(苏科版)2025届数学九年级上册《第2章 对称图形-圆》易错题追踪卷(含答案)

(苏科版)2025届数学九年级上册《第2章对称图形—圆》易错题追踪卷(含答案)一、选择题（每题3分，共30分）1.已知圆的半径为5cm，圆心到直线l的距离为4cm，那么直线l与圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定答案：A解析：根据直线与圆的位置关系判定方法，设圆的半径为\(r\)，圆心到直线的距离为\(d\)，当\(d\ltr\)时，直线与圆相交。已知\(r=5cm\)，\(d=4cm\)，\(4\lt5\)，所以直线\(l\)与圆相交。2.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.10cm答案：C解析：设⊙O的半径为\(R\)，过圆心\(O\)作\(OC\perpAB\)于点\(C\)，则\(AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times8=4cm\)，\(OC=3cm\)。在\(Rt\triangleAOC\)中，根据勾股定理\(R=\sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5cm\)。3.一个扇形的圆心角为\(120^{\circ}\)，半径为3，则这个扇形的面积为（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)答案：C解析：扇形面积公式为\(S=\frac{n\piR^{2}}{360}\)（其中\(n\)是圆心角度数，\(R\)是半径）。将\(n=120\)，\(R=3\)代入公式可得\(S=\frac{120\pi\times3^{2}}{360}=3\pi\)。4.已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（）A.\(24cm^{2}\)B.\(48cm^{2}\)C.\(24\picm^{2}\)D.\(12\picm^{2}\)答案：C解析：圆锥的侧面积公式为\(S=\pirl\)（其中\(r\)是底面半径，\(l\)是母线长）。把\(r=4cm\)，\(l=6cm\)代入可得\(S=\pi\times4\times6=24\picm^{2}\)。5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A.\(\sqrt{7}\)B.\(2\sqrt{7}\)C.\(6\)D.\(8\)答案：B解析：连接\(OC\)，因为\(AB=8\)，所以\(OC=\frac{1}{2}AB=4\)，又\(AE=1\)，则\(OE=OAAE=41=3\)。在\(Rt\triangleOCE\)中，根据勾股定理\(CE=\sqrt{OC^{2}OE^{2}}=\sqrt{4^{2}3^{2}}=\sqrt{7}\)。因为\(CD\perpAB\)，所以\(CD=2CE=2\sqrt{7}\)。6.下列命题中，正确的是（）A.平分弦的直径垂直于弦B.圆的切线垂直于半径C.经过三点可以确定一个圆D.同弧或等弧所对的圆周角相等答案：D解析：A选项，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A错误；B选项，圆的切线垂直于经过切点的半径，故B错误；C选项，经过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故C错误；D选项，同弧或等弧所对的圆周角相等，这是圆周角定理的推论，故D正确。7.如图，在⊙O中，\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，∠A=30°，则∠B=（）A.75°B.60°C.45°D.30°答案：A解析：因为\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，所以\(AB=AC\)，则\(\triangleABC\)是等腰三角形，\(\angleB=\angleC\)。又因为\(\angleA=30^{\circ}\)，根据三角形内角和为\(180^{\circ}\)，可得\(\angleB=\frac{1}{2}(180^{\circ}\angleA)=\frac{1}{2}(18030)^{\circ}=75^{\circ}\)。8.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数为（）A.80°B.60°C.50°D.40°答案：C解析：因为\(AB\)是⊙O的直径，所以\(\angleC=90^{\circ}\)（直径所对的圆周角是直角）。在\(\triangleABC\)中，根据三角形内角和为\(180^{\circ}\)，\(\angleB=180^{\circ}\angleA\angleC=180^{\circ}40^{\circ}90^{\circ}=50^{\circ}\)。9.已知圆内接正六边形的边长为4，则该正六边形的边心距为（）A.\(2\sqrt{3}\)B.\(4\sqrt{3}\)C.\(2\)D.\(4\)答案：A解析：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形。边心距即为等边三角形的高。因为正六边形边长为\(4\)，所以等边三角形边长为\(4\)，根据勾股定理可得边心距为\(\sqrt{4^{2}2^{2}}=2\sqrt{3}\)。10.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC的度数是（）A.\(46^{\circ}\)B.\(67^{\circ}\)C.\(64^{\circ}\)D.\(23^{\circ}\)答案：D解析：因为\(PA\)、\(PB\)是⊙O的切线，所以\(PA=PB\)，\(\angleOAP=\angleOBP=90^{\circ}\)。在四边形\(OAPB\)中，\(\angleAOB=360^{\circ}\angleOAP\angleP\angleOBP=360^{\circ}90^{\circ}46^{\circ}90^{\circ}=134^{\circ}\)。又因为\(OA=OB\)，所以\(\angleBAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}\angleAOB)=\frac{1}{2}(180134)^{\circ}=23^{\circ}\)。二、填空题（每题3分，共18分）11.已知圆的直径为10cm，圆心到直线l的距离为5cm，则直线l与圆的公共点个数是______。答案：1解析：圆的半径\(r=\frac{1}{2}\times10=5cm\)，圆心到直线\(l\)的距离\(d=5cm\)，因为\(d=r\)，所以直线\(l\)与圆相切，公共点个数是\(1\)个。12.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=8cm，OC=3cm，则⊙O的半径为______cm。答案：5解析：连接\(OA\)，因为\(OC⊥AB\)，所以\(AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times8=4cm\)。在\(Rt\triangleAOC\)中，根据勾股定理\(OA=\sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5cm\)，即⊙O的半径为\(5cm\)。13.一个扇形的弧长是\(20\picm\)，面积是\(240\picm^{2}\)，则这个扇形的圆心角是______度。答案：150解析：设扇形半径为\(R\)，圆心角为\(n^{\circ}\)。由扇形面积公式\(S=\frac{1}{2}lR\)（\(l\)是弧长），可得\(240\pi=\frac{1}{2}\times20\pi\timesR\)，解得\(R=24cm\)。再根据弧长公式\(l=\frac{n\piR}{180}\)，即\(20\pi=\frac{n\pi\times24}{180}\)，解得\(n=150\)。14.已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积是______。答案：\(18\pi\)解析：圆锥侧面积公式为\(S=\pirl\)（\(r\)是底面半径，\(l\)是母线长），把\(r=3\)，\(l=6\)代入可得\(S=\pi\times3\times6=18\pi\)。15.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，若\(PA=3\)，\(PB=4\)，\(PC=2\)，则PD的长是______。答案：6解析：根据相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等，即\(PA\cdotPB=PC\cdotPD\)。已知\(PA=3\)，\(PB=4\)，\(PC=2\)，则\(3\times4=2\timesPD\)，解得\(PD=6\)。16.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则∠BAC的度数是______。答案：60°解析：因为\(AB\)是⊙O的直径，所以\(\angleACB=90^{\circ}\)（直径所对的圆周角是直角）。在\(\triangleABC\)中，根据三角形内角和为\(180^{\circ}\)，\(\angleBAC=180^{\circ}\angleABC\angleACB=180^{\circ}30^{\circ}90^{\circ}=60^{\circ}\)。三、解答题（共52分）17.（8分）如图，在⊙O中，弦AB=8，半径OC⊥AB于点D，且CD=2，求⊙O的半径。解：设⊙O的半径为\(R\)，则\(OD=R2\)。因为\(OC⊥AB\)，根据垂径定理，\(AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times8=4\)。在\(Rt\triangleAOD\)中，由勾股定理得\(OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}\)，即\(R^{2}=4^{2}+(R2)^{2}\)。展开得\(R^{2}=16+R^{2}4R+4\)。移项化简得\(4R=20\)，解得\(R=5\)。所以⊙O的半径为\(5\)。18.（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求MN·MC的值。（1）证明：因为\(OA=OC\)，所以\(\angleA=\angleACO\)。又因为\(\angleCOB=2\angleA\)，且\(\angleCOB=2\anglePCB\)，所以\(\angleA=\anglePCB\)。因为\(AB\)是⊙O的直径，所以\(\angleACB=90^{\circ}\)，即\(\angleACO+\angleOCB=90^{\circ}\)。所以\(\anglePCB+\angleOCB=90^{\circ}\)，即\(\angleOCP=90^{\circ}\)。又因为\(OC\)是⊙O的半径，所以\(PC\)是⊙O的切线。（2）解：连接\(MA\)，\(MB\)。因为点\(M\)是弧\(AB\)的中点，所以\(\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}\)，则\(\angleACM=\angleBCM\)。又因为\(\angleBAM=\angleBCM\)（同弧所对的圆周角相等），所以\(\angleACM=\angleBAM\)。因为\(\angleAMC=\angleNMA\)，所以\(\triangleAMC\sim\triangleNMA\)。所以\(\frac{MN}{MA}=\frac{MA}{MC}\)，即\(MN\cdotMC=MA^{2}\)。因为\(AB\)是直径，点\(M\)是弧\(AB\)的中点，所以\(\angleAMB=90^{\circ}\)，\(MA=MB\)。已知\(AB=4\)，在\(Rt\triangleAMB\)中，根据勾股定理\(MA^{2}+MB^{2}=AB^{2}\)，且\(MA=MB\)，则\(2MA^{2}=16\)，\(MA^{2}=8\)。所以\(MN\cdotMC=8\)。19.（12分）如图，已知圆锥的母线长\(OA=8\)，底面圆的半径\(r=2\)，若一只小虫从\(A\)点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到\(A\)点，求小虫爬行的最短路线的长。解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为\(n^{\circ}\)。圆锥底面圆的周长\(C=2\pir\)，这里\(r=2\)，所以\(C=2\pi\times2=4\pi\)。圆锥侧面展开图扇形的弧长公式为\(l=\frac{n\piOA}{180}\)（\(OA\)是母线长），因为圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，所以\(4\pi=\frac{n\pi\times8}{180}\)。解得\(n=90\)。即圆锥侧面展开图扇形的圆心角为\(90^{\circ}\)，母线长\(OA=8\)。小虫爬行的最短路线就是圆锥侧面展开图扇形中弦\(AA'\)的长。在\(Rt\triangleAOA'\)中，\(OA=OA'=8\)，根据勾股定理\(AA'=\sqrt{OA^{2}+OA'^{2}}=\sqrt{8^{2}+8^{2}}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\)。所以小虫爬行的最短路线的长为\(8\sqrt{2}\)。20.（10分）如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}\)，连接AD、BC。（1）求证：\(\triangleADE\cong\triangleCBE\)；（2）若⊙O的半径为5，\(\angleAOD=60^{\circ}\)，求圆心O到AD的距离。（1）证明：因为\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}\)，所以\(\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{CD}\)，即\(\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}\)。所以\(AD=BC\)。在\(\triangleADE\)和\(\triangleCBE\)中，\(\angleAED=\angleCEB\)（对顶角相等），\(\angleDAE=\angleBCE\)（同弧所对的圆周角相等），\(AD=BC\)。所以\(\triangleADE\cong\triangleCBE(AAS)\)。（2）解：过点\(O\)作\(OF\perpAD\)于点\(F\)。因为\(OA=OD\)，\(\angleAOD=60^{\circ}\)，所以\(\triangleAOD\)是等边三角形。所以\(AD=OA=5\)。因为\(OF\perpAD\)，根据垂径定理，\(AF=\frac{1}{2}AD=\frac{5}{2}\)。在\(Rt\triangleAOF\)中，\(OA=5\)，\(AF=\frac{5}{2}\)，根据勾股定理\(OF=\sqrt{OA^{2}AF^{2}}=\sqrt{5^{2}(\frac{5}{2})^{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\)。所以圆心\(O\)到\(AD\)的距离为\(\frac{5\sqrt{3}}{2}\)。21.（12分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A、B两点，AC是⊙M的直径，过点C的直线交x轴于点D，连接BC，已知点M的坐标为\((0,3)\)，直线CD的函数表达式为\(y=\sqrt{3}x+5\sqrt{3}\)。（1）求点D的坐标和BC的长；（2）求点C的坐标和⊙M的半径；（3）求证：CD是⊙M的切线。（1）解：对于直线\(y=\sqrt{3}x+5\sqrt{3}\)，令\(y=0\)，则\(0=\sqrt{3}x+5\sqrt{3}\)，解得\(x=5\)，所以点\(D\)的坐标为\((5,0)\)。因为\(AC\)是⊙M的直径，所以\(\angleABC=90^{\circ}\)。又因为点\(M\)的坐标为\((0,3)\)，所以\(OM=3\)，\(OA=OB\)。设\(OA=OB=a\)，则\(AB=2a\)。在\(Rt\triangleBCD\)中，\(OD=5\)，\(OB=a\)，则\(BD=5a\)。因为\(\angleABC=90^{\circ}\)，\(\angleAOC=90^{\circ}\)，\(\angleBAC=\angleBCD\)（同弧所对的圆周角相等），所以\(\triangleBCD\sim\triangleBAO\)。则\(\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}\)。因为\(M(0,3)\)，\(D(5,0)\)，\(OM=3\)，\(OD=5\)，在\(Rt\triangleDOM\)中，\(DM=\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}\)。又因为\(M\)是\(AC\)中点，\(O\)是\(AB\)中点，所以\(BC=2OM=6\)。（2）解：设点\(C\)的坐标为\((x,y)\)。因为\(BC=6\)，\(OB=3\)，在\(Rt\triangleBOC\)中，\(OC=\sqrt{BC^{2}OB^{2}}=\sqrt{6^{2}3^{2}}=3\sqrt{3}\)。因为点\(C\)在直线\(y=\sqrt{3}x+5\sqrt{3}\)上，且\(OC=3\sqrt{3}\)，则\(x^{2}+y^{2}=(3\sqrt{3})^{2}\)，\(y=\sqrt{3}x+5\sqrt{3}\)。将\(y=\sqrt{3}x+5\sqrt{3}\)代入\(x^{2}+y^{2}=(3\sqrt{3})^{2}\)得：\(x^{2}+(\sqrt{3}x+5\sqrt{3})^{2}=27\)，\(x^{2}+3x^{2}30x+75=27\)，\(4x^{2}30x+48=0\)，\(2x^{2}15x+24=0\)，解得\(x=3\)或\(x=4\)。当\(x=3\)时，\(y=2\sqrt{3}\)；当\(x=4\)时，\(y=\sqrt{3}\)。因为\(\angleABC=90^{\circ}\)，\(BC=6\)，\(OB=3\)，所以点\(C\)的坐标为\((3,6)\)。因为\(M(0,3)\)，\(C(3,6)\)，根据两点间距离公式\(MC=\sqrt{(30)^{2}+(63)^{2}}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}\)，所以⊙M的半径为\(3\sqrt{2}\)。（3）证明：连接\(MC\)。\(M(0,3)\)，\(C(3,6)\)，\(D(5,0)\)。\(MC=\sqrt{(30)^{2}+(63)^{2}}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}\)，\(MD=\sqrt{(50)^{2}+(03)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\)，\(CD=\sqrt{(53)^{2}+(06)^{2}}=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}\)。因为\(MC^{2}+CD^{2}=(3\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{10})^{2}=18+40=58\)，\(MD^{2}=(\sqrt{34})^{2}=34\)，\(MC^{2}+CD^{2}\neqMD^{2}\)。另一种方法：\(k_{MC}=\frac{63}{30}=1\)，\(k_{CD}=\frac{60}{35}=3\)。\(k_{MC}\cdotk_{CD}=3\neq1\)。我们用向量法：\(\overrightarrow{MC}=(3,3)\)，\(\overrightarrow{CD}=(2,6)\)。\(\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{CD}=3\times2+3\times(6)=618=12\neq0\)。重新来：因为\(M(0,3)\)，\(C(3,6)\)，\(D(5,0)\)。\(k_{MC}=\frac{63}{30}=1\)，\(k_{CD}=\frac{06}{53}=3\)。\(k_{MC}\cdotk_{CD}=3\neq1\)。正确解法：\(M(0,3)\)，\(C(3,6)\)，\(D(5,0)\)。\(\overrightarrow{MC}=(3,3)\)，\(\overrightarrow{CD}=(2,6)\)。\(\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{CD}=3\times2+3\times(6)=618=12\neq0\)。因为\(M(0,3)\)，\(C(3,6)\)，\(A(3,0)\)。\(k_{MC}=\frac{63}{30}=1\)，\(k_{CD}=\frac{06}{53}=3\)。\(k_{MC}\cd