(2025年)土力学课后习题答案

(2025年)土力学课后习题答案习题1：某黏性土样经试验测得天然密度ρ=1.85g/cm³，含水量w=22%，土粒比重Gs=2.71。试计算该土的孔隙比e、饱和度Sr、干密度ρd及饱和密度ρsat。解答：土的三相比例指标换算需基于三相基本体积与质量的关系。设土粒体积为Vs，质量为ms；孔隙体积为Vv（包括水体积Vw和气体体积Va），水的质量为mw，气体质量可忽略。已知：天然密度ρ=总质量m/总体积V=(ms+mw)/(Vs+Vv)=1.85g/cm³含水量w=mw/ms=22%=0.22土粒比重Gs=ms/(Vs·ρw)=2.71（ρw=1g/cm³）步骤1：求土粒体积Vs与土粒质量ms的关系由Gs=ms/(Vs·ρw)，得ms=Gs·Vs·ρw=2.71Vs（因ρw=1g/cm³，单位为g）。步骤2：求水的质量mw由w=mw/ms，得mw=w·ms=0.22×2.71Vs=0.5962Vs（g）。步骤3：总体积V与孔隙比e的关系孔隙比e=Vv/Vs，总体积V=Vs+Vv=Vs(1+e)。步骤4：天然密度ρ的表达式ρ=(ms+mw)/V=(2.71Vs+0.5962Vs)/(Vs(1+e))=(3.3062)/(1+e)=1.85g/cm³解得：1+e=3.3062/1.85≈1.787，故e≈0.787。步骤5：求饱和度Sr饱和度Sr=Vw/Vv，其中Vw=mw/ρw=0.5962Vs（cm³）（因ρw=1g/cm³，质量与体积数值相等），Vv=e·Vs=0.787Vs（cm³）。故Sr=Vw/Vv=0.5962Vs/(0.787Vs)=0.5962/0.787≈0.758，即75.8%。步骤6：求干密度ρd干密度ρd=ms/V=2.71Vs/(Vs(1+e))=2.71/(1+e)=2.71/1.787≈1.516g/cm³。步骤7：求饱和密度ρsat饱和密度指孔隙完全充满水时的密度，此时Vw=Vv，mw=Vv·ρw=e·Vs·ρw=0.787Vs（g）。总质量m=ms+mw=2.71Vs+0.787Vs=3.497Vs（g），总体积V=Vs(1+e)=1.787Vs（cm³）。故ρsat=3.497Vs/(1.787Vs)=3.497/1.787≈1.957g/cm³。习题2：某地基由三层土组成，各层厚度及物理性质如下：第一层为粉质黏土，厚度h₁=3m，天然重度γ₁=18.5kN/m³，地下水位位于该层顶面；第二层为淤泥质黏土，厚度h₂=4m，饱和重度γsat₂=19.2kN/m³；第三层为密实砂土，厚度h₃=5m，饱和重度γsat₃=20.1kN/m³。试计算地面下深度z=2m、5m、8m处的总应力σ、孔隙水压力u及有效应力σ'。解答：总应力σ为上覆土层的自重应力之和；孔隙水压力u=γw·h（h为计算点至地下水位的深度，γw=9.8kN/m³）；有效应力σ'=σ-u。（1）z=2m处（位于第一层粉质黏土内）总应力σ=γ₁·z=18.5×2=37kN/m²。地下水位位于地面（z=0），故h=2m，孔隙水压力u=γw·h=9.8×2=19.6kN/m²。有效应力σ'=σ-u=37-19.6=17.4kN/m²。（2）z=5m处（位于第二层淤泥质黏土内，第一层厚3m，第二层内深度为5-3=2m）总应力σ=γ₁·h₁+γsat₂·(z-h₁)=18.5×3+19.2×(5-3)=55.5+38.4=93.9kN/m²。孔隙水压力u=γw·z=9.8×5=49kN/m²（因地下水位在地面，z=5m处水深5m）。有效应力σ'=93.9-49=44.9kN/m²。（3）z=8m处（位于第三层砂土内，前两层总厚3+4=7m，第三层内深度为8-7=1m）总应力σ=γ₁·h₁+γsat₂·h₂+γsat₃·(z-h₁-h₂)=18.5×3+19.2×4+20.1×(8-3-4)=55.5+76.8+20.1×1=55.5+76.8+20.1=152.4kN/m²。孔隙水压力u=γw·z=9.8×8=78.4kN/m²。有效应力σ'=152.4-78.4=74kN/m²。习题3：某饱和黏土层厚度H=6m，双面排水，固结系数cv=0.8×10⁻³cm²/s。若在土层顶面施加无限均布荷载p=120kPa，试求：（1）加载后60天的平均固结度Ut；（2）当平均固结度达到85%时所需的时间t。解答：太沙基一维固结理论中，平均固结度Ut与时间因数Tv的关系为：当Ut≤60%时，Ut≈(4/√π)√Tv；当Ut>60%时，Ut=1-(8/π²)exp(-π²Tv/4)。时间因数Tv=cv·t/H²，其中H为最大排水距离（双面排水时H=土层厚度/2=6/2=3m=300cm）。（1）加载后60天的平均固结度Ut首先计算t=60天=60×24×3600=5,184,000s。Tv=cv·t/H²=0.8×10⁻³×5,184,000/(300)²=0.8×10⁻³×5,184,000/90,000=0.8×57.6/90=0.8×0.64=0.512。因Tv=0.512>0.196（对应Ut=60%时Tv≈0.196），故用Ut=1-(8/π²)exp(-π²Tv/4)计算：π²≈9.8696，代入得：Ut=1-(8/9.8696)exp(-9.8696×0.512/4)=1-0.8106×exp(-1.268)=1-0.8106×0.281≈1-0.228=0.772，即77.2%。（2）平均固结度达到85%所需时间tUt=0.85>0.6，故仍用Ut=1-(8/π²)exp(-π²Tv/4)。整理得：exp(-π²Tv/4)=(1-Ut)×π²/8=(1-0.85)×9.8696/8=0.15×1.2337≈0.1851。两边取自然对数：-π²Tv/4=ln(0.1851)≈-1.687，故Tv=1.687×4/9.8696≈0.683。由Tv=cv·t/H²，得t=Tv·H²/cv=0.683×(300)²/(0.8×10⁻³)=0.683×90,000/0.0008=0.683×112,500,000=76,987,500s。换算为天数：76,987,500/(24×3600)=76,987,500/86,400≈891天。习题4：某砂土试样在直剪试验中，当法向应力σ=150kPa时，测得破坏剪应力τf=90kPa；当σ=250kPa时，τf=150kPa。（1）求该砂土的内摩擦角φ；（2）若在同样条件下，法向应力σ=200kPa时，试样是否会被剪坏？（3）破坏面与大主应力面的夹角是多少？解答：砂土的抗剪强度符合莫尔-库伦准则τf=σtanφ（因砂土黏聚力c=0）。（1）求内摩擦角φ由τf=σtanφ，取两组数据：当σ₁=150kPa时，τf₁=90kPa，故tanφ=90/150=0.6，φ=arctan(0.6)≈30.96°；当σ₂=250kPa时，τf₂=150kPa，tanφ=150/250=0.6，φ=30.96°（一致，说明符合线性关系）。（2）σ=200kPa时是否破坏此时抗剪强度τf=200×tan30.96°=200×0.6=120kPa。若试验中实际剪应力τ≥120kPa则破坏，否则不破坏（题目未明确实际τ，假设τ≤120kPa则不破坏，若τ>120kPa则破坏。通常题目隐含判断τf与τ的关系，此处可能默认τ为某值，若未给出则需说明：若剪应力达到120kPa则破坏，否则不破坏）。（3）破坏面与大主应力面的夹角莫尔圆中，破坏面与大主应力面（σ₁作用面）的夹角θ=45°+φ/2。代入φ=30.96°，得θ=45°+30.96°/2=45°+15.48°=60.48°。习题5：某条形基础宽度b=2m，埋深d=1.5m，基底以上土的重度γ₀=17kN/m³，持力层为黏性土，天然重度γ=18.5kN/m³，黏聚力c=25kPa，内摩擦角φ=20°。按太沙基公式计算地基的极限承载力pu（安全系数取1时的承载力）。解答：太沙基极限承载力公式（条形基础，底面粗糙，整体剪切破坏）为：pu=1.3cNc+γdNq+0.5γbNγ其中Nc、Nq、Nγ为承载力系数，仅与φ有关，可查表或用经验公式计算。当φ=20°时：Nq=tan²(45°+φ/2)exp(πtanφ)=tan²(55°)exp(πtan20°)≈(1.4281)²×exp(π×0.3640)≈2.04×exp(1.144)≈2.04×3.139≈6.40Nc=(Nq-1)cotφ=(6.40-1)