专题01 勾股定理 复习讲义（学生版+答案版）2025-2026年八年级数学上学期新教材北师大版【广东专用】

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题01勾股定理地地城题型01勾股定理解三角形1．(24-25八上·广东揭阳·期中)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则A．122020 B．122021 C．2．(24-25八上·广东佛山顺德区容桂街道·期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=2，A．2 B．3 C．2 D．53．(24-25八上·广东深圳龙华区外国语学校·期中)如图、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为边在△ABC外作正方形，其面积为36，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为16，过点B作BD⊥AC交AC于点D，则AD=（

A．165 B．92 C．184．(24-25八上·广东梅州兴宁实验学校教育集团·期中)△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13，过A作AH⊥BC，垂足为H，求AH的长．5．(24-25八上·广东深圳33校联考·期中)小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．如图，点A处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度AB，已知小聪的身高为1.8米，当他走到离门2.4米时（BC=2.4米），感应门自动打开，即AB=AD，求感应器的离地高度AB为多少米？6．(24-25八上·广东深圳龙岗区华附集团校·期中)在△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，设△ABC的面积为s，周长为l，探索sl与a+b−c(1)填表：abca+b−cs3455121381517(2)分析后猜想：若设a+b−c=m（m为正实数），则sl=_______（用(3)请写出（2）中结论的推导过程．abca+b−cs345212512134181517632地地城题型02直角三角形边长与图形面积1．(24-25八上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，BC=13，以AC为边作正方形ACED，则S正方形ACEDA．56 B．8 C．28 D．562．(24-25八上·广东深圳光明区实验学校·期中)如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3．(24-25八上·广东梅州五华县·期中)如题图，Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=24，AB=25时，则阴影部分的面积为4．(24-25八上·广东深圳深圳高级中学·期中)小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．(1)如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，分别以AC、BC(2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，OC=5，求该飞镖状图案的面积．地地城题型03勾股数问题1．(24-25八上·广东深圳福田区外国语学校（集团）·期中)下面四组数中是勾股数的一组是（

）A．6，8，9 B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．2，3，42．(24-25八上·广东佛山南海区狮山镇·期中)下列为勾股数的是（）A．13，14，15 B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，3．(24-25八上·广东佛山第三中学初中部·期中)下面四组数中是勾股数的一组是（

）A．62，82，10C．1.5，2，2.5 D．3，4，54．(24-25八上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)我们知道，若一组勾股数为3，4，5，则32=4+5；若一组勾股数为5，12，13，则52=12+13；若一组勾股数为7，24，25，则72=24+25；若一组勾股数为9，40，41，则92=40+41．若一组勾股数为13，b，A．−83 B．−84 C．−85 D．−865．(24-25八上·广东梅州兴宁实验学校教育集团·期中)若直角三角形的三边长为3,4,m，则m2的值为（

A．10 B．7 C．25 D．25或7地地城题型04勾股定理的证明方法1．(24-25八上·广东清远·期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（

）A． B． C． D．2．(24-25八上·广东茂名·期中)在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：(a+b)2，也可表示为：c即(a+b)2=c

(1)请你用图（II）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；(2)请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证(x+y)2(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：x+px+q3．(24-25八上·广东佛山南海区狮山镇·期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：①a2②b与c的关系为______，a与d的关系为______．地地城题型05判断能否构成直角三角形1．(24-25八上·广东深圳深圳中学初中部·期中)在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，则下列结论正确的是（

）A．△ABC是直角三角形，且∠A=90°B．△ABC是直角三角形，且∠B=90°C．△ABC是直角三角形，且∠C=90°D．△ABC不是直角三角形2．(24-25八上·广东深圳33校联考·期中)下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（

）A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，24，253．(24-25八上·广东揭阳·期中)一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为．地地城题型06勾股定理与网格问题1．(24-25八上·广东深圳·期中)如图，△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为（

）A．195 B．4 C．175 2．(24-25八上·广东茂名电白区·期中)如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点B到线段AC的距离为（

）A．7105 B．755 C．3．(24-25八上·广东佛山南海区·期中)问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为13，10，5，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．

(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上；(2)若△DEF三边的长分别为2，5，5，请利用右图的正方形网格（每个小正方形的边长为1）在第四象限画出相应的△DEF；(3)在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A4．(24-25八上·广东深圳福田区红岭教育集团·期中)在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A1与A、B(2)已知点P是x轴上任意一点，则PB+PC的最小值是．(3)△ABC的面积是．5．(24-25八上·广东佛山顺德区德胜学校·期中)综合运用：“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5,10,13，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求(1)直接运用：①请直接写出图1中△ABC的面积为____________；②请在图2中画出一个面积为10且顶点都在格点上的等腰直角三角形；(2)若△MNP的边长分别为m2+16n2,9m2+4(3)拓展应用：求代数式x26．(24-25八上·广东佛山顺德区伦教街道·期中)小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1）【思考尝试】（1）如图（1），线段AB的长为6，请以AB为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点）【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长．【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为a、b的两个正方形ABCD和BEFG摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形．地地城题型07勾股定理与折叠问题1．(24-25八上·广东揭阳揭西县·期中)如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是2．(24-25八上·广东佛山顺德区容桂街道·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC上，把△ABC沿直线AD折叠，使得点B的对应点B'落在AC的延长线上，则CD=3．(24-25八上·广东深圳莲花中学·期中)如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知AD=15，AB=9．(1)求BF的长;(2)求阴影部分的面积．4．(24-25八上·广东深圳罗湖区罗湖外语初中学校·期中)如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'位置，AB'与CD交于点E，且AB=8，AD=4．(1)求证：AE=EC；(2)求EC的长；(3)点P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H．请直接写出PG+PH的值．地地城题型08求旗杆高度勾股定理的应用1．(24-25八上·广东深圳宝安区新安中学（集团）·期中)如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB=1.3米，小狗的高CD=0.3米，小狗与小方的距离AC=2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长．2．(24-25八上·广东佛山南海区平洲第二初级中学·期中)在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内．(1)求风筝离地面的垂直高度CD；(2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明．3．(24-25八上·广东佛山顺德区德胜学校·期中)综合与实践：某校开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：课题测量学校旗杆的高度工具绳子、皮尺等测量示意图说明：如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度BC．如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离FD，以及点D到旗杆AB的距离BD．测量数据测量项目数值图1中BC的长度2米图2中FD的长度1米图2中BD的长度9.6米(1)根据以上测量结果，请求学校旗杆AB的高度；(2)若BC=a，FD=b，BD=c请用关于a，b，4．(24-25八上·广东深圳宝安中学（集团）初中部·期中)为测量学校旗杆的高度，八年级1班的学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题：测量工具含45°角的直角三角板、足够长的皮尺方案一方案二方案三测量方案示意图设计方案及测量数据在地面确定点C，并测得∠ACB=45°小明站在距离旗杆2.4m的点D处，眼睛距离地面1.6m，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线BD垂直移动一高为4m的竹竿EF，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆12.8m．如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得BC=5m任务一判断分析（1）在方案一中，要确定旗杆的高度应测量_________的长度，请说明理由：_________；任务二推理计算（2）请在方案二或方案三中任选一个方案，并根据测量数据，求旗杆的高度AB．地地城题型09水杯中筷子问题勾股定理的应用1．(24-25八上·广东深圳南山实验教育集团·期中)如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径BC为9cm，内壁高为12cm，则这支铅笔的长度可能是（A．1.9cm B．12cm C．15cm2．(24-25八上·广东揭阳·期中)如图，玻璃杯的底面半径为4cm，高为6cm，有一只长13cmA．1cm B．2cm C．3cm3．(24-25八上·广东深圳·期中)如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则hA．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm4．(24-25八上·广东深圳·期中)如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．5．(24-25八上·广东清远·期中)《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为尺．（1丈＝10尺）地地城题型10航海问题勾股定理的应用1．(24-25八上·广东深圳·期中)如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？2．(24-25八上·广东佛山·期中)如图，明明在距离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．若明明收绳6m后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？3．(24-25八上·广东深圳·期中)如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东60°方向距离15海里的B处有一艘走私船，以16海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？4．(24-25八上·广东深圳南山区深圳大学附属中学·期中)港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长55km，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，开始时绳子BC的长为

(1)若工作人员以1.5m/s的速度收绳，4s后船移动到点(2)若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，105．(24-25八上·广东梅山·期中)在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．

(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．地地城题型11求最短路径勾股定理的应用1．(24-25八上·广东佛山三水区·期中)一个圆柱底面周长为16cm，高为6cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（

A．273 B．10 C．14 2．(24-25八上·广东深圳南山区深圳湾学校·期中)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40πm的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（A．25 B．573 C．35 D．3．(24-25八上·广东深圳福田区外国语学校（集团）·期中)如图，长方体的长为3，宽为2，高为5，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到A点斜对角的B点处吃食物，那么它爬行最短路程是．4．(24-25八上·广东深圳深圳中学初中部·期中)如图，正方体的棱长为10，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是．5．(24-25八上·广东梅州兴宁第一中学·期中)如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．A．

B．

C．

D．(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？(3)现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm6．(24-25八上·广东茂名龙岭教育共同体·期中)动手操作：（1）如图1，把矩形AA'B'B卷成以AB探究与发现：（2）如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部（3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？7．(24-25八上·广东佛山顺德区容桂街道·期中)综合与实践【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1，A和B是一个台阶两个相对的端点．【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB=；（直接写出答案）【变式探究】（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）8．(24-25八上·广东深圳龙华区新华中学教育集团·期中)【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（π取3）素材1：如图1，圆柱体的高AC为12cm，底面直径BC为6cm，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12+6=18cm．将圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是cm；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线素材2：如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6cm，高为10（1）两种路线路程的长度如表所示（单位：cm）：圆柱高度沿路线一路程x沿路线二路程y比较x与y的大小511106x>y41097x>y3a3b（2）填空：表格中a的值是；表格中b表示的大小关系是；（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？专题01勾股定理地地城题型01勾股定理解三角形1．(24-25八上·广东揭阳·期中)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则A．122020 B．122021 C．【答案】B【详解】解：由题意得，第一个正方形的边长为2，则S1∵△DEC是等腰直角三角形，∴DC=2∴第二个正方形的边长为DE=DC∴S2∵△FGH是等腰直角三角形，∴第三个正方形的边长为22∴S3同理可得，第四个正方形的边长为12∴S4⋯，∴第n个正方形的边长为2×2∴Sn∴S2024故选：B．2．(24-25八上·广东佛山顺德区容桂街道·期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=2，A．2 B．3 C．2 D．5【答案】D【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∴AB=A故选：D．3．(24-25八上·广东深圳龙华区外国语学校·期中)如图、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为边在△ABC外作正方形，其面积为36，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为16，过点B作BD⊥AC交AC于点D，则AD=（

A．165 B．92 C．18【答案】C【详解】解：如图，∵以AB为边在△ABC外作正方形，其面积为36，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为16，∴AB2=36∴AB=6，B∴BC=8,∵∠ABC=90°∴AC=B∵∠ABC=90°,BD⊥AC,∴S△ABC=∴BD=AB⋅BCAC∴AD=故选：C．4．(24-25八上·广东梅州兴宁实验学校教育集团·期中)△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13，过A作AH⊥BC，垂足为H，求AH的长．【答案】AH的长为12【详解】解：设BH=x，则HC=14−x，∵AH⊥BC，∴∠AHB=∠AHC=90°，在Rt△AHB和Rt△AHC中，由勾股定理得：即152解得：x=9，即BH=9，由勾股定理得：AH=A故AH的长为12．5．(24-25八上·广东深圳33校联考·期中)小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．如图，点A处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度AB，已知小聪的身高为1.8米，当他走到离门2.4米时（BC=2.4米），感应门自动打开，即AB=AD，求感应器的离地高度AB为多少米？【答案】感应器的离地高度AB为2.5米【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意得，BC=DE=2.4米，CD=BE=1.8米，设AB=AD=x米，则AE=x−1.8在Rt△ADEAD即x2解得x=2.5，所以AB=2.5米，答：感应器的离地高度AB为2.5米．6．(24-25八上·广东深圳龙岗区华附集团校·期中)在△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，设△ABC的面积为s，周长为l，探索sl与a+b−c(1)填表：abca+b−cs3455121381517(2)分析后猜想：若设a+b−c=m（m为正实数），则sl=_______（用(3)请写出（2）中结论的推导过程．【答案】(1)见解析(2)m(3)见解析【详解】（1）解：当a=3，b=4，c=5时，a+b−c=3+4−5=2，当a=5，b=12，c=13时，a+b−c=5+12−13=4，当a=8，b=15，c=17时，a+b−c=8+15−17=6，填表如下：abca+b−cs345212512134181517632（2）解：由（1）可猜想sl故答案为：m（3）证明：∵a+b+c=l，a+b−c=m，∴a+b+ca+b−c∴a2∵a2∴2ab=lm，∵12∴2ab=4s，∴4s=lm，故sl地地城题型02直角三角形边长与图形面积1．(24-25八上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，BC=13，以AC为边作正方形ACED，则S正方形ACEDA．56 B．8 C．28 D．56【答案】D【详解】解：S正方形故选：D．2．(24-25八上·广东深圳光明区实验学校·期中)如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S【答案】5【详解】解：在Rt△ABC中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3即S3∵S3∴S2∴阴影部分的面积为12∴阴影部分的面积为5，故答案为：5．3．(24-25八上·广东梅州五华县·期中)如题图，Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=24，AB=25时，则阴影部分的面积为【答案】84【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=24，AB=25由勾股定理得：BC=A∴阴影部分的面积：S=1故答案为：84．4．(24-25八上·广东深圳深圳高级中学·期中)小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．(1)如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，分别以AC、BC(2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，OC=5，求该飞镖状图案的面积．【答案】(1)13(2)120【详解】（1）解：阴影部分的面积为12（2）解：∵四个直角三角形全等，外围轮廓（实线）的周长为80，∴AB+AC=20，OC=OB=5，∵△OAB是直角三角形，∴OB2+OA解得：AC=7，∴OC=AC+OC=7+5=12，∴飞镖状图案的面积为4×1地地城题型03勾股数问题1．(24-25八上·广东深圳福田区外国语学校（集团）·期中)下面四组数中是勾股数的一组是（

）A．6，8，9 B．5，12，13 C．1.5，2，2.5 D．2，3，4【答案】B【详解】解：A、62B、52C、1.5、2、2.5不全是整数，不是勾股数，故本选项错误；D、22故选：B2．(24-25八上·广东佛山南海区狮山镇·期中)下列为勾股数的是（）A．13，14，15 B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，【答案】D【详解】解：A、13，14，15不是整数，故13，B、0.3，0.4，0.5不是正整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数，故选项B不符合题意；C、2，3，5不是正整数，故2，3，5不是勾股数，故选项C不符合题意；D、72故选：D．3．(24-25八上·广东佛山第三中学初中部·期中)下面四组数中是勾股数的一组是（

）A．62，82，10C．1.5，2，2.5 D．3，4，5【答案】B【详解】解：A、62,82,102即36，64，100，362+642B、5，12，13，均为正整数，且52C、1.5，2，2.5包含小数，非正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数，不符合题意；D、3,4,故选：B．4．(24-25八上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)我们知道，若一组勾股数为3，4，5，则32=4+5；若一组勾股数为5，12，13，则52=12+13；若一组勾股数为7，24，25，则72=24+25；若一组勾股数为9，40，41，则92=40+41．若一组勾股数为13，b，A．−83 B．−84 C．−85 D．−86【答案】A【详解】解：依题意，b+c=13则2b+1=13解得b=84，则c=85，所以c−2b=85−2×84=85−168=−83．故选：A．5．(24-25八上·广东梅州兴宁实验学校教育集团·期中)若直角三角形的三边长为3,4,m，则m2的值为（

A．10 B．7 C．25 D．25或7【答案】D【详解】解：当长为m的边为斜边时，由勾股定理得：m2=33+42当长为m的边为直角边时，由勾股定理得：m2综上所述，m2的值为25或7故选：D．地地城题型04勾股定理的证明方法1．(24-25八上·广东清远·期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、大正方形的面积为：c2，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：4×∴a2B、大正方形的面积为：a+b2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：4×∴a+b2∴a2C、大正方形的面积为：a+b2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：2ab+∴a+b2∴故该选项不能证明勾股定理；D、梯形的面积为：12a+b2，也可看作是2∴12∴a2故选：C．2．(24-25八上·广东茂名·期中)在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：(a+b)2，也可表示为：c即(a+b)2=c

(1)请你用图（II）（2002年国际数学家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；(2)请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证(x+y)2(3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：x+px+q【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【详解】（1）解：由图可得：大正方形的面积为：c2中间小正方形面积为：(b−a)2四个直角三角形面积和为：4×1由图形关系可知：大正方形面积=小正方形面积+四直角三角形面积，则有：c2即：c2（2）如图示：

大正方形边长为(x+y)所以面积为：(x+y)2因为它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即所以有：(x+y)2（3）如图所示：

满足面积表达式：x+px+q3．(24-25八上·广东佛山南海区狮山镇·期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：①a2②b与c的关系为______，a与d的关系为______．【答案】(1)①a2(2)①3；②S1(3)①m2；②b=c，【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）若选择图1，证明过程如下：证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即c2化简，得a2若选择图2，证明过程如下：在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即a+b2化简，得a2若选择图3，证明过程如下：证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即12化简，得a2（2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，由勾股定理，得a2∴S1在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则S1=12π∴S1∵a2∴18∴S1在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则S1=34a2，S2∵S1+S∴34∴S1∴满足S1故答案为：3；②结论S1∵∴∵a∴S故答案为：S1（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：SA+SB=∴a2+b2=∴a故答案为：m2②作JN⊥KL于点N，∵∠1+∠KJN=90°，∠NJL+∠KJN=90°，∴∠1=∠3=∠NJL，∵∠LNJ=∠IGH=90°，LJ=IH，∴△LNJ≌△IGH，∴LN=IG=d，NJ=HG=c．同理可证：KN=a，NJ=b，∴b与c的关系为b=c，a与d的关系为a+d=m．故答案为：b=c，a+d=m．地地城题型05判断能否构成直角三角形1．(24-25八上·广东深圳深圳中学初中部·期中)在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，则下列结论正确的是（

）A．△ABC是直角三角形，且∠A=90°B．△ABC是直角三角形，且∠B=90°C．△ABC是直角三角形，且∠C=90°D．△ABC不是直角三角形【答案】B【详解】解：A、若∠A=90°，则需满足AB2+AB、若∠B=90°，则需满足AB2+BC、若∠C=90°，则需满足BC2+AD、由B的分析可知，△ABC满足勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意；故选：B．2．(24-25八上·广东深圳33校联考·期中)下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（

）A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，24，25【答案】A【详解】解：A、22B、62C、52D、52故选A．3．(24-25八上·广东揭阳·期中)一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为．【答案】60【详解】解：∵5∴52∴该三角形是直角三角形，根据等面积法可得，三角形最长边上的高线为5×1213故答案为：6013地地城题型06勾股定理与网格问题1．(24-25八上·广东深圳·期中)如图，△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为（

）A．195 B．4 C．175 【答案】A【详解】解：由勾股定理得：AB=3S△ABC∵CD⊥AB，∴△ABC的面积=1∴CD=19故选：A．2．(24-25八上·广东茂名电白区·期中)如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点B到线段AC的距离为（

）A．7105 B．755 C．【答案】B【详解】解：在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，如图，BD为AC边上的高，由勾股定理得：AC=2∵S△ABC=4×4−1∴12解得：BD=7故选：B．3．(24-25八上·广东佛山南海区·期中)问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为13，10，5，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．

(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上；(2)若△DEF三边的长分别为2，5，5，请利用右图的正方形网格（每个小正方形的边长为1）在第四象限画出相应的△DEF；(3)在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A【答案】(1)7(2)见解析(3)见解析【详解】（1）解：△ABC的面积为12故答案为：72（2）解：如图，△DEF即为所求；（3）解：如图，△A

4．(24-25八上·广东深圳福田区红岭教育集团·期中)在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题：(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点A1与A、B(2)已知点P是x轴上任意一点，则PB+PC的最小值是．(3)△ABC的面积是．【答案】(1)图见解析，(−2(2)13(3)2.5【详解】（1）如图所示，△A点A1的坐标为(−2故答案为：(−2,（2）作点B关于x轴的对称点为B'，连接B'C与x轴的交点即为点P，此时，此时PB如图所示：,最小值是PB+PC=2故答案为：13．（3）S△ABC故答案为：2.5．5．(24-25八上·广东佛山顺德区德胜学校·期中)综合运用：“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5,10,13，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求(1)直接运用：①请直接写出图1中△ABC的面积为____________；②请在图2中画出一个面积为10且顶点都在格点上的等腰直角三角形；(2)若△MNP的边长分别为m2+16n2,9m2+4(3)拓展应用：求代数式x2【答案】(1)①72(2)图见解析，5mn；(3)最小值是5．【详解】（1）解：①由网格可得：S△ABC故答案为：72②在网格中取格点D,E,F，依次连接D,E,F，则△DEF为所求，如图：由网格可得：∠DEF=90°，DE=22+∴S△DEF（2）解：如图：由勾股定理，知MN=m2+16△MNP的面积=3m×4n−1=12mn−2mn−2mn−3mn=5mn；（3）解：构造图形如下：依题意，得AC=1,DB=2,CD=4,CP=x,PD=4−x，∴AP+BP=∴AP+BP的最小值为AB的长，∵AE=AC+CE=1+2=3,    ∴由勾股定理，得AB=A∴代数式x2+1+6．(24-25八上·广东佛山顺德区伦教街道·期中)小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1）【思考尝试】（1）如图（1），线段AB的长为6，请以AB为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点）【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长．【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为a、b的两个正方形ABCD和BEFG摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形．【答案】（1）26，2；（2）图见解析，边长为5；（3）见解析【详解】解：（1）如图，△ABC即为所作，S△ABC=12×6×1=3，故答案为：26，2；（2）拼成的大正方形的面积是5，边长为22剪切示意图如图（2）①：拼图如图（2）②所示：（3）拼成的大正方形的面积是a2+b剪切线如图（3）所示；拼成的图形如图（4）所示：．地地城题型07勾股定理与折叠问题1．(24-25八上·广东揭阳揭西县·期中)如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是【答案】3cm【详解】解：由题意可得：BC=8cm，∠C=90°∵点E是BC边的中点，∴CE=1由折叠的性质可得：DN=EN，设CN=xcm，则EN=DN=在Rt△ECN中，由勾股定理可得：C∴42解得：x=3，∴CN=3cm故答案为：3cm2．(24-25八上·广东佛山顺德区容桂街道·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC上，把△ABC沿直线AD折叠，使得点B的对应点B'落在AC的延长线上，则CD=【答案】3【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8∴AB=由折叠得，BD=B'D∴B设CD=x，则BD=B在Rt△DB'∴x2+4∴CD=3．故答案为：3．3．(24-25八上·广东深圳莲花中学·期中)如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，未被覆盖的部分涂黑记为阴影部分，已知AD=15，AB=9．(1)求BF的长;(2)求阴影部分的面积．【答案】(1)12(2)60【详解】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=DC=9，AD=BC=15，∠D=∠B=∠C=90°由折叠得，AF=AD=15，∠AFE=∠D=90°在Rt△ABF中，根据勾股定理可得∴BF=15（2）由（1）得BF=12，则FC=15−12=3

设EC=x，则DE=9−x在Rt△ECF中，根据勾股定理可得即x2+32=S4．(24-25八上·广东深圳罗湖区罗湖外语初中学校·期中)如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'位置，AB'与CD交于点E，且AB=8，AD=4．(1)求证：AE=EC；(2)求EC的长；(3)点P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H．请直接写出PG+PH的值．【答案】(1)见解析(2)EC=5(3)PG+PH=4【详解】（1）证明：由长方形的性质可得∠D=∠B=90°，由折叠的性质可得CB∴CB又∵∠AED=∠CEB∴△AED≌△CEB∴AE=EC；（2）解：∵△AED≌△CEB∴DE=B设DE=B'E=x在Rt△EB'∴8−x2解得x=3，∴CE=5；（3）解：如图所示，连接PE，由（1）（2）得AE=CE=5，∵S△ACE∴12∴52∴PG+PH=4．地地城题型08求旗杆高度勾股定理的应用1．(24-25八上·广东深圳宝安区新安中学（集团）·期中)如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为AB=1.3米，小狗的高CD=0.3米，小狗与小方的距离AC=2.4米．（绳子一直是直的）牵狗绳BD的长．【答案】2.6米【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则AE=CD=0.3米，DE=AC=2.4米，∴BE=AB−AE=1米，∴BD=BE2所以此时牵狗绳BD的长为2.6米．故答案为：2.6米．2．(24-25八上·广东佛山南海区平洲第二初级中学·期中)在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内．(1)求风筝离地面的垂直高度CD；(2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明．【答案】(1)9.5m(2)能成功．【详解】（1）解：如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BD=15m，AB=CD=1.5m，在Rt△AECCE=A∴CD=CE+CD=8+1.5=9.5m（2）解：不能成功，理由如下：假设能上升12m，如图所示，延长DC至点F，连接AF，则CF=12m∴EF=CE+CF=8+12=20m在Rt△AEFAF=A∵AC=17m∴17+9=26>25，∴能上升12m，即能成功．3．(24-25八上·广东佛山顺德区德胜学校·期中)综合与实践：某校开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：课题测量学校旗杆的高度工具绳子、皮尺等测量示意图说明：如图1，第一次绳子沿旗杆下垂到点B，测量多出的绳子长度BC．如图2，第二次绳子斜拉直后至末端点F位置，测量点F到地面的距离FD，以及点D到旗杆AB的距离BD．测量数据测量项目数值图1中BC的长度2米图2中FD的长度1米图2中BD的长度9.6米(1)根据以上测量结果，请求学校旗杆AB的高度；(2)若BC=a，FD=b，BD=c请用关于a，b，【答案】(1)旗杆AB的高度为14.86米(2)b【详解】（1）解：设旗杆AB的高度为x米，则绳子AF为(x+2)米，由题意可知，BE=FD=1米，FE=9.6米，AE=AB−BE=(x−1)米，在Rt△AEF中，由勾股定理得：A即(x−1)2解得：x=14.86，答：旗杆AB的高度为14.86米．（2）解：设旗杆AB的高度为x米，根据题意得AF=x+a，AE=x−b，EF=BD=c在Rt△AEFAE2解得：x=∴旗杆AB的高度为b24．(24-25八上·广东深圳宝安中学（集团）初中部·期中)为测量学校旗杆的高度，八年级1班的学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题：测量工具含45°角的直角三角板、足够长的皮尺方案一方案二方案三测量方案示意图设计方案及测量数据在地面确定点C，并测得∠ACB=45°小明站在距离旗杆2.4m的点D处，眼睛距离地面1.6m，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线BD垂直移动一高为4m的竹竿EF，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆12.8m．如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得BC=5m任务一判断分析（1）在方案一中，要确定旗杆的高度应测量_________的长度，请说明理由：_________；任务二推理计算（2）请在方案二或方案三中任选一个方案，并根据测量数据，求旗杆的高度AB．【答案】（1）BC；△ABC为等腰直角三角形，AB=CB；（2）12米【详解】（1）要确定旗杆的高度应测量BC的长度；∵∠ACB=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC.故答案为：BC；△ABC为等腰直角三角形，AB=BC；（2）选择方案二：过点C作MN∥BF分别交AB于点M，交EF于点N，则∠AMC=∠CNE=90°，∴∠2+∠3=90°.∵∠ACE=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2.由题可知，MB=NF=CD=1.6米，EF=4米，MC=BD=2.4米，MN=BF=12.8米，∴CN=10.4米，EN=2.4米=CM∵∠AMC=∠CNE=90°，∠1=∠2，∴△AMC≌△CNE，∴AM=CN=10.4，∴AB=AM+MB=12米.故旗杆的高度AB为12米.选择方案三：由题可知，AC=AB+1，BC=5，∠ABC=90°，设AB=x米，则AC=(x+1)米，在Rt△ABC中，A即x2解得：x=12，故旗杆的高度AB为12米.地地城题型09水杯中筷子问题勾股定理的应用1．(24-25八上·广东深圳南山实验教育集团·期中)如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒内部的底面直径BC为9cm，内壁高为12cm，则这支铅笔的长度可能是（A．1.9cm B．12cm C．15cm【答案】D【详解】解：由题意得∠ABC=90°，AB=12cm由勾股定理得：AB∴AC=9则这支铅笔长度可能为18cm故选：D．2．(24-25八上·广东揭阳·期中)如图，玻璃杯的底面半径为4cm，高为6cm，有一只长13cmA．1cm B．2cm C．3cm【答案】C【详解】解：如图，由题意得：CD=2×4=8cm∴BD=C∴露出杯口外的长度为：13−10=3(cm故选：C．3．(24-25八上·广东深圳·期中)如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则hA．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm【答案】D【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，

∴h最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，∴AB=A∴此时h最小∴h的取值范围是7cm故选：D．4．(24-25八上·广东深圳·期中)如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．【答案】15【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A'，连接A'C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A'E，A'P=AP，∴AP+PC=A'P+PC=A'C，∵CQ=12×18cm=9cm在Rt△A'QC中，由勾股定理得：A'C=12故答案为：15．5．(24-25八上·广东清远·期中)《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为尺．（1丈＝10尺）【答案】13【详解】解：1丈=10尺设水深为x尺，则芦苇长为x+1尺，根据勾股定理得：x2解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），故答案为：13．地地城题型10航海问题勾股定理的应用1．(24-25八上·广东深圳·期中)如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？【答案】9海里/时【详解】解：由题意得：AB=12×2=24（海里），BC=30海里，∠BAC=180°−35°−55°=90°，在Rt△BAC∴AC=B∴乙船的航速是18÷2=9（海里/时），答：乙船的航速是9海里/时．2．(24-25八上·广东佛山·期中)如图，明明在距离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．若明明收绳6m后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？【答案】船向岸A移动了(12−26【详解】解：∵明明收绳6米后，船到达D处，∴CD=7(m)，由题可知∴AD=C在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=13m，AC=5∴AB=B∴BD=AB−AD=(12−26∴船向岸A移动了(12−263．(24-25八上·广东深圳·期中)如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东60°方向距离15海里的B处有一艘走私船，以16海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？【答案】我军巡逻艇的航行速度是34海里/小时【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=16×0.5=8海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=15海里，BC=8∴AC=AB2+BC2=∴我军巡逻艇的航行速度是170.5=34海里/答：我军巡逻艇的航行速度是34海里/小时．4．(24-25八上·广东深圳南山区深圳大学附属中学·期中)港珠澳大桥是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长55km，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，开始时绳子BC的长为

(1)若工作人员以1.5m/s的速度收绳，4s后船移动到点(2)若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10【答案】(1)2(2)13−【详解】（1）解：由题知，AC=5m，BC=13m，∵工作人员以1.5m/s的速度收绳，4∴CD=13−1.5×4=7m∴AD=C∴此时游轮距离岸边还有26（2）解：由题知，AC=5m，BC=13m，AB=B∵游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10∴BE=0.8×10=8m∴AE=AB−BE=4m∴CE=A∴BC−CE=13−∴工作人员手中的绳子被收上来13−415．(24-25八上·广东梅山·期中)在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．

(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到29次信号【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝∴∠ACB＝∵AC＝∴AB=A（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝

∵CH⊥AB；∴∠CHB＝∵S△ABC∴CH＝∵CN＝∴NH=MH=C则信号次数为140×220答：最多能收到29次信号．地地城题型11求最短路径勾股定理的应用1．(24-25八上·广东佛山三水区·期中)一个圆柱底面周长为16cm，高为6cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（

A．273 B．10 C．14 【答案】B【详解】解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形BCDE的边DC的中点A到顶点B的距离，∴AB=AC答：蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为10cm故选：B2．(24-25八上·广东深圳南山区深圳湾学校·期中)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40πm的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（A．25 B．573 C．35 D．【答案】A【详解】解：将半圆柱展开，如图：AD=12π⋅40πAD2∴202解得AE=25（负值舍去），即他滑行的最短距离约为25m故选：A．3．(24-25八上·广东深圳福田区外国语学校（集团）·期中)如图，长方体的长为3，宽为2，高为5，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到A点斜对角的B点处吃食物，那么它爬行最短路程是