求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象;

(2)求出点。的坐标，并根据图象写出当乂<为时对应自变量x的取值范围；

(3)若点8与点。关于原点成中心对称，求出△人CO的面积.

【答案】(l)X=x-l,画图象见解析

(2)点C的坐标为(3,2)：当时，入〈一2或0cx<3

(3)S=2

【分析】(1)根据8点的横坐标为-2且在反比例函数)，2=9的图象上，可以求得点8的坐标，然后代入一

X

次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；

(2)将两个函数解析式联立方程组，即可求得点。的坐标，然后再观察图象，即可写出当时对应

自变量工的取值范围；

(3)根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点。的坐标，然后点A、D、C的坐标，即可计算出

△ACQ的面积.

(1)

解：・・・6点的横坐标为-2且在反比例函数的图象上，

x

・60

••>2=-=-3>

二点B的坐标为(-2,-3),

,:点、B(-2,-3)在一次函数)，尸or-1的图象上，

.，•-3=〃x(-2)-1,

解得a=l,

，一次函数的解析式为y=x-1,

V)=x-1,

.*.A=0时，y=-1；x=l时，y=0；

，图象过点(0,-1),(1,0),

函数图象如图所示；

•・••次函数y/=ar-l(a为常数)与反比例函数交于8、。两点，8点的横坐标为-2,

x

，点C的坐标为(3,2),

由图象可得，当#<)堂时对应自变量x的取值范围是工<-2或0<xV3；

(3)

解：・・•点8(-2,-3)与点。关于原点成中心对称，

・•・点。(2,3),

作DE_Lx轴交AC于点E,

将x=2代入y=x-1,得产1,

..(3-l)x(2-l)(3-I)x(3-2)

••C/)=5A/ADE+S^DEC=------------+-------------=2,

22

即AACQ的面积是2.

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答.

◎突破四两点两垂线

例.(2021•全国•九年级专题练习)如图，点A是第一象限内双曲线)，=生(〃?>())上一点，过点A作

x

轴，交双曲线y=2(«<0)于点8,作AC〃y轴，交双曲线,，=巳(〃V0)于点C连接BC.若

xx

9

△48C的面积为则〃?，〃的值不可能是()

5

B.m=—,n=

44

C.m=1,n=-2D.m=4,n=-2

【答案】A

【分析】设A的坐标为（x,分别表示出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式得出

x

（m-n）2=9m,再将各个选项中的值代入比较，据此进行判断即可.

【详解】解：•・•点A是第一象限内双曲线y=%（m>0）上一点，

X

工设A的坐标为（x,—）,

x

•・・AB〃x轴，AC〃y轴，且B、C两点在y=2（n<0）上，

x

的坐标为（丝，-）,C的坐标为（x,-）,

mxx

…nxn

..AB=x------,AC=-------,

mxx

9

VAABC的面积为5，

19

：.-ACxBA=-,

22

,nxmn、八

..x-----------------=9,

m八xx）

（m-n）'=9m，

•••将m和n的值代入，只有选项A中不符合.

故选：A.

【点睛】本题考查了反比例函数图像匕点的特征，三角形形的面积等知识及综合应用知识、解决问题的能

力.

专训1.（2021・全国•九年级专题练习）点A,4分别是双曲线y=5A>0）上的点，4C_L），轴正半轴于点

X

C,3。_1），轴于点。，联结4。，BC,若四边形4cB。是面积为12的平行四边形，则女=.

【答案】6

【分析】首先根据平行四边形的性质得出（%=。艮。。=。力，从而有凉边形机〃=45小”=12,然后根据k

的几何意义求解即可.

【洋解】如图，

•・•点48分别是双曲线y=A（k>0）上的点，AC_Ly轴正半轴于点C,8£）_Ly轴于点£>,

x

ACHBD.

:四边形AC3。是面积为12的平行四边形，

：.AC=BD,

AA,B关于原点对称,

:.OA=OBQC=OD,

一S四边形=4sa八0c=12,

/.k=2x3=6,

故答案为：6.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及k的几何意义，掌握平行四边形的性质以及k的几何意义是

解题的关键.

专训2.（2021・全国•九年级专题练习）如图，直线y=〃比与双曲线），=巴交于点A,B,过点4,B分别作

X

AM_Lx轴，3N_Lx轴，垂足分别为N,连接3”,AN.若S膜形AMBN=1,则上的值是_______.

【答案】y

【分析】先证明四边形4M8N是平行四边形，AM8N的面积实际上就是,.A8W面积的2倍，则5J8M

=；,结合图象可知女=

-2

【详解】解：*：OA=OB,ON=OM,

，四边形AMBN是平行四边形，

•：S­AMBN=1,

设点A的坐标为（x,y）,

：•B的坐标为（-%,-y）,

..-X2vxy=j,

・"=3，

：.k=xy=^.

故答案是：y.

【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，掌握反比例函数的

比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的枳，是解题的关键.

◎突破五两点和原点

4k

例.（2021•全国•九年级专题练习）如图所示，直线y=一；x与双曲线），=上交于A,8两点，点。在x轴

3x

上，连接AC,BC.当AC_L8C,SM8c=15时，上的值为（）

A.-10B.-9C.-6D.-4

【答案】B

【分析】先利用自正比例函数和反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，OA=OB,再根据斜边

445

上的中线性质得到OA=OB=OC,设设85-t),则4(f,-f),利用勾股定理表示出0A=(，

JJJ

515443<-

0C=j，接着利用三角形面枳公式得到;x，x(-/+-r)=15,解出"导到42^/3),进而

3~3332

求出女的值.

4k

【详解】解：•・•直线y=一彳、与双曲线交于A,8两点，

3x

・••点4与点8关于原点对称，。4=。从

VZC1BC,

,N4CB=90。,

：.0A=0B=0C,

44

设B(z,则A(-/,-t)f

•・S48C=15,

*,*7X^X=15,解得

・,"(-1血26)，

把A(-二有，273)代入y=",得2G=-9.

2x2

故选:B.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数图像和反比例函数图像的中心对

称性，是解题的关键，也考查了待定系数法求函数解析式和直角三角形的性质.

专训1.(2021.全国.九年级专题练习)如图，点A(m,1),B(2,n)在双曲线y=Kg翔)，连接

x

OA,OB.若SAABO=8,则k的值是()

A.-12B.-8C.-6D.-4

【答案】C

【分析】过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C,连接0C,设A(k,1),B(2,yk),则

AC=2-k,BC=1-1k,利用5八纥-54®—S畋c=8,可计算出々的值.

【详解】解：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C,连接OC,如下图所示：

•v_q_q—«

••°ABC°ACO力BOC一0，

22222

解得2=±6»

V^<0,

.*./:=-6.

故选C.

【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数图像的性质和坐标与线段之间

转化是解题关键.

2k

专训2.(2022•福建三明•一模)如图，在平面直角坐标系中，四边形/WC力的顶点在双曲线尸一和,，=一

上，对角线AC,4。均过点O,AO〃y轴，若S四边形ABCD=12,则仁

【答案】-4

【分析】通过平行四边形的性质得到AA。。的面积为3,再根据反比例函数系数2的几何意义得到

2.N.

一十---3

22

【详解】解：由双曲线的对称性得。人=0C,OB=OD,

:.四边形ABCD为平行四边形,

AOD~13四边形A8CD-J'

*。〃），轴，

.S_2+同

••-2+y*

•之+阳-?

••一十---3，

22

解得2=-4或&=4(舍),

故答案为：-4.

【点睛】本题考查反比例函数系数攵的几何意义，解题关键是根据题干得到AAO。的面积.

3

专训3.(2021.浙江・温州外国语学校二模)如图，P是反比例函数y=士(x>0)图象上一点，过P分别作工

x

轴、y轴的垂线，垂足分别为点火，点A,且分别交反比例函数y=4(x>0)图象于点C,点。，连结

X

OC,OD,若图中阴影部分的面积为4,则k的值为.

【答案】7

【分析】连接CQ,作CE_Lx轴，垂足为E,设得到。，。，上的坐标，分别表示出△和

△OPC的面积，根据与影=5八"/,-52叱=4,即可得到上值.

【详解】解：连接C。，作CEJLR轴，垂足为E,

设小斓，则小塌,。得嗒，o），

/.5D=—,BE=--m,CE=—,

in3m

.qqF-9k2-f）k+96）1-18

=

.•»用影—>400）~'MPC=------------------：---7=k-3,

666

.,.A-3=4,

AA=7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐

标轴围成的矩形面积就等于因.本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注.

◎突破六两曲•平行

例.（2022•湖南衡阳•八年级期中）如图，过x轴正半轴上的任意一点P,作），轴的平行线，分别与反比例

函数丁=2（x>0）和），=-£（X））的图象交于8、A两点.若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积

xx

为（）

9

B.6C.9D.-

2

【答案】D

【分析】设PQ,0）,由直线AP3与），轴平行，得到A和4的横坐标都为m将代入反比例函数），

=-g和），=3中，分别表示出A和8的纵坐标，进而由AP+8P表示出A&三角形ABC的面积=1x

的横坐标，求出即可.

【详解】解：设0）,。>0,则A和8的横坐标都为m

将工=a代入反比例函数了=一9中得：y=~—»故A（a,--）；

xaa

将工=〃代入反比例函数）=三3中得：y=3-,故8（a,3-）,

xaa

：.AB=AP+BP=-+-=—,

aaa

\1Q9

则SABC=-AB\XP=-x—x。二一，

A22a2

故选D.

【点睛】本题主要考查反比例函数图象2的几何意义，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数&的几何

意义.

4

专训1.（2022•江西南昌•九年级期末）如图，两个反比例函数尸一和尸24在第一象限内的图象分别是。

xx

和