2026年数字信号处理考试试卷及答案

2026年数字信号处理考试试卷及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知离散时间信号x[n]=δ[n]+2δ[n-1]，其Z变换X(z)为A.1+2zB.1+2z⁻¹C.1-2z⁻¹D.2+z⁻¹答案：B2.对连续信号x(t)=cos(2π·1000t)以采样频率f_s=1.5kHz进行理想采样，所得序列的归一化数字频率ω为A.2π/3B.4π/3C.π/3D.3π/2答案：A3.设线性时不变系统的单位脉冲响应h[n]=0.5ⁿu[n]，则该系统是A.因果且稳定B.非因果但稳定C.因果但不稳定D.非因果且不稳定答案：A4.若N点序列x[n]的DFT为X[k]，则序列x[((-n))_N]的DFT为A.X[k]B.X[k]B.X[k]C.X[N-k]D.X[N-k]D.X[N-k]答案：D5.采用双线性变换将连续滤波器H_c(s)=1/(s+1)转换为数字滤波器，设T=1s，则数字系统函数H(z)为A.(1+z⁻¹)/(1-z⁻¹)B.(1-z⁻¹)/(1+z⁻¹)C.0.5(1+z⁻¹)/(1-0.5z⁻¹)D.0.5(1-z⁻¹)/(1+0.5z⁻¹)答案：C6.对实序列x[n]做N点FFT，其输出X[k]满足A.X[k]=X[N-k]B.X[k]=X[N-k]B.X[k]=X[N-k]C.X[k]=-X[N-k]D.X[k]=-X[N-k]D.X[k]=-X[N-k]答案：B7.在定点DSP中，为防止IIR滤波器溢出，最常用的一种缩放策略是A.L₂范数缩放B.L₁范数缩放C.L_∞范数缩放D.白噪声增益缩放答案：C8.设x[n]长度为L，h[n]长度为M，若采用重叠保留法进行线性卷积，则FFT点数N应满足A.N≥L+M-1且为2的幂B.N≥L且为2的幂C.N≥M且为2的幂D.N≥L+M答案：A9.下列窗函数中，主瓣宽度最窄的是A.矩形窗B.汉宁窗C.汉明窗D.布莱克曼窗答案：A10.若一个FIR滤波器具有线性相位，其单位脉冲响应h[n]满足A.h[n]=h[N-n]B.h[n]=-h[N-n]C.h[n]=h[N-n]C.h[n]=h[N-n]D.h[n]=-h[N-n]D.h[n]=-h[N-n]答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分；每题至少有两个正确答案，多选少选均不得分）11.下列关于采样定理的描述正确的是A.带限信号最高频率为f_H，则采样频率f_s>2f_H即可无失真恢复B.欠采样一定导致频谱混叠C.过采样可提高信噪比D.带通采样允许f_s<2f_H答案：ACD12.下列关于FFT算法的说法正确的是A.按时间抽取基2FFT要求序列长度N为2的幂B.按频率抽取基2FFT原位运算需要输入倒序输出顺序C.FFT计算量O(Nlog₂N)D.分裂基算法乘法次数少于基2算法答案：ACD13.下列关于IIR滤波器结构的说法正确的是A.直接Ⅱ型比直接Ⅰ型节省延迟单元B.级联型对系数量化敏感度低于直接型C.并联型便于实现高阶窄带滤波器D.格型结构对有限字长效应鲁棒性强答案：ABD14.下列关于多速率信号处理的说法正确的是A.抽取前必须加抗混叠滤波B.插值后必须加镜像抑制滤波C.多相分解可降低计算复杂度D.半带滤波器适合用于2倍抽取答案：ABCD15.下列关于自适应滤波器LMS算法的说法正确的是A.收敛速度与步长μ成正比B.稳态误差随μ增大而增大C.输入信号自相关矩阵特征值分散度越大收敛越慢D.归一化LMS可缓解梯度噪声放大答案：BCD三、填空题（每空2分，共20分）16.序列x[n]=e^{j(0.25πn+π/4)}的数字频率为________rad/sample。答案：0.25π17.已知X(z)=1/(1-0.5z⁻¹)，|z|>0.5，则x[0]=________。答案：118.8点按时间抽取基2FFT共有________级蝶形运算。答案：319.用窗函数法设计N阶FIR低通滤波器，若要求过渡带宽度Δω≤0.04π，则最小窗长度N≥________。答案：10020.设信号采样率48kHz，进行M=3倍抽取后，新采样率为________kHz。答案：1621.若IIR滤波器H(z)=(1+z⁻¹)/(1-0.9z⁻¹)，其直流增益为________dB。答案：20log₁₀(20)≈26.0222.已知序列x[n]={1,2,3,4}，其4点DFTX[k]中X[0]=________。答案：1023.采用8bit定点补码表示，量化步长q=2⁻⁷，则信号功率与量化噪声功率比的理论最大SNR≈________dB。答案：6.02×8+1.76≈49.9224.设自适应滤波器最优维纳权向量为w_o，则其满足________方程。答案：Rw_o=p25.若多相分解将滤波器H(z)分为4支，则第0支多相分量E₀(z)的系数为h[________]。答案：4k四、简答题（每题6分，共18分）26.简述双线性变换法设计IIR数字滤波器时频率轴出现的非线性畸变，并给出预畸变公式。答案：双线性变换将s平面虚轴压缩到z平面单位圆，导致数字频率ω与模拟频率Ω呈非线性关系ω=2arctan(ΩT/2)。为抵消畸变，设计时将临界模拟频率Ω_c预畸变为Ω_c'=2/Ttan(ω_c/2)，再对H_c(s)进行变换。27.说明利用重叠保留法计算长序列线性卷积的步骤，并指出其相比直接卷积的优势。答案：步骤：1)将长输入分成长L的段，每段前补M-1个旧样点，总长N=L+M-1；2)对h[n]补零至N点，计算其N点FFT得H[k]；3)每段计算N点FFT得X_i[k]，乘Y_i[k]=X_i[k]H[k]，再做IFFT；4)丢弃每段前M-1点，拼接剩余L点。优势：利用FFT将O(N²)卷积降为O(NlogN)，适合实时处理。28.解释FIR滤波器线性相位条件h[n]=±h[N-n]对零点位置的约束，并给出TypeⅡ滤波器在z=-1处必存在零点的证明。答案：线性相位使H(z)=±z⁻ᴺH(z⁻¹)，故若z₀为零点，则1/z₀亦为零点。TypeⅡ：N为奇数，h[n]=h[N-n]，则H(-1)=Σh[n](-1)ⁿ=Σ_{n=0}^{(N-1)/2}h[n][(-1)ⁿ+(-1)^{N-n}]=0，因N-n与n奇偶性相反，括号内为零。五、计算题（共47分）29.（8分）已知序列x[n]=u[n]-u[n-4]，系统h[n]=0.8ⁿu[n]，求输出y[n]=x[n]h[n]的闭式表达式。29.（8分）已知序列x[n]=u[n]-u[n-4]，系统h[n]=0.8ⁿu[n]，求输出y[n]=x[n]h[n]的闭式表达式。答案：y[n]=Σ_{k=0}^{min(n,3)}0.8^{n-k}=0.8ⁿΣ_{k=0}^{min(n,3)}(1.25)^k当0≤n≤3：y[n]=0.8ⁿ(1.25^{n+1}-1)/(1.25-1)=4(1.25^{n+1}-1)0.8ⁿ=4(1.25-0.8ⁿ)当n≥4：y[n]=0.8ⁿ(1.25⁴-1)/0.25=4·0.8ⁿ(2.4414-1)=5.7656·0.8ⁿ30.（10分）用窗函数法设计一个FIR高通滤波器，要求：通带边缘ω_p=0.6π，阻带边缘ω_s=0.5π，阻带衰减A_s≥50dB。(1)选择合适窗函数并给出阶数N；(2)写出理想高通脉冲响应h_d[n]表达式；(3)给出实际滤波器h[n]表达式。答案：(1)汉明窗满足A_s=53dB，过渡带Δω=0.1π，查表得N≈6.6π/Δω=66，取N=66（阶数65）。(2)理想截止ω_c=(ω_p+ω_s)/2=0.55π，h_d[n]=δ[n]-sin(0.55π(n-33))/(π(n-33))，n≠33；h_d[33]=1-0.55。(3)h[n]=h_d[n]·w[n]，w[n]=0.54-0.46cos(2πn/66)，0≤n≤66。31.（9分）给定系统函数H(z)=1/(1-1.2z⁻¹+0.36z⁻²)，输入x[n]=cos(0.5πn)，求稳态输出y[n]。答案：极点z=0.6（二阶），系统稳定。H(e^{j0.5π})=1/(1-1.2e^{-j0.5π}+0.36e^{-jπ})=1/(1+1.2j-0.36)=1/(0.64+1.2j)=0.581∠-61.93°。故y[n]=0.581cos(0.5πn-61.93°)。32.（10分）设计一个二阶IIR陷波器，抑制f₀=1kHz，采样率f_s=8kHz，3dB带宽Δf=100Hz。(1)计算数字零点角度ω₀与极点半径r；(2)给出系统函数H(z)；(3)画出级联型结构，标出系数。答案：(1)ω₀=2π·1/8=π/4，带宽B=2π·100/8000=π/40，r=1-π/80≈0.9608。(2)H(z)=b₀(1-2cosω₀z⁻¹+z⁻²)/(1-2rcosω₀z⁻¹+r²z⁻²)，b₀=(1+r²)/2≈0.980，H(z)=0.980(1-1.4142z⁻¹+z⁻²)/(1-1.358z⁻¹+0.923z⁻²)。(3)级联型：第一节H₁(z)=0.980(1-1.4142z⁻¹+z⁻²)，第二节H₂(z)=1/(1-1.358z⁻¹+0.923z⁻²)，延迟单元共享。33.（10分）考虑多速率系统：输入x[n]采样率16kHz，先进行L=3插值，再经H(z)低通滤波，最后M=4抽取。(1)画出完整框图并标出各点采样率；(2)若H(z)为FIR，长度为N=120，用多相分解实现，计算每秒所需乘法次数；(3)若改用半带滤波器+二级抽取结构，给出第一级半带滤波器指标。答案：(1)x→16kHz→↑3→48kHz→H(z)→48kHz→↓4→12kHz→y。(2)多相：插值侧多相3支，每支40阶，输出48kHz，每秒乘法48000×40=1.92M；抽取侧多相4支，每支30阶，输入48kHz，但仅计算输出样点12kHz，每秒乘法12000×30=0.36M；合计2.28M。(3)第一级半带：f_s=16kHz，通带0-4kHz，阻带4-8kHz，δ_p=0.01，δ_s=0.001，阶数≈47。六、综合设计题（共20分）34.某音频降噪系统需实时滤除50Hz及其二次谐波100Hz干扰，采样率f_s=1kHz，要求：(1)设计级联型双二阶IIR陷波器，给出每级系数（用5位定点Q0.15格式量化后）；(2)评估量化后极点偏移是否仍在单位圆内；(3)给出DSP实现流程图，含DMA双缓冲、CMSIS-DSP函数调用。答案：(1)第一级：f₀=50Hz，ω₀=2π·0.05=0.1π，r=0.98，H₁(z)=0.990(1-2cos0.1πz⁻¹+z⁻²)/(1-1.96cos0.1πz⁻¹+0.9604z⁻²)，量化：cos0.1π≈0.9511→31000×0.9511≈29484→0