浙教版九年级数学下册《第一章解直角三角形》单元测试卷（带答案）

第页精品试卷·第2页（共2页）浙教版九年级数学下册《第一章解直角三角形》单元测试卷（带答案）（时间：100分钟满分：120分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则tanB等于（）A．512 B．125 C．5132．计算2cos30°的值为（）A．1 B．3 C．2 D．13．如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行15km到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东45°的方向，则观测站O距港口A的距离为（）A．1522km B．152km C．1524．正六边形的边长为2a，则它的面积为（）A．3a2 B．323a25．如图所示，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知大桥主架顶端离水面的高CD＝a，则此时测量点与大桥主架的水平距离AB为（）A．asinα+asinβ B．atanα+atanβC．atanα+tan6．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米 B．2003米C．2203米 D．100（3+1）米7．3tan30°的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．28．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（）A．22π B．23π C．32π9．一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长120，测得圆周角∠ACB=60°，则这个人工湖的直径AD为（）A．403 B．603 C．80310．如图，将两张全等的直角三角形纸片△ABH与△CDF和一张矩形纸片EFGH按照如图所示的方式拼成一个平行四边形ABCD（其中B、E、H三点共线，D、G、F三点共线），且∠BAH=∠DCF=90°,AHAB=EFA．△ADH B．△BEF C．△ABH D．矩形EFGH二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．互余的两个锐角三角函数之间的关系：sin（90°﹣A）=，cos（90°﹣A）=，tan（90°﹣A）=，cot（90°﹣A）=．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则sinA的值为．13．已知在Rt△ABC中∠C=90∘，sin⁡A=14．在Rt△ABC中∠C=90°abc分别是∠A∠B∠C对边如果2b=3a则tanA=．15．如图在▱ABCD中AB=13AD=20∠ABC为锐角且sin∠ABC=1213点E是AD边上的动点连接BE作∠BEF=∠ABCEF与BC边交于点F则△BEF16．如图把正方形ABCD的边DA绕点D逆时针旋转30°得到线段DF连接BF并延长交DA于点E连接CE若AB=2则CE三解答题（171819题每题6分2021题每题8分2223每题9分2425每题10分共计72分要求写出文字说明证明过程或演算步骤)17．如图所示一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行．在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上．40min后渔船行驶到B处此时小岛C在船北偏东30°的方向上．已知以小岛C为中心10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区如果这艘渔船继续向东航行18．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE=50.2°台阶AB长26米台阶坡面AB的坡度i=5:12然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF=63.4°则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20tan63.4°≈2.00sin50.2°≈0.7719．如图从热气球C处测得地面AB两点的俯角分别为30°45°如果此时热气球C处的高度CD为100米点ADB在同一直线上求AB两点的距离．20．居家学习期间小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45∘底部的俯角为38∘：又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6m.求该大楼的高度（结果精确到0.21．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图无人飞机从A处平行飞行至B处需10秒在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°B处的仰角为30°已知无人飞机的飞行速度为5米/秒求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）.22．如图测得两幢楼之间的距离为25.4m从楼顶A观测点D的俯视角为35°点C的俯视角为45°．求这两幢楼的高度（精确到（参考数据：sin35°≈023．如图某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°向前走了20米到达D点在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°求旗杆AB的高度．（结果保留根号）24．如图在菱形ABCD和菱形BEFG中P是线段DF的中点连接PGPC若∠ABC=∠BEF=60°证明：PG⊥PC且PG=325．小宇想测量位于池塘两端的AB两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走当行走到点C处测得∠ACF=45°再向前行走100米到点D处测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米求AB两点的距离．参考答案一选择题(本大题有10个小题每小题3分共30分.在每小题给出的4个选项中只有一项是符合题目要求的)1．如图在△ABC中∠C=90°BC=5AC=12则tanB等于（）A．512 B．125 C．513【答案】B【解析】【解答】解：在Rt△ABC中∠C＝90°BC＝5AC＝12所以tanB＝ACBC＝故答案为：B.【分析】利用锐角三角函数的定义一个锐角的正切函数值等于其对边比邻边可得到tanB的值.2．计算2cos30°的值为（）A．1 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【解答】解：2cos30°=2×32=3故答案为：B.【分析】由特殊角的三角函数值可得cos30°=323．如图港口A在观测站O的正东方向某船从港口A出发沿北偏东15°方向航行15km到达B处此时从观测站O处测得该船位于北偏东45°的方向则观测站O距港口A的距离为（）A．1522km B．152km C．152【答案】A【解析】【解答】过点A作AM⊥OB于M在Rt△ABD中∠AMO=90°∠MOA=45°∴∠MAO=45°=∠MOA∴MA=MA∵∠MAO=45°∴∠MAB=45°+15°=60°∵∠MAB=90°∴∠B=90°-∠MAB=30°∴AM=12AB=15∴AO=MO2+M故答案为：A.【分析】由题意将OA放在直角三角形中即可求解所以可作辅助线过点A作AM⊥OB于M然后解直角三角形AMO即可求解。4．正六边形的边长为2a则它的面积为（）A．3a2 B．323a2【答案】D【解析】【解答】解：设O是正六边形的中心AB是正六边形的一边OC是边心距∵∠AOB=∴△OAB是正三角形.∴AO=AB=2a，∠OAB=60°∵OC＝OA•sin∠OAB＝2a·3∴S△OAB＝12AB•OC＝1∴正六边形的面积为6×3故答案为：D.【分析】由题意画出图形设O是正六边形的中心AB是正六边形的一边OC是边心距由正多边形的性质可得△OAB是正三角形解直角三角形OAC可求得OC的长然后根据S正六边形=6×S△AOB可求解.5．如图所示在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α大桥主架的顶端D的仰角为β已知大桥主架顶端离水面的高CD＝a则此时测量点与大桥主架的水平距离AB为（）A．asinα+asinβ B．atanα+atanβC．atanα+tan【答案】C【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中tanα=BCAB∴BC＝AB•tanα在Rt△ABD中tanβ＝BDAB∴BD＝AB•tanβ∴CD＝a＝BC+BD＝AB•tanα+AB•tanβ．∴AB＝atan故答案为：C．【分析】根据锐角三角函数即可求解．6．如图从热气球C处测得地面AB两点的俯角分别是30°45°如果此时热气球C处的高度CD为100米点ADB在同一直线上则AB两点的距离是（）A．200米 B．2003米C．2203米 D．100（3+1）米【答案】D【解析】【解答】解：由已知得∠A=30°∠B=45°CD=100∵CD⊥AB于点D．∴在Rt△ACD中∠CDA=90°tanA=CDAD∴AD=CDtanA=100在Rt△BCD中∠CDB=90°∠B=45°∴DB=CD=100米∴AB=AD+DB=1003+100=100（3+1）米．故选D．【分析】图中两个直角三角形中都是知道已知角和对边根据正切函数求出邻边后相加求和即可．7．3tan30°的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【解析】【解答】解：3tan30°=3×33=3故选：C．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．8．如图为安全起见萌萌拟加长滑梯将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m点DBC在同一水平地面上那么加长后的滑梯AD的长是（）A．22π B．23π C．32π【答案】C【解析】【解答】解：假设AC=x∴BC=x∵滑梯AB的长为3m∴2x2=9解得：x=3∵∠D=30°∴2AC=AD∴AD=32．故选C．【分析】根据∠ABC=∠BAC=45°AB=3求出AC的长再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可．9．一个圆形人工湖如图所示弦AB是湖上的一座桥已知桥AB长120测得圆周角∠ACB=60°则这个人工湖的直径AD为（）A．403 B．603 C．803【答案】C【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E连接OB如图∵∠ACB=60°∠AOB=2∠ACB=120°∵OA=OB∴∠OAE=1∵OE⊥ABAB=120∴AE=1在RtΔAOE中OA=AE∴AD=2OA=2×403故答案为：C.【分析】过点O作OE⊥AB于点E连接OB由圆周角定理可得∠AOB=120°由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠OAE的度数根据含30°直角三角形的边之间的关系求出AE根据三角函数的概念可得OA进而求得AD.10．如图将两张全等的直角三角形纸片△ABH与△CDF和一张矩形纸片EFGH按照如图所示的方式拼成一个平行四边形ABCD（其中BEH三点共线DGF三点共线）且∠BAH=∠DCF=90°,AHAB=EFEH=3A．△ADH B．△BEF C．△ABH D．矩形EFGH【答案】C【解析】【解答】如图连接FHBD交于点O连接AO

由∠BAH=∠DCF=90°,AHAB=EFEH=3知ABH=30EHF=60故AHF=90故HF||AB

ABCD为平行四边形AB||CD得∠ABD=∠CDO而∠ABH=∠CDF得∠OBH=∠ODF

又BH=DF∠BOH=∠FOD

△BOH≌△DOF得OB=OD即O为BD的中点

S△ABO=12S△ABD=14SABCD

而AB||HF

故S△ABH=S二填空题(本大题有6个小题每小题3分共18分)11．互余的两个锐角三角函数之间的关系：sin（90°﹣A）=cos（90°﹣A）=tan（90°﹣A）=cot（90°﹣A）=．【答案】sin（90°﹣A）=cosAcos（90°﹣A）=sinAtan（90°﹣A）=cotAcot（90°﹣A）=tanA．【解析】【解答】解：根据互为余角的锐角三角函数关系式知sin（90°﹣A）=cosA|cos（90°﹣A）=sinA|tan（90°﹣A）=cotA|cot（90°﹣A）=tanA．【分析】根据锐角三角函数的概念可以证明：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值一个角的正切值等于它的余角的余切值．12．在Rt△ABC中∠C=90°AC=6BC=8则sinA的值为．【答案】4【解析】【解答】解：∵∠C=90°AC=6BC=8∴AB=AC∴sinA=BCAB=810=4故答案为：45【分析】先利用勾股定理计算出AB的长然后根据正弦的定义即可求解．13．已知在Rt△ABC中∠C=90∘，sin⁡A=【答案】5【解析】【解答】解：由题意得∵∠C=90°sin∴设BC=12x则AB=13xAC=∴故答案为：5【分析】先根据题意画出直角三角形进而根据正弦函数得到BCAB=1213设BC=12x则AB=13x14．在Rt△ABC中∠C=90°abc分别是∠A∠B∠C对边如果2b=3a则tanA=．【答案】2【解析】【解答】解：∵∠C=90°abc分别是∠A∠B∠C对边∴tanA=ab∵2b=3a∴ab=2∴tanA=23故答案为：23【分析】根据锐角三角函数的定义可得tanA=ab15．如图在▱ABCD中AB=13AD=20∠ABC为锐角且sin∠ABC=1213点E是AD边上的动点连接BE作∠BEF=∠ABCEF与BC边交于点F则△BEF【答案】26【解析】【解答】解：如图作△BEF的外接圆⊙O连接OB,OE,OF作OG⊥BC,EH⊥BC,AM⊥BC垂足分别为点G,H,M∴∠BOF=2∠BEF∵OB=OF∴∠FOG=∵∠BEF=∠ABC∴∠FOG=∠ABC∵∠AMB=∠FGO=90°∴△AMB∽△FGO∴∵sin∠ABC=1213∴AM=12∵▱ABCDAE⊥BC,EH⊥BC∴AM=EH=12在Rt△ABM中A∴BM=设⊙O的半径为r则OF=OE=r∴∴OG=∵OG+OE≥EH∴∴r≥∴△BEF外接圆半径的最小值为263故答案为：263【分析】作△BEF的外接圆⊙O连接OB,OE,OFOG⊥BC,EH⊥BC,AM⊥BC垂足分别为点G,H,M由圆周角定理“同圆或等圆中圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”可得∠BOF=2∠BEF结合已知根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证△AMB∽△FGO由相似三角形的对应边的比相等可得比例式OGBM=OFAB根据锐角三角函数sin∠ABC=AMAB求出AM的值在Rt△ABM中用勾股定理求得BM的值设⊙O的半径为r则16．如图把正方形ABCD的边DA绕点D逆时针旋转30°得到线段DF连接BF并延长交DA于点E连接CE若AB=2则CE【答案】20−8【解析】【解答】解：连接AFCF过F作.FH⟂AD于H如图：∵边DA绕点D逆时针旋转30∴AD=DF,∠ADF=3∵四边形ABCD是正方形.AB=2,∴AB=AD=DF=2,∴HF=12∴AH=AD−DH=2−∵∠FDC=90∘∴△CDF是等边三角形∴DF=CF,∠DCF=60∘,

∴△ADF≌△BCF(SAS)∴AF=BF∴∠FAB=∠FBA∴90°-∠FAB=90°-∠FBA即∠FAE=∠FEA∴AF=EF∴BF=EF∵∠BAE=90°=∠FHE∴HF∥AB∴EH=AH=2−∴DE=DH−EH=∴CE2故答案为：20−8【分析】连接AFCF过F作FH⟂AD于H求出HF=12DF=1,DH=3HF=3,可得AH=AD−DH=2−3,再证△ADF≌△BCF(SAS),知AF=BF,从而可证BF=EF三解答题（171819题每题6分2021题每题8分2223每题9分2425每题10分共计72分要求写出文字说明证明过程或演算步骤)17．如图所示一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行．在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上．40min后渔船行驶到B处此时小岛C在船北偏东30°的方向上．已知以小岛C为中心10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区如果这艘渔船继续向东航行【答案】这艘渔船继续向东航行没有进入危险区域的可能18．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE=50.2°台阶AB长26米台阶坡面AB的坡度i=5:12然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF=63.4°则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20tan63.4°≈2.00sin50.2°≈0.77【答案】解：如图延长EF交AG于点H则EH⊥AG

过点B作BP⊥AG于点P则四边形BFHP为矩形

∴FB=HPFH=BP．

由i=5:12可设BP=5x则AP=12x

由BP2+AP2=AB2可得5x2+12x2=262

解得x=2或x=−2（舍去）

∴BP=FH=10AP=24

设EF=a米BF=b米

在Rt△BEF中tan∠EBF=EFBF

即tan63.4°=ab≈2则a=2b①【解析】【分析】延长EF交AG于点H过点B作BP⊥AG于点P易证四边形BFHP为矩形利用矩形的性质可证得FB=HPFH=BP利用坡比的定义设BP=5x利用勾股定理求出x的值可得到BPAP的长设EF=a米BF=b米再利用解直角三角形求出a与b的数量关系同时可得到关于b的方程解方程求出ab的值可得到a的值.19．如图从热气球C处测得地面AB两点的俯角分别为30°45°如果此时热气球C处的高度CD为100米点ADB在同一直线上求AB两点的距离．【答案】解：∵从热气球C处测得地面AB两点的俯角分别为30°45°∴∠BCD=90°﹣45°=45°∠ACD=90°﹣30°=60°∵CD⊥ABCD=100米∴△BCD是等腰直角三角形∴BD=CD=100米在Rt△ACD中∵CD=100米∠ACD=60°∴AD=CD•tan60°=100×3=1003（米）∴AB=AD+BD=1003+100=100（3+1）米．答：AB两点的距离是100（3+1）米．【解析】【分析】先根据从热气球C处测得地面AB两点的俯角分别为30°45°可求出∠BCD与∠ACD的度数再由直角三角形的性质求出AD与BD的长根据AB=AD+BD即可得出结论．20．居家学习期间小睛同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度如图她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45∘底部的俯角为38∘：又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6m.求该大楼的高度（结果精确到0.【答案】解：作AH⊥CD于H如图：则四边形ABDH是矩形∴HD＝AB＝31.6m在Rt△ADH中∠HAD＝38°tan∠HAD＝HD∴AH＝HDtan∠HAD在Rt△ACH中∠CAH＝45°∴CH＝AH＝40.51m∴CD＝CH＋HD＝40.51＋31.6≈72.1（m）答：该大楼的高度约为72.1m.【解析】【分析】作AH⊥CD于H易证四边形ABDH是矩形利用矩形的性质可求出HD的长在Rt△ADH中利用解直角三角形求出AH的长在Rt△ACH中利用等腰直角三角形的性质可求出CH的长然后根据CD=CH+HD代入计算求出CD的长.21．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图无人飞机从A处平行飞行至B处需10秒在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°B处的仰角为30°已知无人飞机的飞行速度为5米/秒求这架无人飞机的飞行高度（结果保留根号）.【答案】解：如图作AD⊥BCBH⊥水平线由题意得：∠ACH=75°∠BCH=30°AB∥CM∴∠ABC=30°∠ACB=45°∵AB=50m∴AD=CD=ABsin30°=25mBD=AB•cos30°=∴BC=CD+BD=（253则BH=BC•sin30°=253这架无人机的飞行高度253【解析】【分析】如图作AD⊥BCBH⊥水平线根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长由CD+BD求出BC的长即可求出BH的长.22．如图测得两幢楼之间的距离为25.4m从楼顶A观测点D的俯视角为35°点C的俯视角为45°．求这两幢楼的高度（精确到（参考数据：sin35°≈0【答案】解：过点D作DF⊥AB于F点在Rt△ABC中∠ACB=∠CAE=45°∴AB=BC×tan∠ACB=25.4×tan45°=25.4(m)．在Rt△ADF中∠ADF=∠DAE=35°DF=BC=25.4(m)∴AF=DF×tan∠ADF=25.4×tan35°≈25.4×0.70=17.78(m)．∴CD=AB−AF=25.4−17.78=7.62≈7.6(m)．【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于F点根据题意构造直角三角形本题涉及两个直角三角形应利用三角函数进行计算进而可求出答案．23．如图某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°向前走了20米到达D点在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°求旗杆AB的高度．（结果保留根号）【答案】解：∵∠C=30°∠ADB=60°∴∠DAC=30°∴AD=