(苏科版)2025届数学九年级上册《第2章 对称图形-圆》例题(含答案)

(苏科版)2025届数学九年级上册《第2章对称图形—圆》例题精选(含答案)垂径定理相关例题例1：已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，求圆心O到弦AB的距离。解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C。因为OC⊥AB，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以AC=AB÷2=6÷2=3cm。在Rt△OAC中，OA=5cm，AC=3cm，根据勾股定理OC=\(\sqrt{OA^{2}AC^{2}}\)。则OC=\(\sqrt{5^{2}3^{2}}=\sqrt{259}=\sqrt{16}=4\)cm。所以圆心O到弦AB的距离为4cm。例2：⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围。解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。因为直径为10，所以半径OA=5。由于OC⊥AB，根据垂径定理，AC=AB÷2=8÷2=4。在Rt△OAC中，根据勾股定理OC=\(\sqrt{OA^{2}AC^{2}}=\sqrt{5^{2}4^{2}}=\sqrt{2516}=\sqrt{9}=3\)。当P与C重合时，OP最短，此时OP=3；当P与A（或B）重合时，OP最长，此时OP=OA=5。所以OP长的取值范围是3≤OP≤5。圆心角、弧、弦关系定理相关例题例3：在⊙O中，\(\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}\)，那么AB与2CD的大小关系是（）A.AB=2CDB.AB＞2CDC.AB＜2CDD.无法确定解：取\(\overset{\frown}{AB}\)的中点E，连接AE、BE。因为\(\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}\)，所以\(\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}\)。根据圆心角、弧、弦关系定理，可得AE=BE=CD。在△AEB中，根据三角形三边关系，AE+BE＞AB，即2CD＞AB。所以AB＜2CD，答案选C。例4：已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF分别为AB、CD的弦心距，且AB=CD。求证：∠AOB=∠COD，OE=OF。证明：因为在⊙O中，AB=CD，根据圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弦心距相等。所以\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)，∠AOB=∠COD。又因为OE⊥AB，OF⊥CD，且AB=CD，所以OE=OF（在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等）。圆周角定理相关例题例5：如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（）A.40°B.50°C.80°D.100°解：根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。因为点A、B、C在⊙O上，∠AOC是圆心角，∠ABC是圆周角，且它们所对的弧都是\(\overset{\frown}{AC}\)。所以∠ABC=\(\frac{1}{2}\)∠AOC。已知∠AOC=100°，则∠ABC=\(\frac{1}{2}\times100^{\circ}=50^{\circ}\)。答案选B。例6：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为\(\sqrt{3}\)cm，求弦CD的长。解：连接OD。因为AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理，CE=DE。因为∠DOB和∠DCB所对的弧都是\(\overset{\frown}{BD}\)，根据圆周角定理，∠DOB=2∠DCB。又因为∠CDB=30°，在Rt△DEB中，∠DCB=30°，所以∠DOB=60°。因为OD=OB=\(\sqrt{3}\)cm，所以△ODB是等边三角形。则DE=OD×sin60°=\(\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\)cm。所以CD=2DE=3cm。点与圆、直线与圆的位置关系相关例题例7：已知⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在圆内B.点P在圆上C.点P在圆外D.无法确定解：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d。当d＞r时，点P在圆外；当d=r时，点P在圆上；当d＜r时，点P在圆内。已知r=5cm，d=4cm，因为4＜5，即d＜r。所以点P在圆内，答案选A。例8：已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO=3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相切B.相离C.相离或相切D.相切或相交解：当OP⊥直线l时，即圆心O到直线l的距离d=3，此时d=r，直线l与⊙O相切。当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜3，此时d＜r，直线l与⊙O相交。所以直线l与⊙O的位置关系是相切或相交，答案选D。圆与圆的位置关系相关例题例9：已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.外离解：设两圆的半径分别为R和r（R≥r），圆心距为d。当d＞R+r时，两圆外离；当d=R+r时，两圆外切；当Rr＜d＜R+r时，两圆相交；当d=Rr时，两圆内切；当d＜Rr时，两圆内含。已知R=5，r=3，d=7，因为53＜7＜5+3，即Rr＜d＜R+r。所以两圆的位置关系是相交，答案选B。例10：已知⊙O₁与⊙O₂的半径分别是方程\(x^{2}4x+3=0\)的两根，且圆心距\(O_{1}O_{2}=t+2\)，若这两个圆相切，则t=。解：解方程\(x^{2}4x+3=0\)，分解因式得\((x1)(x3)=0\)，则\(x1=0\)或\(x3=0\)，解得\(x_{1}=1\)，\(x_{2}=3\)。所以两圆半径分别为1和3