2026年中考数学考前冲刺：圆的切线的证明 压轴练习题含答案解析

2026年中考数学考前冲刺：圆的切线的证明压轴练习题含答案解析考试时间：120分钟满分：120分姓名：________准考证号：________第Ⅰ卷选择题（共30分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）

1、已知⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为6cm，则点A在圆的______。

A.内部

B.外部

C.圆上

D.无法判断2、若AB是⊙O的直径，点C在圆上，且∠ACB=90°，则△ABC是______三角形。

A.锐角

B.直角

C.钝角

D.等边3、过圆外一点P作⊙O的切线PA，若PA=8cm，OP=10cm，则⊙O的半径是______。

A.6cm

B.5cm

C.7cm

D.8cm4、已知⊙O的半径为3cm，点P到圆心的距离为4cm，那么过点P的切线长是______。

A.5cm

B.4cm

C.3cm

D.7cm5、已知⊙O中，弦AB的垂直平分线经过圆心，说明AB是______。

A.直径

B.半径

C.非直径的弦

D.弦的一部分6、若直线l是⊙O的切线，切点为A，则OA与l的关系是______。

A.OA与l垂直

B.OA与l平行

C.OA与l相交

D.OA与l无关7、在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，若以A为圆心，AB为半径画圆，则BC与圆的位置关系是______。

A.相离

B.相切

C.相交

D.无法判断8、若圆的切线长是13cm，切点到圆心的距离是5cm，则切线到圆心的距离是______。

A.12cm

B.10cm

C.14cm

D.15cm9、点P在⊙O外，过P作⊙O的两条切线PA、PB，若∠APB=60°，则∠AOB的度数是______。

A.120°

B.60°

C.90°

D.180°10、已知圆心O到直线l的距离为d，若d=r，则直线l是圆的______。

A.弦

B.切线

C.垂线

D.直径第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

11、已知⊙O的半径为5，点P到圆心的距离是10，则点P到⊙O的切线长是________。12、若直线l与⊙O相切于点A，且OA=3，OP=5（P为直线l上一点），则PA的长度是________。13、已知△ABC中，AB=AC=10，BC=12，以A为圆心，AB为半径作圆，则BC边与圆的位置关系是________。14、在⊙O中，弦AB的垂直平分线交AB于点D，交圆于点C，若OD=4，OC=5，那么AB的长度是________。三、解答题（共11小题，计78分）

15、（本题满分5分）计算：1216、（本题满分5分）化简：2x17、（本题满分5分）用尺规作图法作出⊙O的切线，切点为A。18、（本题满分5分）已知一组数据：2，4，5，7，3，4，6，8，求这组数据的中位数和众数。19、（本题满分7分）证明：若PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B，且PA=PB，则OP垂直平分AB。20、（本题满分7分）小明测得一棵树的影长为4m，同时测得一根1m高的标杆影长为0.4m，若太阳光线与地面成30°角，求树高是多少米？21、（本题满分7分）一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点是A，与y轴的交点是B，求AB的长度。22、（本题满分7分）一个袋子里有6个红球和4个白球，从中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。23、（本题满分8分）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，CD为⊙O的切线，∠CAB=30°，OA=5，求CD的长度。24、（本题满分10分）已知⊙O的半径为3，CD是⊙O的切线，点E在CD上，且OE=6，求切线长ED。25、（本题满分12分）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD⊥BC，以A为圆心，AD为半径画圆，求该圆与BC的位置关系，并计算圆心到BC的距离。答案及解析第Ⅰ卷选择题答案：

1.B

2.B

3.A

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.B解析：

1、点P到圆心的距离大于半径，说明点P在圆外。

2、根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角。

3、根据勾股定理，OP²=OA²+PA²→PA=√(OP²-OA²)=√(10²-5²)=√75=5√3cm。

4、由勾股定理可知，PA=√(OP²-OA²)=√(5²-3²)=√16=4cm。

5、弦的垂直平分线经过圆心，说明弦是直径。

6、圆心到切线的距离等于半径，因此OA垂直于切线l。

7、由勾股定理可知，AB为半径，BC为弦，若AB=AC=6，则BC=8，说明BC小于直径，即在圆内。

8、由勾股定理可知，PA=√(OP²-OA²)=√(5²-3²)=√16=4cm。

9、若两条切线PA、PB相等，则OP垂直平分AB。

10、圆心到直线的距离等于半径，说明直线与圆相切。第Ⅱ卷非选择题二、填空题答案：

11.78

12.4

13.相交

解析：

11、通分后：48+68−58=58。

12、由勾股定理可知，PA三、解答题答案：

15.78

16.x2y

17.作图略（作法：以O为圆心，OA为半径作圆，过A作OA的垂线即为切线）

18.中位数：5，众数：4

19.作图略（证明：连接OP，由切线性质知PA=PB，设AB中点为E，OP垂直平分AB）

20.52米

21.5

22.35

23.152cm

24.152解析：

15、通分并计算：48+68−58=58。

16、通分后：2xy−3x2y=4x−3x2y=x2y。

17、具体作图步骤略（关键在于过切点作半径的垂线）。

18、排序后为：2，3，4，4，5，6，7，8，中位数为5，众数为4。

19、作图后，OP垂直平分AB，因为PA=PB，所以OP、AB垂直且OP平分AB。

20、根据相似三角形，树高=1×(4÷0.4)=10