2026年山西多校高三大联考数学试卷（含答案）

高三数学注意事项:1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=x∣xA.[−1,0)B.−2.已知复数z1=1−A.5B.10C.25D.3.若函数fx=sinωxω>0A.2B.1C.2πD.π4.已知向量a,b满足a=1,b=3,aA.25B.35C.55.春节期间，某短视频平台推出了“AI预测助手”，用于预测观众是否会点赞某个视频.为了解预测效果，随机抽取部分短视频，统计AI助手的预测结果以及观众实际的点赞情况，所得数据如下表:预测:不会点赞预测:会点赞实际:未点赞12030实际:点赞2080现从AI助手预测“会点赞”的短视频中随机抽取一个，则该短视频实际被观众点赞的概率是A.45B.811C.86.如图，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在同一个球的球面上,若该球的表面积为36π,圆柱的高为2,则圆锥的体积为A.4π3B.8π3C.16π7.已知偶函数fx在−∞,0上单调递增,若aA.fa<C.fb<8.已知双曲线C:x2+my2=1的实轴和虚轴的长度相等,C的左、右顶点分别为A,B,PA.−1tanα+βB.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数fx=x3+ax2+bxA.a=−B.bC.cD.fx的极小值点为10.已知数列an满足2an+2+an+1A.an+1+anC.Sn是等比数列D.sinan的前n11.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，记△ABC的面积为S，周长为LA.B=π3B.SC.L的取值范围是3+3,6+2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.2x−x5的展开式中13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在C上且位于第一象限，O为坐标原点，设∠PFO的平分线交C于点M，交l于点N，若14.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1,侧棱AA1=2,P为棱AA1的中点，设平面α四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中,这些芯片外观完全相同.(1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率；(2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为X，求X的分布列与数学期望.16.(15分)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=(1)求an(2)若bn=6anan+1，设数列bn的前17.(15分)如图,四棱锥S−ABCD的底面ABCD是菱形,AB=SA=5(1)求证:AM⊥平面SBD(2)求直线AC与平面SBC所成角的正弦值.18.(17分)已知函数fx=aex(1)讨论fx(2)若a≥1，证明:当x>0时，(3)若a=1，设0<m<1<n19.(17分)已知圆A:x2+y2+2x−15=0,过点B1,0且不与x轴重合的直线l交圆A于C,D两点,(1)求点E的轨迹，Ω的方程.(2)设l与Ω交于P,Q两点，O(i)若△OPQ的面积为1213，求l(ii)求△APQ的外接圆的面积S高三数学・答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.答案A由题可知A=x∣x22.答案Dz13.答案D由题可知fx的最小正周期为2,即2πω=24.答案C因为a−b2=a−b2=a2+b2−2a⋅5.答案B由题表可知，AI预测助手预测“会点赞”的短视频数为80+30=110，其中观众实际点赞的视频数为80，6.答案C如图,过圆柱的轴作球的截面.设球的半径为R,则4πR2=36π,解得R=3.由题可知OG=1,则DG7.答案B因为0<12<π6,所以0<tan12<tanπ6=33,故0<a<c,又易知35>33,即c<b8.答案A如图.由题可得m=−1,C:x2−y2=1,则A−1二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.每小题全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.答案ABD由题可知,方程x3+ax2+bx+c=0的根为x=1(二重根)和x=2,可得x−12x−2=0,即x3−4x2+ 5x−2=0,所以a=−410.答案AD对于A,由题可得an+2+an+1=12an+1+an,且a对于B,由A易得an+1+an=34×12n−1,于是an+1对于C,由B可知an=12n,所以Sn=a11−qn1−q=121−12n1−12=1−12n11.答案ACD对于A,由aca+c+b=a+c−b3,可得a+c2−b2=3ac,即对于B,由正弦定理,可得a=cosAsinC=2sinπ−π3−CsinC=2sin2π3−CsinC=232cosC+12对于C,由余弦定理可得b2=a2+4−2a=a−12+3,由对B的分析可知a∈1,4,所以b2∈3,12,且对于D,设BC的中点为D,因为G是△ABC的重心,所以AG=23AD,在a22−2c⋅a2⋅cosB=14a2−a+4=14a−2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.答案802x−x5的展开式的通项为Tr+1=C5r2x5−r−xr13.答案4由题不妨设MF=mm>0,则MN=2m.过点M作MH⊥l于点H,则MF=MH=m,所以cos∠NMH= MHMN=12,则∠NMH=60∘,所以∠NFO=∠NFP=∠NMH=60∘14.答案6以D为坐标原点,以直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题可得C0,1,0,A11,0,2,C10,1,2,P1,0,1,不妨设棱DD1上一点M0,0,z0,其中0≤z0≤2,则PM=(−1,0,z0−1,A1C=−1四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)设“至少抽到1个乙类芯片”为事件A，则A表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”，则PA=(2)由题意知X的所有可能取值为2,3,4,5.PPX=所以X的分布列为X2345P1248(10分)EX=16.(1)因为a1=8,所以又因为Snn是公差为3的等差数列,所以S即Sn=当n≥2时,a又a1=8适合上式,所以an的通项公式为(2)由(1)知bn=所以Tn所以Tn<17.1∵AB=SA=5∴AM⊥BS,且在△SBD中，同理可得DM⊥∴A∴DM⊥又BS∩DM=M,∴AM(2)设BD与AC相交于点O.以O为坐标原点,直线OA,OB分别为x,y轴,过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系,如图,则设Sx由SA=x−32则BC=−设平面SBC的法向量为n=则n⋅BC=0,n⋅SC=0设直线AC与平面SBC所成的角为θ,则sinθ∴直线AC与平面SBC所成角的正弦值为1515.(1518.1f′①若a≥0，则f′x>0恒成立，fx②若a<0,令f′x=0当x<1−ln−a时,f′x>0所以fx在−∞,1−ln−a上单调递增,在(2)当a≥1时，f令gx=ex−易知g′x在0又g′1=0,所以当x∈0,1时,g′x<0故gxmin=g1所以fx≥2ln(3)当a=1时,fx=ex−1+x因为0<m<1<n,所以n只需证fmn<0,即证由2知fm所以fm+又因为fm+fn=所以1m>n,即因此fmn<0,从而fmn19.(1)圆A的方程化为标准方程得x+12+y2=16,所以圆心A−1,0,半径由AC=AD,可得∠ACB=∠ADB,所以∠所以EB+EA=ED故点E在以A,B为焦点的椭圆上,且所以Ω的方程为x24(2)设l:(i)联立l与Ω的方程,得x24+y