2025-2026学年黑龙江省绥化市北林区第八中学九年级下册第一次月考数学试题 含答案

/黑龙江省绥化市北林区第八中学2025-2026学年九年级下学期第一次月考数学试卷一、单选题1．实数的相反数的倒数是（

）A． B．2025 C．-2025 D．2．如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．3．某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（

）

A．4个 B．6个 C．7个 D．8个4．要使式子有意义，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且5．下列运算中，正确的是（

）A． B． C． D．6．已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（）A． B． C． D．7．体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）分数4344454647484950人数121■■3430A．中位数，众数 B．中位数，方差 C．平均数，方差 D．平均数，众数8．为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（

）A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h9．如图，与位似，位似中心为O．与的面积之比为，若，则的长度为（

）A．6 B．12 C．18 D．2010．下列命题正确的是（

）A．三点确定一个圆B．的算术平方根是C．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形11．如图，在正方形中，，点E为上一点，连接交于点F，延长交的延长线于点G，若，则的长为（

）A． B． C． D．212．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③方程的两个根为，；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．人的头发直径约为米，将数据用科学记数法可表示为______．14．因式分解：______．15．如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则________．16．如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为______米．（结果取整数，参考数据：．）17．化简=_____________________．18．如图，的半径为3，作正六边形，点B，点F在上，若图中阴影部分扇形恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为________．19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为_______．20．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且．点为线段上的一个动点，则的最小值为_______．21．如图，已知，点在射线上，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，若，的长为_______．22．如图，在矩形纸片中，，，E是的中点，F是边上的一个动点（点F不与点A，D重合）．将沿所在直线翻折，点A的对应点为，连接，．当是等腰三角形时，的长为_______．三、解答题23．如图，四边形中，为对角线．

（1）尺规作图：作的垂直平分线分别交于点E、F、G．连接（不写作法和结论，保留作图痕迹）；（2）求证：四边形是菱形（请补全下面的证明过程）．24．人工智能的应用非常广泛，比如自然语言处理、语音和图象识别、搜索排名、专家系统等．为了解学生对人工智能应用的知晓程度，某校随机抽查部分中学生，进行知识测试，得分用x表示，数据分组为A：，B：，C：，D：，E：，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图，请根据图表信息回答问题：（1）随机抽查的学生共有______人；扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为______．并补全测试成绩频数分布直方图．（2）该校约有7000名学生，请估算等级为C的学生约有多少人？（3）在本次调查中，等级为E的学生中，仅有一名男生和三名女生的测试成绩为满分，若从中随机抽取两人进行活动交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．25．吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，“妮妮”是代表雪上运动的吉祥物．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个a元，售价每个16元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个b元，售价每个18元．（1）该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求a，b的值．（2）该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件m个，求有几种购买方案．（3）在（2）的条件下，在获得最大利润的同时，超市决定将售出的钥匙扣挂件每个捐出2元给当地福利院，用捐款后的利润全部再次同时购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件．请直接写出再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案．26．如图，为的切线，A为切点，过点A作的垂线，垂足为C，交于点B，延长与交于点D，连接交于点E．（1）求证：为的切线；（2）求证：；（3）若，求的值．27．【基础巩固】（1）如图①，在中，D，E，F分别为，，上的点，，，交于点M，求证：．【尝试应用】（2）如图②，在（1）的条件下，连接，．若，，，求的值；【拓展提高】（3）如图③，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点M，交于点F．若，平分，，求的长．28．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点E在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在第一象限内，过点E作轴，交BC于点F，作轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长；（3）点M在直线上，点N在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点M的坐标．

参考答案1．【答案】B【分析】本题考查了求一个数的相反数以及倒数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，以及乘积为1的两个数互为倒数，进行作答即可．【详解】解：的相反数是，∴的倒数是2025，故选B2．【答案】B【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，轴对称图形的识别等知识点，熟练掌握中心对称图形的概念和轴对称图形的概念是解题的关键：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心，中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形，常见的中心对称图形有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等；如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等；常见的既是中心对称图形又是轴对称图形的有：矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等．根据中心对称图形的概念与轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；故选．3．【答案】B【分析】本题主要考查三视力，在俯视图中标出相应正方体的个数可得答案．【详解】解：如图所示：

或

，故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）．故选B．4．【答案】D【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是掌握：分式有意义，则分母不为；二次根式的被开方数是非负数．据此列式解答即可．【详解】解：要使式子有意义，则：且，解得：且．故选D．5．【答案】C【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法法则逐项分析判断即可．【详解】解：A、，原计算错误，故选项不符合题意；B、，原计算错误，故选项不符合题意；C、，计算正确，故选项符合题意；D、，原计算错误，故选项不符合题意；故选．6．【答案】A【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，．先把通分后化为，根据根与系数的关系得代入进行计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，，，故选A．7．【答案】A【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】解：这组数据中成绩为46、47的人数和为，则这组数据中出现次数最多的数50，即众数50，第25、26个数据都是50，则中位数为50，故选．8．【答案】C【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解题的关键；设原来的平均速度是，则现在的平均速度为，根据时间少用90min列出分式方程并求解即可．【详解】解：设原来的平均速度是，则现在的平均速度为，由题意得：解得：，经检验是原方程的解，且符合题意，即原来的平均速度是，故选C．9．【答案】B【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：与位似，∴，，∴，∴，∵与的面积之比为，，，，，故选B．10．【答案】D【分析】本题考查了命题，根据确定圆的条件、算术平方根的定义、内心的性质及矩形的判定逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，该选项命题错误，不合题意；、的算术平方根是，该选项命题错误，不合题意；、三角形的内心到三角形三条边的距离相等，该选项命题错误，不合题意；、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，该选项命题正确，符合题意；故选．11．【答案】A【分析】本题考查的是正方形的性质、勾股定理、相似三角形判定与性质，先求出，进而求出，证明即可求出结论．正确记忆相关知识点是解题关键．【详解】解：四边形是正方形，，，，在中，，，解得：（舍去负值），，，在中，，，，，，，，，故选A．12．【答案】A【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：由抛物线的开口可知：，由抛物线与y轴的交点可知：，由抛物线的对称轴可知：，∴，∴，故①错误；∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，则另一个交点，∴时，，∴，故②错误；∵抛物线与x轴交于点和，∴的两根为6和，∴，，则，，∴方程转化为整理得，∴解得，，故③错误；∵，∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，∵，即到对称轴的距离小于到对称轴的距离，∴，故④正确．综上，正确的有④．故选A．13．【答案】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：用科学记数法表示为14．【答案】【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：.15．【答案】/74度【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，三角形的内角和定理，平行线的性质．先根据三角形的内角和定理求出，根据折叠的性质得，再根据得，然后根据平角的定义得，据此可得的度数．【详解】解：∵在中，，，，由折叠的性质得：，∵，，，，．16．【答案】102【分析】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程求解．在中，由求得，在中，由求得，代入求解即可．【详解】解：由题意可知，在中，，，，，在中，，，，，，，.17．【答案】/【分析】本题考查分式的乘法运算和零指数幂公式，运用相关运算法则运算即可．【详解】解：原式18．【答案】【分析】本题考查了正多边形和圆及圆锥的计算的知识，首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．【详解】解：∵正六边形的外角和为∴每一个外角的度数为∴正六边形的每个内角为设这个圆锥底面圆的半径是，根据题意得，解得：∴这个圆锥高19．【答案】/【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质、与三角形中线有关的面积的计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键．连接，作轴于，由等腰直角三角形的性质得出，由反比例函数的几何意义得出，证明，得出，求出，再由三角形中线的性质即可得出答案．【详解】解：如图，连接，作轴于，∵为等腰直角三角形，，∴点为的中点，∴，∵点、是反比例函数上的点，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴.20．【答案】【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质，合理做出辅助线是解本题的关键．过点作于点M，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可．【详解】解：过点作于点M，在菱形中，，，，∴为等边三角形，，∵在中，，，当、、三点共线时，取得最小值，，，，在中，，则的最小值为．21．【答案】【分析】本题考查了图形的变化规律探究，解直角三角形，找到变换规律是解题的关键．先求出，，的值，找出规律，即可求解．【详解】解：，，，，，，，，，，，，，，，∴，，，.22．【答案】或2或【分析】分三种情况：当，连接，勾股定理求得的长，可判断，，三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当，证明是正方形，于是得到结论；当时，连接，，证明点，，三点共线，再用勾股定理可得答案．【详解】解：①当时，连接，如图：点是的中点，，，四边形是矩形，，，，，将沿所在直线翻折，得到，，，，点，，三点共线，，，设，则，，在中，，，解得：，；②当时，如图：，点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，点是的中点，是的垂直平分线，，将沿所在直线翻折，得到，，，四边形是正方形，；③当时，连接，，如图：点是的中点，，，四边形是矩形，，，，将沿所在直线翻折，得到，，，，点，，三点共线，，，设，则，，在中，，在中，，，即，解得：，；综上所述，的长为或2或.23．【答案】（1）见详解（2）见详解【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；（2）先证明，得出，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形为菱形．【详解】（1）解：如图，为求作的的垂直平分线；

（2）证明：∵为的垂直平分线，∴，，∵，∴，，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为菱形．24．【答案】（1）300，，见详解（2）1750人（3）见详解，恰好抽到一名男生和一名女生的概率为【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的相关信息，求扇形的圆心角度数，中位数的定义，用列表法或树状图求概率等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）用等级人数除以其圆心角占周角的比例即可得出总人数，用乘以等级人数所占比例即可；（2）用总人数乘以样本中等级人数所占比例即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．点评【详解】（1）解：随机抽查的学生共有（人），C组学生人数：（人），测试成绩分布直方图：扇形统计图中“E”组所对应的圆心角度数为.（2）解：（人），答：估计等级为C的学生约有1750人；（3）解：根据题意，列表如下：女女女男女女，女女，女男，女女女，女女，女男，女女女，女男，女男女，男女，男女，男男，女从表格中可以看出，共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的有6种结果，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．答：恰好抽到一名男生和一名女生的概率是．25．【答案】（1）a的值是10，b的值是14（2）有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个（3）再次购进两种钥匙扣挂件最少的方案是购买“滨滨”造型钥匙扣挂件4个，购买“妮妮”造型钥匙扣挂件20个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案；（3）利用总利润每个的销售数量购进数量，可求出各方案可获得的总利润，设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，利用进货总价进货单价进货数量，求出最大利润，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出各x，y的值，再取的最小值，即可得出结论．【详解】（1）解：根据题意得：，解得：．答：a的值为10，b的值为14；（2）解：根据题意得：，解得：，∴可以取58，59，60，，41，40，∴有3种购买方案．方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个；（3）解：购买方案1可获得的总利润为（元；购买方案2可获得的总利润为（元；购买方案3可获得的总利润为（元；设再次购进“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，“妮妮”造型钥匙扣挂件y个，∴当获得的总利润为320元时，，，又，y均为正整数，或或或，此时的最小值为．再次购进两种钥匙扣挂件最小的方案为：购进“滨滨”造型钥匙扣挂件4个，“妮妮”造型钥匙扣挂件20个．26．【答案】（1）见详解（2）见详解（3）【分析】（1）连接，可推出，是的垂直平分线，从而，进而推出，从而，进一步得出是的切线；（2）可证明，进而推出；（3）可推出，，从而，，，进而推出，，，从而，设，则..，，根据列出方程，求得的值，进一步得出结果．【详解】（1）证明：如图，连接，为的切线，，，，，是的垂直平分线，，，，，，，是的切线；（2）证明：由（1）得，，，，，，，；（3）解：如图，连接，由（1）知：，，，，，，，是的直径，，，由（2）知：，，，，，，，，，，设，则，，由（2）得：，，，（舍去），，．27．【答案】（1）见