杭州学军中学2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试卷

杭州学军中学第一学期期末考试高一数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，其分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据集合补集和交集的概念解出.【详解】求解集合，解不等式，解得或，即，所以，已知，所以.故选：D2.已知，，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断．【详解】由得，则，则，充分性成立；由，若，，则，得不到，必要性不成立，故p是q的充分不必要条件．故选：A．3.已知，则第1页/共23页

A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.函数与的图象的交点个数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数图象即可判断交点个数.【详解】画出与的图象如图所示：根据图象可知，交点个数是个.故选：C.5.已知，且，则最小值为（）A.8B.C.9D.【答案】C【解析】【分析】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解.第2页/共23页

【详解】由可知，，所以，当，即时，等号成立，联立，得，所以当时，的最小值为.故选：C6.已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案.【详解】的值域为，当时，则，为增函数，，而时，为增函数，此时，，不符题意；当时，则，为减函数，，而时，为减函数，此时，，第3页/共23页

因为的值域为，当且仅当时，满足题意，此时，，则，整理得，，解得；综上，时满足题意.故选：A7.若的定义域为，且，，则（）A.4B.2C.2D.4【答案】A【解析】【分析】根据条件，赋值化简，可得的周期为6，则所求变为求的值，通过赋值法，代数计算，即可求得答案.【详解】令，则，则，与上式相加可得，即，所以，则，所以是以周期为6的函数，所以，因为，，所以令，可得，解得或4，令，可得，所以，令，可得，所以，令，可得，所以.故选：A8.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（）第4页/共23页

A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果.【详解】依题意则得，即，所以,；设，因为，所以,，解得,；因此,，可得，结合图象可得，解得.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果.二、多选题：本题共3小题，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．第5页/共23页

9.已知向量，满足，，则下列说法正确的是（）A.若则B.若，则向量在向量上的投影向量坐标为C.若，则D.最大值为【答案】BD【解析】ABC，由向量数乘运算的性质判断；对D，计算的最大值.【详解】对于A：，A错误；对于B：向量在向量上的投影向量为，B正确；对于C：由，得，所以，即，解得，C错误；对于D：设向量与向量的夹角为，则，当时，取得最大值，此时取得最大值，D正确；故选：BD.10.如图，函数的图像经过，则（）A.第6页/共23页

B.方程所有根的和为C.若为偶函数，则正数的最小值为D.若在上无零点，则正数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】根据函数图象求出、的值，即可得到解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.【详解】依题意，即，又，所以或，当时，令，解得，令，解得，设函数的最小正周期为，则，所以，则，所以，，所以在轴右侧的第一个最大值点必大于，不符合题意，故；所以，又函数过点，且为单调递减区间上的对称中心，所以，则，解得，又，所以，所以；对于A：，故A正确；对于B：由，即函数的图象关于点对称，直线过点，第7页/共23页

因此直线与的图象交点关于点对称，共有个交点，即方程共有个根，所有根的和为，因为不存在使得，故B错误；对于C：函数是偶函数，则，解得，因此当时，正数取得最小值，故C正确；对于D，函数，当时，，由在上无零点，得，则，解得，显然，即，于是，所以正数的取值范围为，故D正确.故选：ACD等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为（其中（）A.B.函数为奇函数第8页/共23页

C.若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则D.若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】根据双曲函数的加法公式、函数的奇偶性、函数图象过交点以及不等式能成立问题逐项分析即可求得结果.【详解】对于A，，，化简后得，故A错误；对于B，的定义域为，是偶函数；的定义域为，，所以是奇函数，所以函数为奇函数，故B正确；对于C与函数和的图象共有三个交点，在R上单调递增，即直线与函数只有一个交点，所以直线与函数有两个交点，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，，解得，第9页/共23页

所以，则，故C正确；对于D，，，令，则，所以在上单调递增，则，又，当且仅当时，等号成立，所以最小值为1，因为存在，关于的不等式恒成立，所以，所以的取值范围为，故D正确；故选：BCD.【点睛】本题考查了双曲函数定义及相关性质、函数的奇偶性、函数的单调性、函数图象交点问题，以及运用基本不等式和求导求解，关键点有：（1）判断奇偶性前先判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）运用基本不等式要注意“一正二定三相等”；（3）根据导函数判断函数的单调性，求最值；（4）恒成立问题与能成立问题作区分.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分12.已知扇形的圆心角，弧长为，扇形的面积为________．【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式，结合弧长公式进行求解即可.【详解】设扇形的半径为，因为弧长为，所以，扇形的面积为：，第10页/共23页

故答案为：13.已知，且满足，则，则______．【答案】【解析】【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值.【详解】因为，，所以，由得，即，所以，所以，得，所以．故答案为：14.已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数有，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】作，，建立平面直角坐标系，作，作，由条件确定点的轨迹，由此确定即的最小值.【详解】如图作，，如图，以点为原点，为的正方向建立平面直角坐标系，因为，，，第11页/共23页

所以点的坐标为，点的坐标为作，设点的坐标为，因为，所以，所以，所以点在以为圆心，以为半径的圆上，因为对任意的实数，均有，所以，又，所以恒成立，所以，所以，即，作，设点的坐标为，则，即，所以点在直线上，因为，又点在圆上一动点，点在直线上一动点，所以点到点的最小距离为点到点的距离减去圆的半径，即，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，因为点到直线的距离，所以点到点的距离大于等于，即，所以，第12页/共23页

当且仅当垂直于直线且点为线段与圆的交点时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.的坐标运算及性质确定点的轨迹，由此结合直线与圆的性质求解.四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）或.【解析】果.的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.第13页/共23页

由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.16.的对边分别为，为CD上一点，且满足．（1）求的值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】1）根据平面向量基本定理，以及向量的线性运算，用基底表示向量，求出参数值；（2）根据向量模长与向量数量积的关系，以及基本不等式，求出最小值即可.【小问1详解】设，因为，所以，第14页/共23页

可知，当时，解得，即，所以.【小问2详解】由得，在中，，所以，所以，可知，当且仅当时，即时取等号，可得，即，所以的最小值为.17.已知函数．（1）求的值；（2）求在上的值域；（3）将函数的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2的图象，若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】第15页/共23页

1）直接代入即可求解，（2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域.（3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，通过换元构造函数，令，再将对任意的a的取值范围.【小问1详解】小问2详解】时，，故．即在上的值域为．【小问3详解】将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2得到函数，则，第16页/共23页

令，因为，所以.则不等式对任意的对任意的恒成立，即对任意恒成立.整理得，因为，所以，则；令，，由于，故，则，因此，当且仅当，即时取到等号，所以.所以，即实数的取值范围是.18.函数；（1）判断并用定义证明函数在上的单调性；（2）若，求证：；（3）若，且，求证：．【答案】（1）函数在上的单调递减，证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】第17页/共23页

1）任取，且，对整理变形，判断符号即可证明单调性；（2）由（1）的式子，结合基本不等式判断符号即可证明；（3）由（1）的式子，结合基本不等式，解不等式即可证明.【小问1详解】函数在上的单调递减，证明如下：任取，且，则因为，所以，，，所以，所以函数在上的单调递减.【小问2详解】由（1）得由于，则，由基本不等式可得，则，则.【小问3详解】第18页/共23页

由（1）得,若，且，则，即，由基本不等式，则，则.19.已知函数．定义，设，为常数．（1）当时，判断函数的奇偶性；（2）已知，求使得等式成立的取值范围；（3）定义区间的长度为的解集为，问是否存在的全部区间长度之和等于6，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）为偶函数，理由见解析；（2）（3）【解析】1）分析得到，从而得到为偶函数；（2）故成立，分和两种情况，得到不等式，结合根的判别式得到不等式的解集，求出等式成立的取值范围为；（3）先求出最小值为1，若有解，首先满足，当时，解得，第19页/共23页

区间长度为，令，解得，不满足，舍去；当，令得到方程，时，恒成立，再分和时，得到区间长度，求出.【小问1详解】当时，，若时，，，故，若，，，故，此时，因为，，且，因此为偶函数，【小问2详解】，故成立，其中，，，当时，，，即，，所以，解得，当时，，，即，，第20页/共23页

因为，当时，，此时不等式无解；当时，，此时不等式为，解为，不满足；当时，，此时不等式解集为，其中，，，故，则，故与无交集，故无