笔算乘法的算法探源：两位数乘两位数（不进位）（小学中段数学三年级下册）

笔算乘法的算法探源：两位数乘两位数（不进位）（小学中段数学三年级下册）

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本课位于“数与代数”领域，是整数乘法运算教学链条中的关键一环。知识技能图谱上，它上承两位数乘一位数、整十数乘两位数的口算与笔算，下启进位乘法及更复杂多位数乘法，核心任务是引导学生完成从“口算分合”到“笔算程式”的认知跨越，理解并掌握两位数乘两位数（不进位）的竖式算法模型。这不仅是计算技能的扩充，更是数学思想方法的深刻体现。本课蕴含着“先分后合、化繁为简”的转化思想（将新问题转化为已学过的口算问题）与位值原则的严谨应用（竖式中每一步乘积的书写位置），是培养学生运算能力和推理意识的绝佳载体。其素养价值在于，通过探索算理与算法的统一，让学生体验数学的严谨性与逻辑美，在自主建构算法过程中发展有条理、有根据的思维品质。

基于“以学定教”原则进行学情研判：学生已有基础是熟练掌握了两位数乘一位数、整十数乘两位数的笔算及乘法口诀，具备利用点子图等直观模型进行分拆计算的经验。潜在的认知障碍在于：第一，难以将两步口算过程（如先算24×2，再算24×10，最后相加）有机整合到一个竖式结构中；第二，对竖式中第二层积（代表几个十）的末位为何与十位对齐，知其然不知其所以然，易产生书写错位。因此，教学需将动态的分步口算过程“凝固”为标准竖式，并借助直观模型实现算理可视化。过程评估将贯穿始终：通过导入环节的旧知复现、新知探索中的操作与表述、巩固练习的多样反馈，动态捕捉学生对算理的理解深度与算法掌握的熟练度。教学调适策略上，对理解迅速的学生，引导其关注算法优化与多方法沟通；对需要支持的学生，持续提供点子图、位值板等可视化“脚手架”，并通过同伴互助、教师个别指导强化对位值意义的理解。

二、教学目标

知识目标：学生能清晰阐述两位数乘两位数（不进位）竖式计算每一步的算理依据，特别是第二部分积的书写位置；能准确、规范地完成此类算式的笔算过程，并能够用语言或图示解释计算过程。

能力目标：学生能够借助点子图等直观模型，将两位数乘两位数的计算问题转化为已学的口算问题，并自主探索、归纳出笔算乘法的算法步骤，发展几何直观与运算能力；能在简单实际问题情境中应用该算法解决问题。

情感态度与价值观目标：在探索算法多样性与最优化的过程中，体验数学思考的乐趣和严谨性，增强学习自信；在小组交流中，愿意分享自己的思路，并认真倾听、理解他人的方法，感受合作学习的价值。

数学思维目标：重点发展学生的推理意识和模型意识。通过任务驱动，引导学生经历“具体操作（点子图分）→表象形成（口算过程）→符号抽象（竖式记录）”的完整思维过程，理解竖式算法是对口算过程的简洁、结构化记录，实现算理与算法的有效勾连与统一。

评价与元认知目标：引导学生学会用“先分后合”的思想审视乘法计算；在练习后，能依据“数位对齐、步骤清晰”的标准进行自我检查或同伴互评；能反思不同算法（如口算、列表算、竖式）之间的联系与优劣，初步形成选择合适算法的意识。

三、教学重点与难点

教学重点：掌握两位数乘两位数（不进位）的笔算方法，理解其算理。确立依据在于，该算法是整数乘法运算体系的核心基础模型之一，其掌握程度直接关系到后续多位数乘法、除法试商以及小数乘法学习的成效。从课程标准看，它直接关联“数的运算”核心素养中的运算能力和推理意识，是必须扎实夯实的“大概念”。

教学难点：理解竖式中第二部分乘积的书写位置及其算理依据。预设依据源于学情分析：学生从两位数乘一位数（乘积通常为两三位数）过渡到两位数乘两位数，认知跨度较大。难点成因在于，第二部分是“乘数十位上的数”与被乘数相乘，得到的是若干个“十”，其个位实际代表的是几个百，学生容易受第一步计算（乘数个位相乘）的思维定势影响，将其末位与个位对齐，导致数位概念混淆。突破方向在于，必须强力关联位值概念，通过点子图圈画、动态课件演示或位值小棒操作，将抽象的“几个十”具象化，让“对齐十位”这一操作规则变得有据可依。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含可动态分合的点子图、标准竖式步骤分解动画）；实物投影仪。

1.2学习材料：设计分层学习任务单（含基础操作区、探索记录区、分层练习区）；每生一份印有14×12点子图的学具纸。

2.学生准备

2.1学具：彩色笔（用于圈画点子图）。

2.2预习：回顾两位数乘一位数、整十数乘两位数的笔算方法。

3.环境布置

3.1板书记划：左侧预留点子图分析与算法多样展示区，中间主区域规划为竖式算理推导与算法归纳区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激疑，提出问题：“同学们，学校图书角新进了一批书，每套书有14本，这样的书进了12套。我们一共需要准备多少本书呢？谁能列出算式？”（板书：14×12）“这个算式和我们以前学的乘法有什么不同？”

1.1.唤醒旧知，评估起点：“两位数乘两位数，结果大概是多少？你能用以前的知识估算一下吗？”“我们学过两位数乘一位数，14×12能转化成我们会算的式子吗？试着在练习本上用学过的方法算算看。”教师巡视，快速捕捉学生出现的口算方法（如14×10=140，14×2=28，140+28=168）或已有的竖式雏形。

1.2.明确路径，揭示课题：“老师看到大家用了分步计算的方法，很有智慧！有没有一种更简洁、更通用的记录方法，能把这几步计算清晰地写下来呢？这就是我们今天要探秘的‘笔算乘法的算法’。”（板书课题核心词）“我们将借助点子图这位老朋友，一起揭开竖式计算的神秘面纱。”

第二、新授环节

###任务一：唤醒经验，图形化表征问题

1.教师活动：发放点子图学具纸（14行，12列）。引导学生观察：“这个点子图正好可以表示12套14本书。你能在图上圈一圈、画一画，表示出你是怎样计算14×12的吗？”教师巡视，有意识地寻找并选取三种典型分法：①横着分（先10行，再2行）；②竖着分（先10列，再2列）；③其他分法（如先分成4×3等）。通过实物投影展示。

2.学生活动：独立观察点子图，尝试用彩笔圈画，将12套（行）分成几个部分，并思考对应的口算算式。在教师组织下，观看同伴的不同分法，理解尽管分法不同，但“先分后合、化整为零”的思路是一致的。

3.即时评价标准：①能否将点子图进行合理的分割，对应已学的乘法计算。②能否用数学语言描述自己的分割方法及对应的算式。③倾听时，能否关注不同分法背后的共同思路。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★核心思路：转化。面对新问题（两位数乘两位数），可以将其转化为已学过的（两位数乘整十数、两位数乘一位数）问题来解决。这是一种重要的数学思想。“大家看，不管横着分还是竖着分，都是在把‘12’这个‘整体’拆开，对吗？”

2.6.▲直观模型的价值。点子图能将抽象的乘法计算可视化，帮助我们清晰理解每一步计算的实际意义。“点子图就像我们的思维放大镜，让计算过程看得见。”

###任务二：搭建桥梁，尝试竖式记录

1.教师活动：聚焦一种主流分法（如横分：先算14×10=140，再算14×2=28，最后相加）。提问：“我们清晰的口算过程，怎样用一个竖式漂亮地记录下来呢？请大家大胆尝试写一写。”收集2-3份有代表性的学生竖式初稿（可能包含步骤不全、数位对错等典型情况），投影展示。不急于评判对错，而是提问：“能说说你这样写的想法吗？”

2.学生活动：基于口算过程，尝试独立书写竖式。观看同伴的尝试成果，倾听其解释，并与自己的写法进行比较、思考。

3.即时评价标准：①尝试的勇气和积极性。②竖式书写中是否体现出分步计算的意图。③解释时能否联系口算过程。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★竖式的本质：竖式是记录计算过程的一种简洁格式。当前的尝试阶段，允许不完美，关键是要有“记录过程”的意识。“嗯，这位同学把140和28分开写了，他在努力把口算的每一步都‘搬’到竖式里，这个方向很对！”

2.6.◆认知冲突点：如何将两步乘和一步加整合在一个竖式框架内？这将是下一步探究的焦点。“怎样才能让竖式更简洁，又不丢失信息呢？让我们继续探索。”

###任务三：深度解构，明晰算理与对位

1.教师活动：呈现标准竖式书写步骤的动态课件。第一步：写出14×12的竖式格式，先算2×14=28，提问：“这个‘28’在点子图上对应的是哪一部分？”（圈出下面的2行点子），并明确8写在个位，2写在十位。第二步：关键性提问：“接下来算1×14，这个‘1’是1吗？”（强调是1个十，所以是10×14=140）。继续追问：“140，这个4应该写在什么位上？为什么？”引导学生结合点子图（圈出上面的10行），理解4代表4个十，所以应该写在十位上。用不同颜色标注。第三步：将两部分积相加。总结：“原来，竖式里的每一步，在点子图上都有它明确的‘家’。”

2.学生活动：跟随课件演示，同步用手指在点子图上圈画对应的部分。重点理解第二步计算中乘积的书写位置，回答教师的追问，形成“十位上的数乘得的积的末位要与十位对齐”的直观认知。

3.即时评价标准：①目光能否随课件演示在点子图与竖式之间切换。②能否准确回答关于“4”对位原因的提问。③能否用自己的话说出“为什么第二部分积的末位要写在十位下”。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★教学重难点突破：第二部分积的末位对齐十位，是因为乘数十位上的“1”代表1个十，乘得的14表示14个十（即140），所以4（十位上的数字）必须对齐十位。这是位值制的直接体现。“记住哦，乘到哪一位，积的末位就和哪一位对齐，这是笔算乘法的‘定位法则’。”

2.6.◆易错点预警：第二部分积的书写，常被误写成“14”。必须反复强调其表示的是“14个十”，可通过询问“如果不写这个0，它表示的数是多少？”来强化认知。

###任务四：归纳算法，形成程序性知识

1.教师活动：带领学生共同回顾竖式计算的全过程，用程序化的语言引导归纳：“我们一起来说说，计算两位数乘两位数（不进位），第一步做什么？第二步呢？第三步？”并板书算法要点：1.相同数位对齐；2.先用第二个乘数的个位去乘第一个乘数每一位，得数末位和个位对齐；3.再用第二个乘数的十位去乘……得数末位和十位对齐；4.把两次乘得的积加起来。

2.学生活动：跟着教师一起复述计算步骤。同桌两人互相用自己的话说一遍计算过程。

3.即时评价标准：①复述算法的完整性和准确性。②同桌互说时，语言是否清晰、有条理。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★结构化算法：将操作和算理内化为清晰、可执行的计算步骤。算法口诀化有助于记忆和应用。“我们可以简记为：‘个位乘完，十位乘；乘到哪位，对哪位；最后加起，就完成。’”

2.6.▲规范书写习惯：强调竖式书写工整、数位严格对齐、进位（虽本课不进位，但养成习惯）标注清晰，是保证计算正确的重要非智力因素。

###任务五：沟通联系，升华认知结构

1.教师活动：将点子图分块口算、列表算（如把12分成10和2，分别乘14后相加）、竖式计算三种方法并列呈现。提问：“同学们，请大家比一比、想一想，这几种方法之间有什么联系？”引导学生发现：竖式是口算和列表算的简洁、结构化表达，它们的内核都是“先分后合”。

2.学生活动：观察、比较三种方法，小组讨论它们的共同点。派代表分享发现：“竖式就是把口算的每一步，按顺序从上到下写出来了。”

3.即时评价标准：①能否发现不同方法在算理上的统一性。②表达时能否抓住“分拆”、“合并”等关键词。

4.形成知识、思维、方法清单：

1.5.★算理与算法的统一：所有方法的算理基础相同（乘法的分配律雏形），竖式是其中最优化、最通用的算法模型。理解这种统一，才是真正掌握了知识。“万变不离其宗，无论方法怎么变，‘先分后合’这个核心思想没变。竖式就是这种思想最优雅的‘书写代言人’。”

第三、当堂巩固训练

设计核心：构建分层、变式的训练体系，并提供及时反馈。

1.基础层（全体必做）：完成如23×13，31×12等2-3道标准型竖式计算。重点巩固算法步骤和规范书写。“请像个小老师一样，边写边心里默念步骤。”

2.综合层（多数学生挑战）：①纠错题：出示一道第二部分积位置写错的竖式，让学生诊断并改正。“大家来做小医生，看看这个竖式‘病’在哪里？”②简单情境应用题：如“一箱酸奶有21瓶，学校买了11箱，一共多少瓶？”将计算置于情境中检验。

3.挑战层（学有余力）：开放题：“□□×□□，你能写出多少个乘积是三位数的不进位两位数乘两位数算式？”或探索：“21×14和12×41的积会一样吗？为什么？”激发深度思考。

反馈机制：基础层练习采用全班核对与同桌互查结合；综合层练习通过实物投影展示学生作品，进行集体讲评，重点分析典型错误；挑战层问题作为思考题，请有思路的学生分享，引发集体思维碰撞。

第四、课堂小结

设计核心：引导学生进行结构化总结与元认知反思。

1.知识整合：“今天这节算法探秘之旅，你收获了什么？”鼓励学生用“我学会了……”、“我明白了……”的句式发言。教师适时板书，形成知识网（算理：先分后合，转化思想；算法：步骤清晰，数位对齐）。

2.方法提炼：“我们是怎么发现和掌握这个新算法的？”回顾从点子图操作到竖式抽象的学习路径，强调“数形结合”方法和“大胆尝试、小心求证”的探究态度。

3.作业布置与延伸：

1.4.必做作业（基础性）：完成课本对应练习的5道基本竖式计算题。

2.5.选做作业A（拓展性）：寻找生活中可以用“14×12”这类计算解决的问题，并讲给家人听。

3.6.选做作业B（探究性）：尝试用今天探究的方法，研究“123×11”可以怎样笔算？为下节课（或多位数乘法）埋下思考的种子。“带着问题离开课堂，你的学习就一直在延续。”

六、作业设计

基础性作业：完成练习册指定的5道标准竖式计算题（如：22×13，34×21等）。要求书写规范，步骤完整。旨在巩固算法，形成初步的运算技能自动化。

拓展性作业：“我是家庭采购员”情境任务：设计一份购买水果的清单（如：苹果每盒23元，买12盒；香蕉每把14元，买21把等），列出算式并用竖式计算总价。将计算置于真实的预算情境中，培养学生应用意识和信息处理能力。

探究性/创造性作业：“算法推广猜想卡”：请你猜想，如果是三位数乘两位数（不进位），笔算方法可能会是怎样的？试着用竖式的格式写一个例子（如：123×11），并写下你的猜想步骤。此作业旨在鼓励学有余力的学生进行知识迁移和规律探索，发展模型意识和推理能力。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.核心概念：两位数乘两位数（不进位）笔算。指两个因数都是两位数，且相乘过程中各位数字相乘均不满十，无需进位的情况下的竖式计算方法。

★2.算理基础（转化思想）：将“两位数乘两位数”转化为“两位数乘整十数”和“两位数乘一位数”的组合进行计算。本质是乘法分配律（a×(b+c)=a×b+a×c）的直观应用雏形。

★3.算法步骤（程序性知识）：①相同数位对齐；②用第二个乘数的个位去乘第一个乘数的每一位，得数末位与个位对齐；③用第二个乘数的十位去乘第一个乘数的每一位，得数末位与十位对齐；④把两次乘得的积相加。

◆4.教学重难点解析：难点在于理解步骤③中乘积的对位规则。必须紧扣“数位”意义：十位上的数表示几个“十”，用它去乘，得到的是多少个“十”，因此积的末位（个位上的数字）应对齐十位。可用“乘到哪位，积的末位就对哪位”口诀辅助记忆。

★5.直观模型（点子图）作用：点子图是沟通算理与算法的桥梁。通过圈画点子图，可以将抽象的乘法计算可视化，清晰展示每一步计算对应的实际意义，特别是理解第二部分积的对位原因。

★6.规范书写要求：竖式布局合理，数位严格对齐，等号线用直尺画，两部分积的书写位置清晰分明。良好习惯是正确计算的保障。

◆7.易错点预警：①第二部分积的书写错误（如14×12中，将12十位上的1乘14的结果写成“14”，而非正确对位的“140”的简写形式）。②漏加第二部分积。③数位对位不齐导致计算混乱。

▲8.与口算的联系：竖式是分步口算的简洁记录形式。例如口算14×12=14×10+14×2=140+28=168，分别对应竖式中的第二行积（140）和第一行积（28）。

▲9.算法多样性：除了竖式，还可利用表格法、口算分拆法。引导学生比较发现，其核心思想一致，竖式因其简洁、通用而被广泛使用。

★10.核心素养指向：本课重点发展运算能力（掌握算法、理解算理）、推理意识（从已知推演新知、归纳算法）、几何直观（利用点子图理解算理）。通过探索过程，也渗透了模型意识（建立笔算乘法模型）。

◆11.常见考点：①直接列竖式计算。②解决简单的一步乘法实际问题（求总数）。③在填空题或选择题中，考查对算理的理解（如：竖式中某一步表示的数值是多少）。

▲12.知识拓展：可引导学生思考“交换两个乘数的位置再乘，结果不变”的规律，并与加法交换律类比。为后续学习乘法交换律及验算方法做铺垫。

八、教学反思

假设本课教学已顺利完成，基于预设与生成进行如下复盘：

(一)教学目标达成度证据分析

从“当堂巩固训练”的反馈看，知识目标基本达成：约85%的学生能独立、规范地完成基础层练习，书写步骤清晰；在综合层纠错题中，多数学生能准确指出“第二部分积对位错误”并修正，表明对算理关键点有了理解。能力目标上，学生在“任务二”和“任务五”中表现活跃，能主动尝试竖式记录并比较不同算法，体现了探究与迁移能力。情感与思维目标在小组讨论和分享环节有所体现，学生愿意表达并倾听。然而，思维目标的深度——即所有学生都能自觉用“先分后合”思想解释算法，可能只在部分优秀生中达成，需后续持续强化。

(二)各教学环节有效性评估

1.导入环节：情境真实，问题驱动有效，快速聚焦核心。旧知唤醒环节通过估算和尝试口算，成功进行了“前测”，摸清了学生的认知起点。“点子图”的引入自然流畅，为后续探索铺设了直观道路。

2.新授环节（核心）：“任务链”设计基本实现了支架作用。从“任务一”的操作感知，到“任务二”的尝试记录，再到“任务三”的难点突破，层层递进。特别是利用动态课件将点子图与竖式同步圈画对比，对突破难点起到了决定性作用。“哎呀，老师看到有些同学特别会观察，他们指着点子图在解释呢！”这样的即时评价也激励了学生。但“任务四”的算法归纳略显教师主导，若能引导学生在充分体验后自己总结出步骤，主体性会更突出。

3.巩固与小结环节：分层练习满足了不同需求，纠错题设计针对性强。小结时学生的自主表达，是评估其结构化认知的好机会。作业的分层设计，体现了课内到课外的延伸。

(三)对不同层次学生的课堂表现剖析

1.学优生：他们能迅速理解算理，在“任务二”中可能有创造性的竖式写法，在“任务五”中能深刻洞察不同方法的联系。课堂上，他们需要更具挑战性的任务（如挑战层练习）和充当“小老师”的机会，以避免“思维空转”。

2.中等生：他们是教学的主体受益者。通过清晰的“脚手架”（点子图、步骤演示），他们能逐步跟上节奏，掌握算法。但可能对算理的理解停留在“知道要对齐十位”，深层次的“为什么”仍需在后续练习和个别辅导中巩固。“别急，看着点子图，想想这个‘4’代表的是4个什么？”这样的个别提示对他们很重要。

3.需支持的学生：他们可能在“任务三”理解第二部分积对位时存在困难