第4课时三角形的中位线与平行四边形的应用课件2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

转化成几何问题就是把这个三角形四等分，如何操作呢？如图，将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求每人分得的形状和大小必须完全相同，该如何分？17.2第4课时

三角形的中位线与平行四边形的应用例1如图，已知□ABCD，延长边AD

至点F，使DF=DA.连结BF，交边DC

于点E.求证：EF=EB.FABCDE思路：通过证△DFE

≌△CBEEF=EBFABCDE证明

∵四边形ABCD是平行四边形，∴DACB∥＝∴∠FDE=∠BCE，∠DFE=∠CBE.又∵DA=DF，∴DF=CB.在△DFE

与△CBE

中，∵∠FDE=∠BCE，DF=CB，∠DFE=∠CBE，∴△DFE

≌△CBE.∴EF=EB.例1如图，已知□ABCD，延长边AD

至点F，使DF=DA.连结BF，交边DC

于点E.求证：EF=EB.FABDE如图，在△ABF

中，D，E

分别是边AF，BF

的中点，连结DE.像DE

这样，连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.符号语言：∵D，E

分别是边AF，BF

的中点，∴DE

为△ABF

的中位线.思考：（1）以△ABF为例，说说一个三角形有几条中位线？一个三角形有三条中位线（2）每条中位线与三角形的边有什么关系？（从位置和数量关系分析）FABCDE数量关系ABCDE位置关系∠B=50°，∠ADE=50°，∠B=∠ADEDE∥BCBC=6cmDE=3cm

猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．例2如图，在△ABC中，点D、E

分别是边AB

和AC

的中点.求证：DE∥BC，DE=BC.

中位线倍长构造全等三角形平行四边形作等长延长线得线段相等、角相等得线段相等、平行F思路：ABCDE证一证：猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．FABCDE证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.在△ADE和△CFE中，∵AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=FE，∴△ADE≌△CFE.∴∠A=∠ECF，AD=CF.∴CF∥AB.∵BD=AD，∴CF=BD.∴四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC（平行四边形的对边平行），DF=BC（平行四边形的对边相等）.∴DE∥BC，DE=BC.

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.几何语言：在△ABC

中，∵点D，E

分别为AB，AC

的中点，∴DE∥BC且DE=BC.

ABCDEABCDEF重要发现：

中位线

DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和

BDEF，四边形

BFED和

CFDE，四边形

ADFE和

DFCE.顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.你现在知道怎样分蛋糕了吧1.如图，在□ABCD

中，M

为边AD

上的一点，AM

＝2DM，

E、F

分别是BM

、CM

的中点．若EF

＝6，则AM

的长

为_____.612488例3证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BF=FC，AE=EC.

求证：AF与DE互相平分.ABCDEF证明：如图，连结DF、EF.∵AD=DB，BF=FC，∴DF∥AC（三角形的中位线平行于第三边）.∴同理可得，EF∥BA.∴四边形ADFE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.∴AF与

DE互相平分.三角形的中线三角形的中位线定义性质联系三角形的中线与三角形的中位线的区别与联系ABCFEDABCFED中线和中位线分割的图形的面积和周长特点

C△ABD

－

C△ACD=AB－AC，

C△CBF

－

C△CAF

=CB－CA，C△BAE－C△BCE=BA－BC.中线

中位线连接三角形顶点与其对边中点的线段连接三角形两边中点的线段把三角形分成面积相等的两部分；三条中线交于一点(重心)平行于第三边，且长度是第三边的一半均与“中点”有关，都是三角形中的重要线段，在三角形的周长、面积、全等证明等问题中都有应用.2.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，CD的中点.(1)线段DE是△ACD的________线，也是△ABC的________线；(2)线段EF是________的中位线，△ABC的中线是线段________．中中位△ACDCD3.如图，▱ABCD

的周长为

36，对角线

AC，BD

相交于点

O，点

E

是

CD

的中点，BD

=

12，求△DOE

的周长.解：∵

▱ABCD

的周长为36，∴

BC

+

CD

=

18．∵

点

E

是

CD

的中点，∴

OE

是△BCD

的中位线，DE

=

CD.∴

OE

=BC.∴△DOE

的周长为

OD+OE+DE

=(BD+BC+CD)=

15，

即△DOE

的周长为15．三角形的中位线三角形的中位线定理三角形的中位线定理的应用说说本节课你学到了三角形中位线的哪些知识？定义1.如图，在△ABC

中，点

E、F

分别为

AB、AC

的中点．若

EF

的长为

2，则

BC

的长为（）A.1

B.2

C.4D.82.如图，在

▱ABCD

中，AD

=

8，点

E，F

分别是

BD，CD

的中点，则

EF

等于（）

A.2B.3C.4D.5CC3.如图，在△ABC

中，AB

=

6，AC

=

10，点

D，E，F分别是

AB，BC，AC

的中点，则四边形

ADEF

的周长为（）A.8

B.10

C.12D.16D4.如图，点D、E、F分别是△ABC的三边

AB、BC、AC的中点.(1)若∠ADF=

50°，则∠B=

°；(2)已知三边

AB、BC、AC分别为12、10、8，则△DEF的周长为

.5015ABCDFE5.如图，在△ABC

中，AB

=

6

cm，AC

=

10

cm，AD

平分∠BAC，BD⊥AD

于点

D，BD

的延长线交

AC

于点

F，E

为

BC

的中点，求

DE

的长．解：∵

AD

平分∠BAC，BD⊥AD，∴

AB

=

AF

=

6cm，BD

=

DF，∴

CF

=

AC

-

AF

=

4cm.∵

BD

=

DF，E

为

BC

的中点，∴

DE

=

CF

=

2cm．6.如图，E为▱ABCD中

DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接

AE，分别交

BC、BD于点

F、G，连接

AC交

BD于

O，连接

OF，判断

AB与

OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．解：AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠