(高考数学)2025年贵州省安顺市第二次检测试题（附答案）

(高考数学)2025年贵州省安顺市第二次检测试题（附答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax2=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(0\)或\(1\)或\(2\)B.\(1\)或\(2\)C.\(0\)D.\(0\)或\(1\)2.已知复数\(z=\frac{2+i}{1i}\)（\(i\)为虚数单位），则\(z\)的共轭复数\(\overline{z}\)在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数\(f(x)=\frac{\sinx}{x^2+1}\)的图象大致为（）（此处省略图象选项，实际题目中会有四个不同的函数图象供选择）4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，若\(\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\)，则\(x=\)（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(1\)D.\(2\)5.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_7=10\)，则\(S_9=\)（）A.\(45\)B.\(50\)C.\(90\)D.\(100\)6.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的最小正周期为\(\pi\)，且图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位后得到函数\(g(x)=\cos\omegax\)的图象，则\(\varphi=\)（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{\pi}{6}\)D.\(\frac{\pi}{3}\)7.已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，且与椭圆\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)有公共焦点，则\(C\)的方程为（）A.\(\frac{x^2}{4}\frac{y^2}{3}=1\)B.\(\frac{x^2}{3}\frac{y^2}{4}=1\)C.\(\frac{x^2}{16}\frac{y^2}{9}=1\)D.\(\frac{x^2}{9}\frac{y^2}{16}=1\)8.已知函数\(f(x)=x^33x^2+2\)，若\(x_1,x_2\in[1,1]\)，则\(|f(x_1)f(x_2)|\)的最大值为（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是（）A.若随机变量\(X\simN(1,\sigma^2)\)，且\(P(X\lt4)=0.9\)，则\(P(2\ltX\lt1)=0.4\)B.若随机变量\(X\simB(10,\frac{1}{3})\)，则\(D(3X+2)=20\)C.从\(10\)名男生，\(5\)名女生中选取\(4\)人，则其中至少有一名女生的概率为\(\frac{C_{5}^{1}C_{14}^{3}}{C_{15}^{4}}\)D.已知回归直线方程\(\hat{y}=0.85x85.71\)，则变量\(x\)与\(y\)具有正线性相关关系10.已知函数\(f(x)=2\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）（此处省略图象，实际题目中会有函数图象）A.\(\omega=2\)B.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)C.函数\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{12},0)\)对称D.函数\(f(x)\)在\([\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{12}]\)上单调递增11.已知正方体\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)的棱长为\(1\)，点\(P\)是线段\(BC_1\)上的动点，则下列说法正确的是（）A.无论点\(P\)在线段\(BC_1\)上如何移动，都有\(A_1P\perpBD\)B.当\(P\)为\(BC_1\)中点时，直线\(A_1P\)与平面\(ABCD\)所成角的正切值为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.当\(P\)为\(BC_1\)中点时，\(A_1P\)与\(C_1D\)所成角为\(60^{\circ}\)D.三棱锥\(AA_1BP\)的体积为定值12.已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^3x^23x+1\)，则下列说法正确的是（）A.函数\(f(x)\)的极大值为\(\frac{8}{3}\)B.函数\(f(x)\)的极小值为\(8\)C.函数\(f(x)\)在区间\((\infty,1)\)和\((3,+\infty)\)上单调递增D.函数\(f(x)\)有两个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}{3\sin\alpha\cos\alpha}=\)______。14.已知抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，准线为\(l\)，过点\(F\)且斜率为\(\sqrt{3}\)的直线与抛物线交于\(A\)，\(B\)两点，\(AM\perpl\)，\(BN\perpl\)，垂足分别为\(M\)，\(N\)，则\(|MN|=\)______。15.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leqslant0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}\)，若\(f(a)+f(1)=0\)，则实数\(a\)的值为______。16.已知球\(O\)是正四面体\(ABCD\)的外接球，正四面体\(ABCD\)的棱长为\(2\sqrt{6}\)，则球\(O\)的表面积为______。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知\(\triangleABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且满足\(2\cos^2\frac{A}{2}\sqrt{3}\sinA=1\)。（1）求角\(A\)的大小；（2）若\(a=2\)，\(b+c=4\)，求\(\triangleABC\)的面积。18.（12分）已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_n=2a_n2\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=\log_2a_n\)，求数列\(\{\frac{1}{b_nb_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。19.（12分）如图，在四棱锥\(PABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(PA=AD=2\)，\(AB=1\)，\(E\)为\(PD\)的中点。（1）证明：\(PB\parallel\)平面\(AEC\)；（2）求二面角\(EACD\)的余弦值。（此处省略图形，实际题目中会有四棱锥的图形）20.（12分）某学校为了了解学生的学习情况，从高三年级随机抽取了\(100\)名学生的数学成绩，将数据分成\([50,60)\)，\([60,70)\)，\([70,80)\)，\([80,90)\)，\([90,100]\)五组，得到如图所示的频率分布直方图。（1）求这\(100\)名学生数学成绩的平均数\(\overline{x}\)（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若该学校高三年级共有\(1000\)名学生，试估计该学校高三年级数学成绩不低于\(80\)分的学生人数；（3）从数学成绩在\([50,60)\)和\([90,100]\)的学生中任选\(2\)人，求这\(2\)人数学成绩都在\([90,100]\)的概率。（此处省略频率分布直方图，实际题目中会有图形）21.（12分）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且过点\((1,\frac{\sqrt{2}}{2})\)。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，若\(OA\perpOB\)，求\(\frac{m^2}{k^2+1}\)的值。22.（12分）已知函数\(f(x)=e^xax1\)（\(a\inR\)）。（1）讨论函数\(f(x)\)的单调性；（2）若函数\(f(x)\)有两个零点\(x_1\)，\(x_2\)，且\(x_1\ltx_2\)，证明：\(x_1+x_2\gt2\)。答案一、选择题1.A先求解集合\(A\)：由\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。因为\(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a=0\)时，\(B=\varnothing\)，满足\(B\subseteqA\)。当\(a\neq0\)时，\(B=\{x|ax2=0\}=\{\frac{2}{a}\}\)，若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)；若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。综上，实数\(a\)的值为\(0\)或\(1\)或\(2\)。2.D化简\(z=\frac{2+i}{1i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)。则\(\overline{z}=\frac{1}{2}\frac{3}{2}i\)，其在复平面内对应的点为\((\frac{1}{2},\frac{3}{2})\)，位于第四象限。3.A函数\(f(x)=\frac{\sinx}{x^2+1}\)的定义域为\(R\)，且\(f(x)=\frac{\sin(x)}{(x)^2+1}=\frac{\sinx}{x^2+1}=f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函数，图象关于原点对称，排除\(B\)，\(C\)。当\(x=\frac{\pi}{2}\)时，\(f(\frac{\pi}{2})=\frac{\sin\frac{\pi}{2}}{(\frac{\pi}{2})^2+1}=\frac{1}{\frac{\pi^2}{4}+1}\gt0\)，排除\(D\)。4.C先求\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=(1x,3)\)。因为\(\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b})=0\)，即\(1\times(1x)+2\times3=0\)。展开得\(1x+6=0\)，解得\(x=7\)。5.A根据等差数列的性质：若\(m+n=p+q\)，则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)，在等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_9=a_3+a_7=10\)。由等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，可得\(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}=\frac{9\times10}{2}=45\)。6.A因为函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\)，所以\(\omega=2\)，则\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)。图象向左平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位后得到\(g(x)=\sin\left[2(x+\frac{\pi}{6})+\varphi\right]=\sin(2x+\frac{\pi}{3}+\varphi)\)。又\(g(x)=\cos2x=\sin(2x+\frac{\pi}{2})\)，所以\(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\inZ\)。因为\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)。7.C椭圆\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)的焦点坐标为\((\pm3,0)\)，所以双曲线\(C\)的半焦距\(c=3\)。双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，则\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)。又\(c^2=a^2+b^2\)，\(c=3\)，\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)，即\(b=\frac{3}{4}a\)，代入\(c^2=a^2+b^2\)得\(9=a^2+\frac{9}{16}a^2=\frac{25}{16}a^2\)，解得\(a^2=16\)，\(b^2=9\)。所以双曲线\(C\)的方程为\(\frac{x^2}{16}\frac{y^2}{9}=1\)。8.B对\(f(x)=x^33x^2+2\)求导得\(f^\prime(x)=3x^26x=3x(x2)\)。当\(x\in[1,1]\)时，令\(f^\prime(x)\gt0\)，得\(1\leqslantx\lt0\)；令\(f^\prime(x)\lt0\)，得\(0\ltx\leqslant1\)。所以\(f(x)\)在\([1,0]\)上单调递增，在\([0,1]\)上单调递减。\(f(1)=(1)^33\times(1)^2+2=2\)，\(f(0)=2\)，\(f(1)=1^33\times1^2+2=0\)。则\(f(x)_{\max}=f(0)=2\)，\(f(x)_{\min}=f(1)=2\)。所以\(|f(x_1)f(x_2)|\)的最大值为\(|2(2)|=4\)。二、选择题9.ABD选项A：因为随机变量\(X\simN(1,\sigma^2)\)，所以正态曲线关于\(x=1\)对称。\(P(X\lt4)=0.9\)，则\(P(X\gt4)=10.9=0.1\)，\(P(X\lt2)=P(X\gt4)=0.1\)，所以\(P(2\ltX\lt1)=\frac{12\times0.1}{2}=0.4\)，A正确。选项B：若随机变量\(X\simB(10,\frac{1}{3})\)，则\(D(X)=10\times\frac{1}{3}\times(1\frac{1}{3})=\frac{20}{9}\)，所以\(D(3X+2)=3^2D(X)=9\times\frac{20}{9}=20\)，B正确。选项C：从\(10\)名男生，\(5\)名女生中选取\(4\)人，至少有一名女生的概率为\(1\frac{C_{10}^{4}}{C_{15}^{4}}\)，C错误。选项D：回归直线方程\(\hat{y}=0.85x85.71\)中，\(0.85\gt0\)，则变量\(x\)与\(y\)具有正线性相关关系，D正确。10.ABD由图象可知\(\frac{T}{4}=\frac{5\pi}{12}\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{4}\)，则\(T=\pi\)，又\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，所以\(\omega=2\)，A正确。把\((\frac{\pi}{6},2)\)代入\(f(x)=2\sin(2x+\varphi)\)得\(2\sin(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi)=2\)，即\(\sin(\frac{\pi}{3}+\varphi)=1\)，\(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\inZ\)，因为\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)，B正确。\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)，令\(2x+\frac{\pi}{6}=k\pi,k\inZ\)，解得\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},k\inZ\)，所以函数\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},0),k\inZ\)对称，当\(k=0\)时，对称点为\((\frac{\pi}{12},0)\)，C错误。令\(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\inZ\)，解得\(\frac{\pi}{3}+k\pi\leqslantx\leqslant\frac{\pi}{6}+k\pi,k\inZ\)，当\(k=0\)时，函数\(f(x)\)在\([\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}]\)上单调递增，所以函数\(f(x)\)在\([\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{12}]\)上单调递增，D正确。11.ABD选项A：因为\(DD_1\perp\)平面\(ABCD\)，\(BD\subset\)平面\(ABCD\)，所以\(DD_1\perpBD\)，又\(AC\perpBD\)，\(DD_1\capAC=D\)，所以\(BD\perp\)平面\(ACC_1D_1\)，\(A_1P\subset\)平面\(ACC_1D_1\)，所以\(A_1P\perpBD\)，A正确。选项B：以\(D\)为原点，分别以\(DA,DC,DD_1\)所在直线为\(x,y,z\)轴建立空间直角坐标系。则\(A_1(1,0,1)\)，\(P(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})\)，平面\(ABCD\)的法向量为\(\overrightarrow{n}=(0,0,1)\)。\(\overrightarrow{A_1P}=(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})\)，设直线\(A_1P\)与平面\(ABCD\)所成角为\(\theta\)，则\(\sin\theta=|\frac{\overrightarrow{A_1P}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A_1P}|\cdot|\overrightarrow{n}|}|=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}}\times1}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=1\)，B错误。选项C：\(\overrightarrow{A_1P}=(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})\)，\(\overrightarrow{C_1D}=(0,1,1)\)，\(\cos\langle\overrightarrow{A_1P},\overrightarrow{C_1D}\rangle=\frac{\overrightarrow{A_1P}\cdot\overrightarrow{C_1D}}{|\overrightarrow{A_1P}|\cdot|\overrightarrow{C_1D}|}=\frac{1+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}\times\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\)，所以\(A_1P\)与\(C_1D\)所成角为\(60^{\circ}\)，C正确。选项D：因为\(V_{AA_1BP}=V_{PAA_1B}\)，点\(P\)到平面\(AA_1B\)的距离为定值，\(\triangleAA_1B\)的面积为定值，所以三棱锥\(AA_1BP\)的体积为定值，D正确。12.ABC对\(f(x)=\frac{1}{3}x^3x^23x+1\)求导得\(f^\prime(x)=x^22x