初中数学八年级下册《一次函数在限定区间上的最值问题》探究式教案

初中数学八年级下册《一次函数在限定区间上的最值问题》探究式教案

一、教材与课标分析

【基础】本节课选自人教版八年级下册第十九章《一次函数》，内容是在学生已经掌握了一次函数的图象与性质、二元一次方程组的解法以及不等式（组）的基础之上，对函数应用的进一步深化。从知识体系上看，一次函数是最基础的初等函数，其最值问题是后续学习二次函数、反比例函数最值的基础，具有“启后”的重要作用。从核心素养的培育来看，课程标准强调要引导学生通过探索实际问题中的数量关系，建立函数模型，体会“数形结合”与“模型思想”。本节课不仅要让学生学会求最值的具体方法，更要让学生在变与不变的矛盾中，理解函数作为刻画现实世界变化规律的工具价值，提升学生的几何直观、推理能力和应用意识。

二、学情分析

【重要】八年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已经能够理解一次函数y=kx+b（k≠0）中k对函数增减性的决定性作用，但对于“函数本无最值，最值因范围而生”的哲学意味理解不深。学生在解决实际问题时，往往容易忽略自变量的实际意义（如物品数量为整数、长度为正数等）所导致的取值范围变化，从而在求解最值时出现错误。因此，本节课的教学难点在于引导学生如何从实际情境中准确提炼出自变量的取值范围，并自觉运用数形结合思想，根据函数增减性确定最值。

三、教学目标

1.知识与技能目标：掌握在一次函数解析式已知或可求的情况下，结合自变量的取值范围（特别是闭区间），利用一次函数的增减性求解最大值和最小值的方法。

2.过程与方法目标：经历“问题情境—建立模型—求解验证—解释应用”的探究过程，体会数形结合、分类讨论及模型思想在解决最值问题中的综合运用。

3.情感态度与价值观目标：通过解决生活中优化问题的实例，感受数学的严谨与实用，培养科学决策意识和精益求精的科学态度。

四、教学重难点

1.【难点】教学重点：根据一次函数的增减性和自变量的取值范围，确定函数的最大值和最小值。

2.【难点】教学难点：在实际应用问题中，准确挖掘题目中的隐含条件，确定自变量的取值范围，并能根据一次项系数k的正负进行正确的分类讨论。

五、教学方法与学法指导

采用“问题驱动—自主探究—变式深化”的教学模式。利用多媒体辅助教学，强化几何直观。学法上，指导学生采用“数形结合、以形助数”的方法，动手画草图，动脑想趋势，动口说理由，实现从“学会”到“会学”的转变。

六、教学准备

教师准备：多媒体课件（PPT），几何画板动态演示素材。

学生准备：直尺、铅笔、网格纸。

七、教学实施过程（核心环节）

（一）创设情境，引入新知——从“无界”到“有界”

【热点】问题呈现：学校计划组织八年级师生进行研学活动，需要租车。现有甲、乙两种客车，甲种客车每辆租金400元，乙种客车每辆租金280元。设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元。你能写出y与x的函数关系式吗？

学生活动：很容易写出y=400x+280(10-x)，化简得y=120x+2800。

教师追问1：在这个式子中，y有最大值或最小值吗？（学生根据已有经验：k=120>0，y随x增大而增大，所以x没有限制时，y可以无限大，也可以无限小，没有最值。）

【基础】教师追问2：如果学校只有甲种客车5辆，即x只能取0≤x≤5的整数，那么当x取多少时，总费用最少？最少是多少？当x取多少时，总费用最多？

学生活动：通过列表或代入计算，发现x=0时最少（2800元），x=5时最多（3400元）。

【非常重要】设计意图：通过“无限制”到“有限制”的强烈对比，直击本节课的核心——一次函数最值问题产生的根本原因在于自变量的取值范围限制。从学生熟悉的租车问题入手，将抽象的数学概念具体化，迅速聚焦课堂主题。

（二）探究新知，构建模型——从“具体”到“抽象”

1.探究一：纯数学环境下的最值

【重要】出示例1：已知一次函数y=-2x+3，分别求出当自变量x在下列范围内的函数最大值与最小值。

（1）全体实数；

（2）1≤x≤3；

（3）-2≤x≤1。

学生活动：以小组为单位，利用已学的一次函数性质进行探究。

组内讨论：对于（1），学生明确无最值。对于（2），学生画出草图，由k=-2<0可知函数在全体实数范围内递减，因此在闭区间[1,3]上，当x=1时取最大值y=1，当x=3时取最小值y=-3。对于（3），同理可得当x=-2时取最大值y=7，当x=1时取最小值y=1。

【高频考点】师生共同总结法则：

当k>0时（增函数）：y随x增大而增大→在闭区间[a,b]上，最小值在左端点（x=a），最大值在右端点（x=b）。

当k<0时（减函数）：y随x增大而减小→在闭区间[a,b]上，最大值在左端点（x=a），最小值在右端点（x=b）。

口诀记忆：【非常重要】“k正大小头，k负小大头”。

设计意图：这是求解一次函数最值的根本大法。通过纯数学问题的探究，剥离实际背景的干扰，让学生直接触及最值问题的数学本质——利用单调性进行端点分析。要求学生必须养成“见范围、看趋势、定端点”的思维定式。

2.探究二：含参最值与数形结合

【难点】出示例2：已知一次函数y=(2m+1)x+m-3，当1≤x≤3时，函数值y总是大于0，求m的取值范围。

思路引导：教师引导学生思考，要保证在[1,3]上y>0，只要保证在这个区间上的最小值大于0即可。

但是，这个一次函数的增减性由k=2m+1决定，具有不确定性。

分类讨论：

【重要】第一类：当2m+1>0，即m>-1/2时，函数递增，最小值在x=1处取得。代入得y_min=(2m+1)×1+m-3=3m-2>0，解得m>2/3。结合前提m>-1/2，取交集得m>2/3。

第二类：当2m+1<0，即m<-1/2时，函数递减，最小值在x=3处取得。代入得y_min=(2m+1)×3+m-3=7m>0，解得m>0。这与前提m<-1/2矛盾，无解。

第三类：当2m+1=0，即m=-1/2时，函数变为y=-3.5，为常数函数，此时y=-3.5>0不成立，舍去。

综上所述，m>2/3。

设计意图：本题难度较大，属于代数与几何的综合题。通过此题，突破学生思维的单一性，强化分类讨论意识。让学生深刻理解，最值问题不仅要看范围，还要看函数类型（增减性）。教师在讲解时必须配合几何画板演示直线在坐标系中的动态变化，将抽象的代数条件转化为直观的图形运动。

（三）实践应用，建模解决——从“数学”回归“生活”

【非常重要】【高频考点】1.利润最大问题

出示例3（课本变式题）：某商场欲购进一种纪念品进行销售。若以每件40元的价格购进，这种纪念品每天的销售量y（件）是每件销售单价x（元）的一次函数，其图象经过点（50，100）和（60，80）。

（1）求y与x的函数关系式（不写取值范围）；

（2）若每天销售利润为W元，求W与x的函数关系式；

（3）物价部门规定，该纪念品的销售单价不得超过进价的150%，且每天销售量不能低于40件。求该商场销售这种纪念品每天可获得的最大利润。

学生探究：

第一步：建模型。利用待定系数法求出一次函数y=-2x+200。

第二步：列函数。W=(x-40)·y=(x-40)(-2x+200)=-2x^2+280x-8000。这里出现了二次函数，但可以引导学生思考，在给定范围内，二次函数的一段可能是单调的，从而转化为一次函数思想。

第三步：找范围。根据“销售单价不得超过进价的150%”得x≤60；根据“销售量不能低于40件”得-2x+200≥40，解得x≤80。综合得x≤60。

第四步：求最值。教师引导学生分析二次函数W=-2x^2+280x-8000的开口向下，对称轴为x=70。由于自变量x≤60，且60<70，所以在x≤60的范围内，函数W随x的增大而增大（即在这个区间内具有一次函数的单调递增性）。因此，当x取最大值60时，W取最大值。代入计算得W_max=1600元。

变式思考：如果条件改为“销售量不能低于20件”，即x≤90，此时最大值又在哪里取？（在顶点处，但顶点不在取值范围内？需要结合图象分析边界）。

设计意图：这是一个典型的将一次函数与二次函数嵌套、与实际生活限制条件结合的题目。重点在于第三步“确定自变量范围”和第四步“根据单调性判断最值位置”。让学生体会，数学建模不仅仅是写出函数式，更重要的是对变量“可行域”的精确刻画。

1.【热点】方案设计与最优化

出示例4：A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台。已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元；从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元。

（1）设B市运往C村机器x台，求总运费W（元）关于x的函数关系式。

（2）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？

（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

师生互动：

第一步：列表分析（思维导图，但不用表格呈现，用语言描述逻辑关系）。设从B市运往C村x台，则B市运往D村为(6-x)台；由于C村需要10台，A市运往C村为(10-x)台；D村需要8台，A市运往D村为8-(6-x)=2+x台。这里必须确保所有数量非负，即10-x≥0，6-x≥0，2+x≥0，解得0≤x≤6且为整数。

第二步：建立函数。W=400×(10-x)+800×(2+x)+300×x+500×(6-x)。化简得：W=4000-400x+1600+800x+300x+3000-500x=(-400x+800x+300x-500x)+(4000+1600+3000)=200x+8600。所以W=200x+8600。

第三步：根据第一问（求函数关系式，不写范围）和第二问（总运费不超过9000元）的引导，我们要求第三问的最低运费。

第四步：求最值。由k=200>0，知W随x的增大而增大。结合自变量的取值范围（0≤x≤6且为整数），当x取最小值0时，W取最小值8600元。

调运方案为：x=0，即B市运往C村0台（即B市全部6台运往D村）；A市运往C村10台，运往D村2台。

设计意图：这是经典的“调运问题”，是考查学生综合能力的压轴题型。整个过程分为“设元—列表分析—建立模型—确定范围—利用性质求解”五步。其中，列表分析是难点，教师需手把手引导学生理清各个变量之间的制约关系，强调“非负性”是确定自变量范围的根本依据。此题完美体现了数学建模的全过程，也是中考的热点素材。

（四）变式拓展，思维升华——从“定值”到“动点”

【热点】出示例5（几何与代数综合）：如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B。直线l2:y=-2x+8与x轴交于点C，与y轴交于点D。P为线段BD（包括端点）上一动点，过点P作x轴的平行线，交线段AB于点Q。设点P的横坐标为m。

（1）求点B、D的坐标及线段BD所在直线的解析式。

（2）用含m的代数式表示线段PQ的长度d。

（3）求当m为何值时，线段PQ的长度d取得最大值或最小值，并求出最值。

学生探究：

第一步：求坐标。B(0,2)，D(0,8)，BD是垂直的？注意审题：P在线段BD上，且横坐标为m，说明BD不是垂直的？经过计算B(0,2)，D(3,2)？这里要纠正：y=-2x+8，令x=0得D(0,8)；y=x+2，令x=0得B(0,2)。所以B和D都在y轴上？那BD线段就在y轴上，这就不存在“过P作x轴平行线”了。所以题目有误，应调整为直线l1与x轴交于A(-2,0)，与y轴交于B(0,2)；直线l2与x轴交于C(4,0)，与y轴交于D(0,8)。这样B和D都在y轴上，BD确实是线段在y轴上。但这样P在BD上（纵坐标从2到8），横坐标m始终为0，那就没意思了。因此，此题需要改编：将条件改为“P为线段CD（或BC）上一动点”。

为了教学效果，我们调整为：P为线段BC上一动点（B(0,2),C(4,0)），过P作x轴平行线交AB于Q。

此时，学生需要：

（1）求BC解析式（利用B、C两点坐标）。

（2）设P(m,n)在BC上，则n满足BC解析式。过P作PQ∥x轴，则Q的纵坐标也为n，Q在AB上，从而求出Q的横坐标。

（3）线段PQ的长度即为两点横坐标之差的绝对值（由图象可知Q在P左侧，故PQ=x_Q-x_P）。

（4）得到d关于m的一次函数（或分段函数，视具体情况），结合m的取值范围，利用一次函数性质求最值。

设计意图：这是一道学科内的综合压轴题，将一次函数最值与几何动点问题相结合，极大地考验了学生的“数形结合”能力和“转化”思想。学生需要将几何条件（平行于x轴）转化为代数条件（纵坐标相等），从而建立函数关系。此题作为课堂的“拔高”环节，旨在让优等生“吃得饱”，同时通过教师的启发，让中等生也能感受到几何问题代数化的魅力。

（五）总结反思，构建网络

【基础】师生共同总结本节课的收获：

1.一个前提：自变量有取值范围（特别是闭区间）是一次函数存在最值的前提条件。

2.两大法宝：数形结合（画草图看趋势）、分类讨论（根据k的正负决定增减性）。

3.三个步骤：一设（变量）、二列（函数与范围）、三求（利用性质求最值）。

4.四点注意：实际问题要检验是否符合实际（如人数为整数，长度为正数）；注意端点的开闭；区分最大值与最小值；弄清是求函数值最值还是其他量（如线段长、面积）的最值。

八、板书设计

左侧：核心知识区（最值法则：k>0，小大小；k<0，大小小）

中间：