数学北京市西城区2026年高三年级统一测试试卷(西城高三一模)(4.7-4.10)

数学答案及评分参考2026.4一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)(1)C二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)注：(14)题第一空3分，第二空2分；(15)题全部选对得5分，有一个选对且无错选得3分，其他得0分.三、解答题(共6小题，共85分)(16)(本小题13分)结合0<C<π,得又因为A+B+C=π,………………11分由),得所以当时，f(4)取得最大值3√3.………………13分(17)(本小题14分)解：(I)因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,ABc平面ABCD,所以AB⊥平面PAC.又因为PAc平面PAC,(Ⅱ)选择条件②:所以△APD为直角三角形，且PA⊥AD.又因为AB⊥PA,AB∩AD=A,AB,ADc如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),C(0,√3,0),P(0,0,1),D(-1,√3,0),设平面AEC的法向量为m=(x,y,z),设平面PAE的法向量为n=(x₁,y₁,z),y₁=1,则y₁=1,则x₁=√3.于是.………………12分所以平面PAE与平面AEC夹角的余弦值为………………14分选择条件③:在△ABC中，由AB⊥AC,AB=1,BC=2,以下与选择条件②相同，略.(18)(本小题13分)解：(I)“在职人员”借阅的文学类图书量X=600×18.5×35%=3885(册);“中学生”借阅的教辅类图书量Y=500×15.2×40%=3040(册).由X>Y,得“在职人员”借阅的文学类图书量比“中学生”借阅的教辅类图书量大.(Ⅱ)记选出的2名大学生为甲、乙，设事件“甲借阅了科技类图书”为A,事件“乙借阅了科技类图书”为B,事件“选出的中学生借阅了科技类图书”为C,事件“所借的3册书中至少有2册为科技类图书”为Z,故估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率为………………13分(19)(本小题15分)解：(I)由圆W:x²+y²=1经过下顶点B,得b=1.………………1分由,得,故c=√3b=√3,………………3分故椭圆E的方程为………………5分设切线l:y=kx+m或x=±1.………………6分由0Q⊥OD,直线OD的斜率,得直线0Q:.…………10分由直线1与圆W相切，得即m²=1+k².由得………………12分所以直线AP与直线BF₁的斜率均等于,即APIIBF₁15分(20)(本小题15分)求导，得f'(x)=x(2Inx+1),当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：………………3分x0+1所以函数f(x)的单调减区间为,单调增区间为.…………5分(Ⅱ)由g(x)=x²Inx+x=x(xlnx+1),当x变化时，h'(x)与h(x)的变化情况如下表：x一0+1所以故函数h(x)不存在零点.所以函数g(x)无零点.………………10分所以………………12分由f(1)=0,得切线I的方程为y=x-1.所以1与x轴、y轴分别交于点A(1,0),B(0,-1),故△OAB的面积为………………15分(21)(本小题15分)解：(I)数列{b}具有性质T.………………2分期为4的周期数列.………………4分(Ⅱ)(i)取n=1,1=1,由性质T得：存在m∈{2,3,4,5},使得am=a₁.以此类推，得数列{a}中任意连续4项中，必有一项的值等由上述结论，知在a之后的连续4项中，这5个不同值都会出现，这是不可能的.所以{a}中至多只有4个不同的取值.………………8分又因为周期数列：1,2,3,4,1,2,3,4…1,2,3,4……具有性质T,所以集合{u|u=an,n∈N}中元素个数的最大值为4.………………9分(ii)考察由连续4项构成的数组A(n)=(an,an+,a+2,an+3),由(i),知a的取值不超过4个，故这样的数组个数不超过4⁴=256.所以在A(2026),A(2027)……A(2026+256)这257个数组中至少存在两个相同的，即存在n,t,满足A(n)=A(n+t),其中n≥2026,t≥1.………………12分以下证明：若A(n)=A(n+t),则A(n-1)=A(n+t-1),即证a₋₁=an+-1·由性质T,知存在i∈{0,1,2,3},使得a+an+…+aa-1-1=a+an;+…+ana+-·①若n-1+t-1≥n+i,即t≥i+2时，去掉上述等式两边若i=0,上式即为aₙ₋1=a