2025-2026学年下学期山西省晋中高三数学4月模拟试卷（含答案）

数学时间120分钟,满分150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数z=3A.-5B.-6C.5D.62.若全集U={x∈N∣0<x≤7}A.1,2,3.一组从小到大排列的数据:2，8，x，18，22，若它们的第60百分位数比平均数大2，则x的值为A.10B.11C.12D.134.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若a=1、A=135∘A.22B.C.22D.5．已知点Pcosa,sina到点A4m,3m−10A.4B.5C.6D.76.已知数列an是等比数列，a1>0，则“对任意的正整数n都有a、an+2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知fx是定义在R上的函数,fx+2=fx+1−fxA.-3B.-1C.1D.38.已知函数fx=abx2−A.0,12B.0,二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知函数fx=A.函数fx的最小值为B.点−5π8,0是函数C.函数fx在区间π8D.函数fx的图象可由y=2cos2x10.已知F1,F2是椭圆C:x2+y2m2=1m>0的两个焦点,点A12,3在椭圆C上,BA.AB.椭圆C的离心率为3C.AP的最小值为132D.△POA面积的最大值为11.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，H，N分别为CCA.正方体ABCD−A1BB.B,MC.直线HN与HB1所成角的余弦值为D.过直线HB1的平面截正方体ABCD−A三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知向量a=1,2与向量b=m,313.已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点A，B都在抛物线C上，抛物线C的准线与x轴交于点D,14.将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余,逆序排列法.步骤是:用2整除十进制整数、可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数。如此进行下去；直到商小于1为止,最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位,后得到的余数作为二进制数的商位有效位,依次排列起来.例如,将十进制数5转化成二进制数:5÷2=2⋯⋯1,2÷2=1⋯⋯0,记fn为十进制中正整数n的二进制表示中数字1的个数,例如5=1012四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3个小球标号的最大数字.(1)求随机变量ξ的分布列及数学期望；(2)已知取出的3个小球的标号和为偶数,求ξ=616.(15分)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，且a1=sin2θ，a2=cos2(1)求公差d及θ的值；(2)设数列bn=ansinnπ2，数列bn的前n17.(15分)已知函数fx=xex(1)当a=1时,求曲线y=fx(2)若fx≥1，对任意x∈0,+∞18.(17分)如图1，AC为半径为2的圆O的直径，点D，B为圆O上的两点，且AD⏜=2DC⏜.AB⏜=BC.如图2,将圆O沿AC翻折.E(1)若BC⊥CD，E为BD的中点，证明:OE(2)若平面ADC⊥平面ABC.求二面角A−(3)求翻折过程中，直线OD与平面ABC所成角的最大值.图1图219.(17分)若3+22n=xn+y(1)写出P1,(2)证明:对任意n∈N∗，点P.在双曲线(3)设直线P。Pn+1与双曲线C的两条渐近线分别交于点An和点Bn，记△OA,B。的面积为(参考公式:设三角形的三个顶点分别为Ax1,y数学参考答案及评分意见1.B∵z=5−62.D∵∁UA3.A∵5×0.6=3,∴这5个数据的第60百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数,即x4.B由正弦定理,得bsinB=5.D由题意得,点P的轨迹方程为x2+y2=1,点A的轨迹方程为3x−4y−40=6.C∵an是等比数列,∴a∵an是等比数列,a1>0∴“对任意的正整数n都有an<an+2”是“an7.D∵fx+2=fx+1−fx,∴8.A由题意f′∵fx有两个极值点,∴f′x令ax=t,则2bt−lnt−1=0,∴若直线y=2bt−1与gt=lnt的图象相切,则设切点为t0,ln∴切线方程为y−lnt0=1t0t−∵要使直线y=2bt−1与gt=lnt9.AB对于A，当2x+π4=3π2+2kπ,k∈Z时，函数fx取得最小值，为一2，故A正确.对于B,当x=−5π8时,f−5π8=2sin−π=0,故B正确.对于C,令2x+π4=t,∵x∈π10.ABD对于A,B,∵点A12,3在椭圆C上,∴14+3m2=1,解得m=2,∴椭圆C的标准方程为对于C,设点Px,y,则Bx,2y.将点B的坐标代入椭圆方程x2+y24=1,得x2+2y24=1,即x2+对于D,由C可知,OP=1,OA=132,则当OP⊥OA时,△POA11.AC对于A,正方体ABCD−A1B1C1D1对于B,设BC的中点为P.因为H,N,M,P四点共面,点B不在平面HNMP内,所以B对于C,如图,连接NB1,HB,D1B1,则HN=HD2+对于D,如图,连接DB1,记O为DB1的中点,过点O作HB1的垂线,交在△HDB1中,HD=1,DB过直线HB1的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球所得的所有截面圆中,半径最小为EB112.152∵a//b,∴13.83∵AF=2,∴点A到准线的距离为2.∵2DA=DB∴点B到准线的距离为4,∴∵O为线段DF的中点,∴OA为△BDF的中位线,在等腰三角形AOF中,点Ap4,4−p216.∴p14.192数1表示成二进制为12,出现数字1的个数为数1,2,3表示成二进制为12,102,112数1,2,3,4,5,6,7表示成二进制为12,102,112......；数1,2,3,⋯,2n所以f115.解:(1)随机变量ξ的所有可能取值为3,4,5,6,则PξPξ=所以ξ的分布列为ξ3456P13315分所以Eξ=(2)记事件A为“取出的3个球的标号和为偶数”,事件B为“ξ=由题意得,PA=PAB=由条件概率公式,得PB∣16.解:(1)∵d∴S4∴cos2θ=∵0∴2θ=(2)由(1)得，a1=∴an又∵y=sinnπ2∴当n=4k+1时,sinnπ2=1;当n=4k+2当n=4k+4时,sinnπ2∴在一个周期内,b4kb4k+∵数列bn的前20项为5个完整的周期,∴T17.解:(1)当a=1时,fx=xe∴f′∴曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y(2)若fx=xex−则有ex+lnx−ax+lnx令t=x+lnx,t∈R,则e令ht=et−at−1,即ht≥①若a≤0，则h′t=et−a>当t→−∞时,ht→−∞②若a>0，则令h′t=当t∈−∞,lna时，h′t<0，ht单调递减；当t∈ln∴ht令φa=a−a当a∈0,1时,φ′a>0,φa∴φa≤φ1=又∵a−alna综上,实数a的值为1.15分18.(1)证明:如图，取BC的中点F，连接EF，OF.∵E，O分别为DB，AC∴EF//又∵AC是圆O的直径，∴∵BC⊥又∵EF∩OF=F,EF,OF⊂∵OE⊂平面OEF(2)解:∵AB故以O为坐标原点,以OB,OC所在直线,过点O且垂直于平面ABC的直线分别为x,y∵AD⏜=2DC∴AB=设平面ABD的法向量为n=则AB⋅n=0,AD⋅n=0,即∴n=设平面OBD的法向量为m=则OB⋅m=0,OD⋅m=0,即∴m=∴cos⟨n,由图知二面角A−DB−O为锐二面角,∴二面角A−DB(3)解:同(2)中的建系，则平面ABC的一个法向量p=设两个半圆面所成的角为θ,则D3∴OD=设直线OD与平面AB