湖北恩施土家族苗族自治州恩施高中教学联盟2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

2026年春季学期高一年级开学考试数学试卷考试时间：2026年2月27日下午15：3017：30注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据真数要大于0和集合交集的运算法则即可求解．【详解】，故．故选：D．2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数值，即可判断选项.【详解】若，则，，若，，则，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形面积公式计算即可得解.【详解】由扇形面积公式（其中为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环面积.故选：A4.一元二次不等式的解为，那么的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【详解】一元二次不等式的解为，所以的解为，且，由韦达定理得，代入得，故选：D.5.已知函数，记，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，运用对数的运算，将三个自变量化简到内，最后利用单调性、奇偶性比较大小.【详解】因为函数，定义域为，而且所以为偶函数，因为时，在上单调递增；，因为，所以，所以，所以.故选：C.6.已知函数，则下列不正确的为（）A.的定义域是 B.有最大值C.不等式的解集是 D.在上单调递减【答案】C【解析】【详解】因为，由，解得，所以的定义域是，故A正确；，因的对称轴为直线，其图象在上递增，在上递减，又在上单调递增，故在上递增，在上递减，所以的最大值为，故B、D正确；，即所以解得，故C错误.7.已知函数的值域为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解值域，结合的值域为，分析的单调性、值域即可得解.【详解】因为函数在上单调递增，故，又因为的值域为，则的值域包含，所以，解得.故选：D.8.已知函数，若对任意的正实数，满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知等式构造新函数，结合新函数单调性和对称性、基本不等式进行求解即可.【详解】构造新函数，因为，所以函数的图象关于点对称，，设是任意两个实数，且，，因为，所以，，所以，即，所以函数是实数集上的增函数，，因为函数是实数集上的增函数，且函数的图象关于点对称，所以，，因为，是两个正实数所以，即，当且仅当时等号成立，即，即当时，有最小值，故选：C二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.(多选)已知函数（且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】先根据对数函数的图象求出定点的坐标，再根据三角函数的定义求出和的值即可求解.【详解】因为函数的图象经过定点，所以或，当点在角的终边上时，，，此时，B正确；当点在角的终边上时，，，此时，D正确；故选：BD10.下列选项中说法正确的有（）A.已知命题P：，，则为，B.函数的值域为C.函数的定义域为，则函数的定义域为D.若函数的值域为R，则实数a的取值范围是【答案】AB【解析】【详解】A.命题P：，，则为，，故A正确；B.设，，所以，所以函数的值域为，故B正确；C.由复合函数的定义域可知，，得，所以函数的定义域为，故C错误；D.当时，的值域为，当时，若函数的值域为R，则，，综上可知，的取值范围是，故D错误.11.已知，为正实数，且，则（）A.的最小值为1 B.的最小值为4C.的最大值为4 D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】由，得到，再结合基本不等式逐项判断即可.【详解】由得，则，当且仅当时，取等号，A正确，，当且仅当时，取等号，B正确，，即，又，为正实数，得，则的最大值为2，C错误，由，得且，即，所以当且仅当时，取等号，故D正确，故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的图象过定点，且点在指数函数图象上，则__________.【答案】【解析】【分析】由对数函数的图象可得，故可求的解析式，根据对数的运算即可求解.【详解】在中，令,可得,故.设,由题意可得,解得.所以，.故答案为:.13.已知，则的值为______．【答案】【解析】【分析】由诱导公式可得，，且，代入可得到答案.【详解】因为，，所以，，所以．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、凑角的应用，涉及到同角三角函数的基本关系，关键点是利用，转化求值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.14.已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据单调性的定义得，在上为减函数，不等式化为，利用单调性得，解一元二次不等式即可．【详解】对于，，有，，所以．所以函数在上为减函数．令，易得其在上为减函数．由，得．由，得，所以，即，得或．故不等式的解集为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用换底公式、指数幂的运算性质化简可得所求代数式的值；（2）利用诱导公式化简得出的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值.【详解】（1）原式；（2），故.16.设，.（1）解关于x的不等式；（2）设命题p：，，若为真命题，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）对进行因式分解，得到，再分别对与进行讨论，求解即可.（2）法一：因为为真命题，故对，，分别对与进行讨论求解即可.法二：分离参变量，利用基本不等式求解的最小值.【小问1详解】，即，当时，此时不等式的解集为解方程得或，当时，，则不等式解集为；当时，，则不等式解集为；当时，，则不等式解集为；当时，，则不等式解集为，综上，当时，此时不等式的解集为当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为【小问2详解】因为为真命题，故对，，即，法1：当，即时，函数在上单调递增，故对，，满足条件；当，即时，则，解得，综上，实数的取值范围是法2：因为，所以，又，所以，所以，又，当且仅当，即时取“”.所以，所以实数的取值范围是.17.某科技公司为提高研发速度，计划建造一个高为3米，宽度为米，地面面积为80平方米的长方体形状的实验室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案．方案一：实验室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计9600元，总报价记为P；方案二：其给出的整体报价为元（）．（1）若当宽度为6米时，方案二的报价为28000元，求实数m的值；（2）求P的函数解析式，并求总报价P的最小值；（3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求实数m的取值范围．【答案】（1）20（2）；最小值（3）【解析】【分析】（1）根据给定函数代入计算即得；（2）根据题意求出实验室墙面面积，然后可求的解析式，再利用基本不等式求最值；（3）依题列出不等式，再参变分离，将问题转化为，接着利用基本不等式求函数的最小值即得.【小问1详解】因宽度为6米时，方案二的报价为28000元，且，则，解得，所以的值为20.【小问2详解】设底面长为，由题意易得，故墙面面积为，则，因，则，当且仅当时取等，即总报价P的最小值为.【小问3详解】对任意的时，方案二都比方案一省钱，即时，恒成立，整理得，设，，因，则，，当且仅当，即时，取得最小值，故，又，则，所以若对任意的时，方案二比方案一省钱，则的取值范围为.18.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1），（2）函数在上为单调递增函数；证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由定义在R上的奇函数，可得和，解得a与b，检验可得所求值；（2）由指数函数的单调性可判断的单调性；（3）由的奇偶性和单调性，可得当时，，即恒成立，可得所求范围．【小问1详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，即①；又因为，所以，即②，联立①②可得：，解得，代入①可得：，经检验，当，时，，满足题意.【小问2详解】由（1）可得：，下面证明函数在R上为单调递增函数.，，当时，，因为，且为R上的增函数，所以，则，所以，即，所以函数在R上为单调递增函数；【小问3详解】因为当时，不等式恒成立，所以当时，不等式恒成立，由函数在R上为单调递增函数得：当时，，即恒成立，令，，则当即时，函数上单调递增，所以，所以即或，所以；当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；当即时，函数在上单调递减，所以，所以，所以或，所以，综上，实数t的取值范围为.【点睛】关键点点睛：不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值问题，求最值的方法，常用单调性求最值，基本不等式求最值.19.已知函数满足，函数．（1）求函数解析式；（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解；（2）首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题；（3）根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解.【小问1详解】因为①，则②，故联立上述方程，解得；【小问2详解】由（