人教版八年级下学期数学第20章勾股定理第1节勾股定理及其应用知识点+练习题以及答案

第二十章勾股定理第１节：勾股定理及其应用知识点（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.（2）公式变形：a=c2－b2

b=(3)利用勾股定理进行计算:①.已知两边求第三边：已知两条直角边求斜边，直接代入公式计算斜边长度.已知斜边和一条直角边，求另一条直角边.②.解决实际问题中的应用：比如在建筑、测量等领域。如要测量一个池塘两点间的距离，可构造直角三角形，通过测量直角边长度利用勾股定理计算斜边（两点间距离）.③.勾股定理的变形形式：a2=c2−b2,b2=c2−a2这些变形在计算直角边时很有用.（4）勾股定理应用的常见类型：①已知直角三角形的任意两边长求第三边；②已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长；③证明包含由平方(算术平方根）关系的几何问题；④求解几何体表面上的的最短路径问题；⑤构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产，生活中的实际问题.（5）求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.（6）利用勾股定理表示无理数的方法:①利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.②以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点.在原点左边的点表示是负无理数；在原点右边的点表示是正无理数.（7）折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:①设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；②用已知含x的代数式表示出其他线段长；③在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；④解这个方程，从而求出所求线段长.练习题第1课时勾股定理１．设直角三角形的两条直角边长分别为ａ和ｂ，斜边长为ｃ，已知ｂ＝１２，ｃ＝１３，则ａ＝（）Ａ．１Ｂ．５Ｃ．１０Ｄ．２５２．象棋起源于中国，是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物．如图所示的是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长都为１，则“车”与“炮”两棋子所在格点之间的距离为（）Ａ．5Ｂ．３Ｃ．10Ｄ．４10３．如图，在平面直角坐标系中，△ＡＯＢ是等边三角形，若点Ｂ的坐标是（４，０），则点Ａ的坐标是（）Ａ．（２，２）Ｂ．（2，23）Ｃ．（23，2）Ｄ．（１，２）４．如图，网格中的每个小正方形的边长都为１，△ＡＢＣ的顶点Ａ，Ｂ，Ｃ均在网格的格点上，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ，则ＢＤ的长为．５．已知一个直角三角形的两边长分别为３和４，则第三边长的平方是．６．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝５ｃｍ，ＢＣ＝３ｃｍ，点Ｄ为ＡＣ上的一点，将△ＢＣＤ沿ＢＤ折叠，使点Ｃ恰好落在ＡＢ上的点Ｅ处，求ＡＤ的长．７．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的是（）Ａ．①③Ｂ．②③Ｃ．②④Ｄ．①④８．学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图１，点Ｂ是正方形ＡＣＤＥ的边ＣＤ上一点，连接ＡＢ，得到直角三角形ＡＣＢ，三边长分别为ａ，ｂ，ｃ，将△ＡＣＢ裁剪、拼接至△ＡＥＦ的位置，如图２所示，该同学用图１、图２的面积不变证明了勾股定理．请你写出用该方法证明勾股定理的过程．９．图１是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的．若图１中大正方形的面积为２４，小正方形的面积为４，现将这四个直角三角形拼成图２，则图２中大正方形的面积为（）Ａ．２４Ｂ．３６Ｃ．４０Ｄ．４４１０．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝１２０°，ＡＢ＝ＡＣ，边ＡＣ的中点为Ｄ，边ＢＣ上的点Ｅ满足ＥＤ⊥ＡＣ．若ＤＥ＝3，则ＡＣ的长是（）Ａ．43Ｂ．６Ｃ．23Ｄ．３１１．如图，在平面直角坐标系中，正方形ＡＢＣＤ的边ＡＢ在ｘ轴上，点Ｂ的坐标为（１，０），点Ｅ在边ＣＤ上，将△ＡＤＥ沿ＡＥ折叠，使点Ｄ落在点Ｆ处．若点Ｆ的坐标为（０，３），则点Ｅ的坐标为．12．如图所示的是一棵勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知最大正方形的面积是１６，则图中阴影正方形的面积之和为．13．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，在ＡＢ同侧分别以ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ为直径作三个半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若ＢＣ＝８，ＡＣ＝６，则阴影部分的面积为．14.如图，以Ｒｔ△ＡＢＣ的三边为边分别向外作等边三角形，若斜边ＡＢ＝２，则图中阴影部分的面积为．15．定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中偏度值”．（１）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，求△ＡＢＣ中ＡＢ边的“中偏度值”．（２）在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝１３，ＡＢ＝１５，ＢＣ边上的高ＡＤ＝１２，求△ＡＢＣ中ＢＣ边的“中偏度值”．第2课时勾股定理的应用１．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行１.２ｋｍ后，再向北飞行０.９ｋｍ到达社区配送点，如图，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路程为（）Ａ．１.０ｋｍＢ．１.５ｋｍＣ．１.８ｋｍＤ．２.１ｋｍ２．如图，有一盏灯由传感器Ａ控制，传感器Ａ装在门正上方离地面４.５ｍ的墙上，任何东西只要移动至该传感器周围５ｍ及５ｍ以内，灯就会自动发光，一位身高１.５ｍ的学生走到离墙多远的地方时，灯刚好自动发光？（）Ａ．３ｍＢ．４ｍＣ．５ｍＤ．７ｍ３．如图，海天号、顺艺号两艘轮船同时从港口Ｏ出发，海天号轮船以２０海里/时的速度沿南偏东４５°方向航行，顺艺号轮船沿南偏西４５°方向航行，已知它们离开港口Ｏ两小时后，分别航行至点Ｎ，Ｍ处，此时两艘轮船相距５０海里，则顺艺号轮船平均每小时航行（）Ａ．１５海里Ｂ．１６海里Ｃ．１７海里Ｄ．１８海里４．如图，长为３ｍ的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为１.８ｍ，则梯子顶端距地面的高度ｈ为ｍ．５．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中ＡＢ＝ＡＢ′，ＡＢ⊥Ｂ′Ｃ于点Ｃ，ＢＣ＝０.５尺，Ｂ′Ｃ＝２尺．设ＡＣ的长度为ｘ尺，可列方程为．６．某传媒公司用吊车张贴广告，示意图如图，已知吊臂总长ＡＢ＝１５米，Ｂ点与楼房的距离ＢＥ＝１２米，且Ｂ点距离地面１．５米．（１）求吊臂最高点Ａ与地面之间的距离（ＡＯ的长度）．（２）完成Ａ处张贴任务后，吊车沿射线ＯＰ右移，使得吊臂上的顶点Ａ下滑至Ｃ处，若已知ＡＣ长为３米，求吊臂支柱Ｂ点移动的距离（ＢＤ的长度）．７．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房ＣＤ的高度（如图），他们在Ａ处仰望楼顶，测得仰角∠Ａ＝３０°，再往楼的方向前进５０米至Ｂ处，测得仰角∠ＤＢＣ＝６０°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（）Ａ．253米Ｂ．２５米Ｃ．252米Ｄ．５０米８．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置Ａ处摆绳ＯＡ与地面垂直，摆绳长２ｍ，向前荡起到最高点Ｂ处时距地面１．３ｍ，摆动的水平距离ＢＤ为１．６ｍ，然后向后摆到最高点Ｃ处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且ＯＢ与ＯＣ成９０°角，则小丽在Ｃ处时距离地面的高度是（）Ａ．０．９ｍＢ．１．３ｍＣ．１．６ｍＤ．２ｍ９．某单行隧道的截面如图所示，四边形ＡＢＣＤ是长方形，上部是以ＡＤ为直径的半圆，ＡＢ＝６ｍ，ＢＣ＝４ｍ．现有一辆装满货物的卡车，高为７.３ｍ，宽为３.２ｍ，问这辆卡车能否安全通过隧道？请说明理由．１０．如图，Ａ，Ｂ，Ｃ是我国南部的三个岛屿，已知岛屿Ｃ在岛屿Ａ的东北方向上，岛屿Ｂ在岛屿Ａ的正东方向上，Ａ，Ｃ两岛之间的距离为202ｋｍ，Ａ，Ｂ两岛之间的距离为６８ｋｍ．（１）求出Ｂ，Ｃ两岛之间的距离．（２）此时岛屿Ｂ产生了台风，风力影响半径为２５ｋｍ（即以台风中心为圆心，２５ｋｍ为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以２０ｋｍ/ｈ的速度由Ｂ向Ａ移动，请判断岛屿Ｃ会不会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿Ｃ持续的时间有多长．第3课时利用勾股定理进行作图与计算１．如图，在数轴上，以１个单位长度为边长画正方形，以正方形对角线的长为半径画弧，与数轴交于点Ａ，则点Ａ表示的数为（）Ａ．2Ｂ．1＋2Ｃ．2＋2Ｄ．3－2２．如图，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＦ，∠ＣＢＡ＝∠ＤＣＡ＝∠ＥＤＡ＝∠ＦＥＡ＝９０°，以Ａ点为圆心，ＡＦ的长为半径作圆弧与数轴交于点Ｐ．若点Ａ表示的数为０，点Ｂ表示的数为１，则点Ｐ表示的数为．３．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是１，每个顶点叫作格点．（１）在图１中以格点为顶点画一个面积为１０的正方形．（２）在图２中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为２，5，13，并求这个三角形的面积和最长边上的高．４．如图，在平面直角坐标系中，点Ｐ的坐标为（－２，３），以点Ｏ为圆心，以ＯＰ的长为半径画弧，交ｘ轴的负半轴于点Ａ，则点Ａ的横坐标介于（）Ａ.－２.５和－３之间Ｂ.－３和－３.５之间Ｃ.－３.５和－４之间Ｄ.－４和－４.５之间５．如图，Ｒｔ△ＯＡＢ的直角边ＯＡ＝２，ＡＢ＝１，ＯＡ在数轴上，在ＯＢ上截取ＢＣ＝ＢＡ，以原点Ｏ为圆心，ＯＣ长为半径画弧，交数轴于点Ｐ，则ＯＰ的中点Ｄ所表示的实数是．６．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置．（１）如图１，一个直角三角形的直角边ＢＣ落在数轴上，点Ｂ与数轴原点Ｏ重合，ＢＣ＝３，ＡＣ＝５，∠ＡＣＢ＝９０°，以Ｂ为圆心，ＢＡ长为半径画弧，交数轴于点Ｄ，则点Ｄ表示的实数是．（２）在图２中，作出实数10－２所在的位置．（保留必要的作图痕迹）答案第1课时勾股定理１．Ｂ２．Ｃ３．Ｂ４．45５．２５或７６．2.5７．Ｄ８．略９．Ｄ１０．Ｂ１１．（－3212．１６13．2414.２315．（1）0.7（2）2或7第2课时勾股定理的应用１．Ｂ２．Ｂ３．Ａ４．２.４５．ｘ２＋２２＝（ｘ＋０．５）２６．解析（１）∵ＡＢ＝１５米，ＢＥ＝１２米，∠ＡＥＢ＝９０°，∴ＡＥ＝AB2易得ＯＥ＝１．５米，∴ＡＯ＝ＡＥ＋ＯＥ＝９＋１.５＝１０.５（米）．答：吊臂最高点Ａ与地面之间的距离是１０.５米．（２）∵ＡＥ＝９米，ＡＣ＝３米，∴ＣＥ＝ＡＥ－ＡＣ＝９－３＝６（米），∵ＣＤ＝ＡＢ＝１５米，∴ＤＥ＝CD2－CE2∴ＢＤ＝ＤＥ－ＢＥ＝（321－１２）米．答：吊臂支柱Ｂ点移动的距离为（321－１２）米．７．Ａ８．Ａ９．解析:不能安全通过．理由：如图，设点Ｏ为半圆的圆心，则Ｏ为ＡＤ的中点，因为卡车的宽为３.２ｍ，所以在ＯＤ上取ＯＦ＝１.６ｍ，过点Ｆ作ＧＥ⊥ＡＤ，交半圆于点Ｇ，交ＢＣ于点Ｅ，连接ＯＧ，在Ｒｔ△ＯＦＧ中，ＯＧ＝12AD＝12∴ＦＧ２＝ＯＧ２－ＯＦ２＝２２－１.６２＝１.２２∴ＦＧ＝１.２ｍ，所以ＥＧ＝ＥＦ＋ＦＧ＝６＋１.２＝７.２ｍ＜７.３ｍ，所以卡车不能安全通过隧道．１０．解析（１）如图，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，∴∠ＡＤＣ＝９０°，由题意易得∠Ａ＝∠ＡＣＤ＝４５°，∴ＣＤ＝ＡＤ，在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＡＣ＝202ｋｍ，由勾股定理，得ＡＤ２＋ＣＤ２＝ＡＣ２，∴２ＡＤ２＝（202）２，∴ＡＤ＝２０ｋｍ（负值已舍），∴ＣＤ＝２０ｋｍ，在Ｒｔ△ＢＣＤ