专题4.7相似三角形的八大经典模型（含解析） 浙教版九年级数学上册

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题4.7

相似三角形的八大经典模型【浙教版】【题型1

A字型】【题型2

“8”字形】【题型3

AX字型】【题型4

子母型】【题型5

双垂直型】【题型6

一线三等角型】【题型7

手拉手型】【题型8

三角形内接矩形型】【基本模型1-A字型】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；③模型拓展2：如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．【题型1

A字型】【例1】（2023·安徽滁州·校考一模）1．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（

）

A． B． C． D．【变式1-1】（2023春·四川成都·九年级校考开学考试）2．如图，在中，，．已知的面积为9，则阴影部分的面积为．

【变式1-2】（2023·安徽滁州·校考一模）3．在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接，；

【变式1-3】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）4．如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为．

【基本模型2-“8”字形】①如图1，⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．【题型2

“8”字形】【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）A． B． C． D．【变式2-1】（2023春·广东深圳·九年级校考开学考试）6．如图，已知与相交于点A，，若，，，则．

【变式2-2】（2023春·陕西宝鸡·九年级校考期末）7．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接交于点F，过点F作，交于点G．求的长．

【变式2-3】（2023春·安徽·九年级专题练习）8．如图，E，F为矩形内两点，，垂直，垂足分别为E、F，若，，，则（

）A． B．5 C． D．6【基本模型3-AX字型】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化．【题型3

AX字型】【例3】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）9．如图，M是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点F，与的延长线交于点H．

(1)图中相似三角形有______对；(2)若，求的度数．【变式3-1】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）10．如图，分别是的边上的点，，若，则．

【变式3-2】（2023春·重庆巴南·九年级统考期中）11．如图，在矩形中，过作于点，交于点，连接若是中点，且，则的长为．

【变式3-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）12．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．

(1)求的值．(2)若，①求证：．②求证：．【基本模型4-子母型】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．【题型4

子母型】【例4】（2023春·安徽滁州·九年级统考期中）13．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求证：AC2＝BC•CD；（2）若AD是△ABC的中线，求的值．【变式4-1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期中）14．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．

【变式4-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期中）15．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．【变式4-3】（2023·安徽合肥·统考一模）16．如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：；(3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）【基本模型5-双垂直型】①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD．常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB．②拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．【题型5

双垂直型】【例5】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）17．如图，在矩形中，，，点在边上，，若点、分别为边与上两个动点，线段始终满足与垂直且垂足为，则的最小值为．【变式5-1】（2023春·福建莆田·九年级校考期末）18．【问题情境】（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD²=AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC²=AB·AD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，①求证：△BOF∽△BED；②若，求OF的长．

【变式5-2】19．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=3，BC=5，则EF的值是（）A． B．2 C． D．2【变式5-3】（2023·河南南阳·统考三模）20．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写出图1中线段与线段的关系．

(2)迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出线段与的关系，并说明理由．

(3)拓展应用如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）

【基本模型6一线三等角型】（1）“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE．（2）“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE．特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE．补充：其他常见的一线三等角图形【题型6

一线三等角型】【例6】（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）21．如图，中，，于D，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．可求两矩形的相似比的是（

）

A． B． C． D．【变式6-1】（2023春·山东日照·九年级校考期中）22．已知等边三角形的边长为4．(1)如图，在边上有一个动点，在边上有一个动点，满足，求证：；

(2)如图，若点在射线上运动，点在直线上，满足，当时，求的长；

(3)在（2）的条件下，将点绕点逆时针旋转到点，求的面积．【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）23．如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．(1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由；②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）．【变式6-3】（2023春·重庆万州·九年级统考期末）24．如图，矩形中，，，E为的中点，F为上一点，，且．对角线与交于点G，则的长为．

【基本模型7-手拉手型】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE．②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．③如图所示，，则，，且．【题型7

手拉手型】【例7】（2023·山东济宁·统考三模）25．背景材料：在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型．例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE．学习小组继续探究：（1）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，CD，证明BE＝CD；（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，将三角形ADE旋转一定的角度（如图3），连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE．学以致用：（3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．【变式7-1】（2023春·安徽六安·九年级校考阶段练习）26．［问题发现］(1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系；［实验研究］(2)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；［结论运用］(3)在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长．【变式7-2】（2023·河南洛阳·统考模拟预测）27．综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

(1)操作判断

已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断：①线段与线段的数量关系是________；②直线与直线相交所夹锐角的度数是________；(2)迁移探究

如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；(3)拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长．【变式7-3】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）28．在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【基本模型8-三角形内接矩形型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的．结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【题型8

三角形内接矩形型】【例8】（2023春·四川成都·九年级成都实外校考期中）29．如图，中，点分别在上，且，于点M，于点N，于点D，交于点E，且，连接，若的面积等于75，则的最小值为．【变式8-1】（2023春·陕西西安·九年级校考期中）30．如图，在中，，正方形的边长是6，且四个顶点都在的各边上，．

(1)求证：；(2)求的值．【变式8-2】（2023春·山东东营·九年级统考期末）31．如图，在中，，，点，，分别在、、上，且四边形是正方形，点，，分别在、，上，且四边形是正方形，，点，，分别在，，上，且四边形是正方形，则线段的长度是．

【变式8-3】（2023春·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）32．如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．【详解】解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，点是的中点，，，，∴，，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出．2．【分析】根据题意可得：，，求得进而得到，求得，即可求解．【详解】解：∵，∴，又∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确求得．3．【分析】证明，利用相似三角形的面积等于相似比的平方求解即可．【详解】解：是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．4．【分析】证明，，由相似三角形的性质得出，，设，可得，，从而可得出答案．【详解】解：∵四边形为正方形，，∴，，∴，，∴，，设，∴，，∴，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明与是解题的关键．5．A【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．6．4【分析】证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【详解】解：∵，∴，∴，即，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．7．【分析】利用正方形性质，找到，即可利用对应边成比例，几何平行线性质即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定等，灵活运用所学知识是解题的关键．8．B【分析】连接，交于点M，于O，根据相似三角形的判定和性质和勾股定理解答．【详解】解：连接，交于点M，于O，

∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，，在中，，在中，，∴，∵四边形是矩形，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查矩形的性质及相似三角形的判定和性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边成比例求得的长是解题的关键，注意勾股定理的应用．9．(1)6(2)【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得；（2）先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后根据邻补角的定义求解即可得．【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，，，，，又，，，综上，图中相似三角形有6对，故答案为：6．（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．10．【分析】根据可得，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质可得，最后再根据可得．【详解】解：，，，，，，，，，即，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的面积比关于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．11．【分析】根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质，可以求得和的长，再根据勾股定理，即可得到的长．【详解】解：过点作，交于点，交于点，

，，四边形是矩形，，，，又，，，，是中点，，，，，设，则，，，，，，解得，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．(1)(2)①详见解析；②详见解析【分析】（1）结合题意，根据平行线的性质，通过证明，得；再结合，根据平行线性质，通过证明，根据相似比的性质计算，即可得到答案；（2）①，根据题意计算得；结合（1）的结论，得，从而推导得，通过证明，即可完成证明；②根据（2）①的结论以及平行线的性质，证明，根据相似三角形的性质计算，即可完成证明．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，即；（2）证明：①设，∵，∴，∴，由（1）的结论，得：，∴，∴，即：，∵，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行四边形、平行线、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相似三角形的性质，从而完成求解．13．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．【详解】（1）证明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中线，，，即：，∴．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．14．证明见解析．【分析】根据AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根据∠C=∠C，即可证明结论．【详解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．15．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；（3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】证明：（1），，，，在和中，，；（2）点为的中点，，由（1）已证：，，设，则，，，（等腰三角形的三线合一），，又，，即；（3）由（2）已证：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，设，则，，解得或（不符题意，舍去），，则在中，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．16．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到，根据，就能得到，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上，就可以通过边角边证明两个三角形全等．（2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到，然后用等角对等边即可得到，又可以从前面的两个全等中得到，从而得到，那么和就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即，那么内错角相等，两直线平行即可证结论．（3）根据，，在同一条直线上，可以证明和全等，即可得到，那么就是中位线，则，加上第二小题结论就能得到四边形是平行四边形，那么，然后通过三角形外角的性质，可以证得，就能证和是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案．【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到，，，，，，，在和中，，．（2）解：由（1）得，，，，，，，，，，，，，，，又，，即，，（3）解：在和中，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，即，，，．【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键．17．【分析】过点作于点．利用相似三角形的性质求出，设，则，，，求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，作点关于轴的对称点，连接，则，由，可得结论．【详解】解：如图，过点作于点．四边形是矩形，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，设，则，，，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，如图1中，作点关于轴的对称点，连接，，，，，的最小值为，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．18．（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，即可得证；（2）①BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，即BO•BD=BF•BE，即可求解；②在Rt△BCE中，BC=3，BE=，利用△BOF∽△BED，即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，

而∠A=∠A，∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC²=AB·AD；（2）①证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90°，∴BC2=BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2=BF•BE，∴BO•BD=BF•BE，即，而∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED；②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=，∴CE=，∴DE=BC-CE=2；在Rt△OBC中，OB=BC=，∵△BOF∽△BED，∴，即，∴OF=.【点睛】本题为三角形相似综合题，涉及到勾股定理运用、正方形基本知识等，难点在于找到相似三角形，此类题目通常难度较大．19．A【分析】先根据折叠的性质得EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，则AB=2EF，DC=8，再作DH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ABHD为矩形，所以DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=2，然后在Rt△DHC中，利用勾股定理计算出DH=2，所以EF=．【详解】解：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ABHD为矩形，∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△DHC中，DH==2，∴EF=DH=．故选A．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．20．(1)(2)，理由见解析(3)；【分析】（1）由四边形是正方形，得，进一步可得，所以，结论得证．（2）由四边形是矩形，得，进一步可证，所以，于是，证得.（3）取的中点，连接，，由（1）可得，可证，；中，勾股定理求得；由得的最小值是；由，知、、三点共圆，所以点在以点为圆心，在以半径为1的圆上运动，进而求得运动轨迹的长为．【详解】（1）∵四边形是正方形，∴，又，∴，∴，∴，在和中，∵，，∴，∴．（2）∵四边形是矩形，∴，，又，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（3）如图，取的中点，连接，，

由题意知，，由（1）可得，∴∵∴，∴，∵是的中点，，∴，在中，；在中，∵，∴的最小值是，∵，∴、、三点共圆，∴点在以点为圆心，在以半径为1的圆上运动，∴点的运动轨迹的长为：，故答案为：；【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，两点之间线段最短；合理添设辅助线，借助图中合适的定点运用两点之间线段最短是解题的关键．21．B【分析】由条件可以证明，由相似三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：连接，，

∵矩形矩形，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查相似多边形，关键是连接，，证明，即可解决问题．22．(1)见详解(2)7(3)【分析】（1）先利用三角形的内角和得出，再用平角得出，进而得出，即可得出结论；（2）过点作于，构造出含角的直角三角形，求出的长度，再用勾股定理求出，进而求出的值，再判断出，得出比例式即可得出结论；（3）先求出的值，进而得出的值，再构造出直角三角形求出的长度，进而得出的值，再求出的长度，最后用面积差即可得出结论．【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴；（2）如下图，过点作于，

∴，∵是等边三角形，边长为4，∴，，∴，在中，，，∴，根据勾股定理得，，在中，，根据勾股定理得，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如下图，

由（2）知，，∵，∴，由旋转知，，，∵，∴，，过点作于，在中，，根据勾股定理得，，过点作于，∵，∴，∴，过点作于，∵，∴，在中，根据勾股定理得，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．23．(1)见解析(2)①等腰直角三角形，见解析；②；【分析】（1）根据新定义，画出等联角；（2）①是等腰直角三角形，过点作交的延长线于．由折叠得，，，证明四边形为正方形，进而证明，得出即可求解；②过点作于，交的延长线于，则．证明，得出，在中，，，进而证明四边形为正方形，则，由，得出，根据相似三角形的性质得出，根据即可求解．【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一）（2）①是等腰直角三角形．理由为：如图，过点作交的延长线于．由折叠得，，，，四边形为正方形又，，而，是等腰直角三角形．②过点作于，交的延长线于，则．，，由是等腰直角三角形知：，，，，而，，在中，，，，，，由，，∴四边形为正方形，，由，得：，∴，，而，即，解得：，由①知：，，．【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键．24．【分析】过点G作于点H，先证明，得出，根据，得出，，再证明，得出，证明，得出，联立求出得出，，最后在中，根据勾股定理即可求解．【详解】解：过点G作于点H，设，则，∵E为的中点，∴，∵，∴，∵四边形为矩形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴，，设，则，，∵，，∴，∴，即，∵，∴，∴，即，整理得：，∴，解得：，∴，解得：，在中，根据勾股定理可得：．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例．25．（1）作图见解析，证明见解析；（2）见解析；（3）.【分析】（1）由等边三角形的性质可得AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，可得∠DAC＝∠BAE，即可证△DAC≌△BAE，可得BD＝CE；（2）通过证明△ADE∽△ABC，可得，由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，即可得结论；（3）过点A作AE垂直于AD，作∠AED＝α，连接CE，则∠EDC＝90°，通过证明△AEC∽△ADB，可得，由锐角三角函数和勾股定理可求AE，DE，EC的长，即可求BD的长．【详解】（1）作图∵△ABD和△ACE都是等边三角形∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE∴△DAC≌△BAE（SAS）∴BE＝CD（2）如图，在第一个图中，∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴∵将三角形ADE旋转一定的角度∴∠BAC＝∠DAE∴∠BAD＝∠CAE，且∴△ABD∽△ACE；（3）如图，过点A作AE垂直于AD，作∠AED＝α，连接CE，则∠EDC＝90°，∵∠AED＝∠ACB＝α，∠CAB＝∠DAE＝90°∴△AED∽△ACB∴∵∠CAB＝∠DAE＝90°∴∠CAE＝∠DAB，且∴△AEC∽△ADB∴∵△AED∽△ACB∴∠ADE＝∠ABC∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ADC＝∠ACB∴∠ADC+∠ADE＝90°∴∠EDC＝90°∵tanα＝，AD＝12．∴AE＝16∴DE＝＝20∴EC＝∵∴BD＝【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．26．(1)(2)，证明见解析(3)线段的长为或【分析】(1)先判断出△ABD为等腰直角三角形，进而求出，即可得出结论；(2)先利用三角函数得出，证明夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而求出结论；(3)分两种情况计算，当点E在线段BF上时，先用勾股定理求出，，即可得出，借助(2)得出结论；当点E在线段BF延长线上同前一种情况一样即可得出结论．【详解】（1）解：，，，四边形是正方形，，，，，，点与点重合，，，，；，，，；（2）解：．证明：由（1）得，，四边形是正方形，，，，，，，，，；（3）解：如图1，，，点为的中点，，，，的面积为8，，，，，点与点重合，四边形是正方形，；如图2，、、三点共线且点在线段上，，，，．，；如图3，、、三点共线且点在线段上，则，．，，综上所述，线段的长为或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及等腰直角三角形的性质，正方形性质和旋转性质，分类讨论和画出图形是解决本题的关键．27．(1)①；②(2)①不成立，理由见解析；②成立，理由见解析(3)或【分析】（1）设直线交直线于点．由等边三角形的性质可得出，，．进而可求出，即可证，从而得出结论．再根据，即得出答案；（2）由题意得出，，进而可证，得出．由（1）同理可证；（3）分类讨论：当点D落在线段上时和当点E落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答．【详解】（1）解：①如图1，设直线交直线于点．

和都是等边三角形，，，．．在△BCD和△ACE中，,．；②，，，；故答案为：；；（2）不成