人教版八年级下学期数学第19章二次根式单元知识点+单元练习题以及答案

第十九章二次根式单元知识点和练习题知识点（1）①一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根.②如果x2=a（x≥0），那么x称为a的算术平方根.用a(a≥0)表示.③我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.（2）①一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫作二次根式.“”称为二次根号.②注意：a可以是数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是被开方数a必须大于或等于0.③两个必备特征①外貌特征：含有“（3）二次根式有意义的条件(被开方数≥0)（4）①单个二次根式如A有意义的条件:A≥0；②多个二次根式相加如A+B+...+N有意义的条件：A③二次根式作为分式的分母如BA④二次根式与分式的和如A+1B（5）（a）2（a≥0）的性质：①一般地，（a）2＝a(a≥0).即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.②注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式a有意义的前提条件.（6）a2的性质：①a2=a=（7）二次根式的双重非负性：a具有双重非负性：①a≥0:②a≥0.②(a)2与a21.区别：①取值范围不同②运算顺序不同③运算结果不同：(a)2=a，a2=2.联系：①(a)2与a2均为非负数；②当a≥0时，（a)2=（8）代数式的定义：用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.（9）列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．（8）①二次根式的乘法法则:一般地，对于二次根式的乘法是a·b=a·②二次根式相乘，___根指数_____不变，被开方数相乘.③语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.（注意：a,b都必须是非负数.）（9）二次根式的乘法法则的推广：①多个二次根式相乘时此法则也适用，即a·b·c...n=a·②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即ma·nb=（mn）a·（10）比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小，被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.（11）二次根式乘法法则的逆用：二次根式乘法法则的逆用：a·b=a·（语言叙述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积.）（12）化简二次根式的步骤：①.把被开方数分解因式(或因数).②2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积.③.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式a2=a（13）二次根式的除法法则:文字叙述:ab=a（算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.）（14）当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得manb（15）商的算术平方根的性质：我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:ab=a（语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.）（16）最简二次根式满足如下两个特点：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.③我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.（简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.）（17）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.（18）分母有理化一般经历如下三步：“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)移到根号外；“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)；“三化”，即化简计算．（19）二次根式比较大小的方法(20)平方法：若两个二次根式同号，可先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可.(21)比较被开方数法：逆用公式a2(22)作商法：同号两数相除，比较商与1的大小，如当a,b都是正数时，①若ab>1，则a>b.②若ab=1,则a=b.③若（23）将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.（注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.）（24）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：ma+na=(m+n)a(25)二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.(26)加减法的运算步骤：①化——将非最简二次根式的二次根式化简；②找——找出被开方数相同的二次根式；③并——把被开方数相同的二次根式合并.（口诀：一化简二判断三合并）（27）二次根式的混合运算及应用①.运算种类：二次根式的加，减，乘，除，乘方(或开方)的混合运算.②.运算顺序：无括号的先乘方，再乘除，最后加减.有括号的先算括号里面的(或先去掉括号）.同级运算，从左到右进行计算.③.运算依据：实数的运算律(交换律，结合律，分配律），多项式乘法法则和乘法公式(平方差公式，完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用.（28）利用乘法公式进行二次根式的运算①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;②完全平方公式：(a－b)2=a2－2ab+b2;(a+b)2=a2+2ab+b2;二次根式单元测试题（满分40分时间40分钟）一、选择题（每小题５分，共４０分）１．若ｘ＋１在实数范围内有意义，则ｘ的取值范围是（）Ａ．ｘ≤１Ｂ．ｘ≥１Ｃ．ｘ≤－１Ｄ．ｘ≥－１２．下列式子中，为最简二次根式的是（）Ａ．23Ｂ．０.８Ｃ．9３．下列二次根式中，化成最简二次根式后，与４８可以合并的是（）Ａ．０.１２Ｂ．２０Ｃ．6４．下列运算正确的是（）Ａ．2＋3＝5Ｂ．2－8＝－2Ｃ．（7＋２）（7－２）＝５Ｄ．（6＋2）÷2＝３５．如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在数轴上，则可以近似表示2×18－24÷２2的运算结果的点是（）Ａ．点ＡＢ．点ＢＣ．点ＣＤ．点Ｄ６．若２，５，ｎ为三角形的三边长，则化简（３－ｎ）2＋（８－ｎ）2的结果为（Ａ．５Ｂ．２ｎ－１１Ｃ．１１－２ｎＤ．－５７．下列各式成立的是（）Ａ．a2－16＝ａ＋４·ａ－４Ｂ．ａｂ＝Ｃ．（ｍ＋ｎ）2＝ｍ＋ｎ·ｍ＋ｎＤ．（－３）×（－５）＝3×８．按如图所示的程序计算，若开始输入的ｎ值为3，则输出的结果是（）Ａ．２２Ｂ．１５＋７3Ｃ．３６Ｄ．２２＋3二、填空题（每小题５分，共２０分）９．若式子ｍ＋２ｍ－１在实数范围内有意义，则ｍ的取值范围是１０．已知ｍ＝3＋２，ｎ＝2－２，则m2+n2+5mn１１．如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为2108米，宽为298米，广场中间有两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块长方形绿地的长为（213＋２）米，宽为（213－２）米．除绿地部分，广场其他部分都要铺上地砖，则这个广场铺地砖的面积为平方米．1２．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则ａ－ｂ＝．三、解答题（共４０分）１３．（８分）计算：（１）3220×（－1348（２）35xy2÷（－215x１４．（１０分）（１）已知ａ＝12+3，求a2（２）已知ｘ＝12（5＋3），ｙ＝12（5－3），求ｘ１５．（１０分）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间ｔ（ｓ）和高度ｈ（ｍ）近似满足公式ｔ＝ℎ5（１）求物体从６０ｍ的高空落到地面的时间．（２）小明说物体从１２０ｍ的高空落到地面的时间是（１）中所求时间的２倍，他的说法正确吗？请说明理由．（３）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：Ｊ）＝１０×物体质量（ｋｇ）×高度（ｍ），某质量为０.０６ｋｇ的鸡蛋经过５ｓ落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要６５Ｊ的能量）１６．（１２分）阅读下面材料：将边长分别为ａ，ａ＋b，ａ＋２b，ａ＋３b的正方形面积分别记为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４，则Ｓ２－Ｓ１＝（ａ＋b）２－ａ２＝［（ａ＋b）＋ａ］·［（ａ＋b）－ａ］＝（２ａ＋b）·b＝２ａb＋ｂ．例如：当ａ＝１，ｂ＝３时，Ｓ２－Ｓ１＝3＋23．根据以上材料，解答下列问题：（１）当ａ＝１，ｂ＝３时，Ｓ３－Ｓ２＝，Ｓ４－Ｓ３＝．（２）当ａ＝１，ｂ＝３时，把边长为ａ＋ｎb的正方形面积记作Ｓｎ＋１，其中ｎ是正整数，根据（１）中的计算结果，你能猜出Ｓｎ＋１－Ｓｎ等于多少吗？并证明你的猜想．（３）当ａ＝１，ｂ＝３时，令ｔ１＝Ｓ２－Ｓ１，ｔ２＝Ｓ３－Ｓ２，ｔ３＝Ｓ４－Ｓ３，……，ｔｎ＝Ｓｎ＋１－Ｓｎ，且Ｔ＝ｔ１＋ｔ２＋ｔ３＋…＋ｔ５０，求Ｔ的值．答案１．Ｄ２．Ｄ３．Ａ４．Ｂ５．Ｃ６．Ａ７．Ｄ８．Ｂ９．ｍ≥１１０．３１１．（１６８6－９６）1２．－６2１３．（１）原式＝32×（－13=－1=－310（２）原式＝35÷（－215）ｘ（－5=15=15x１４．解析（１）∵ａ＝12+3＝２－∴ａ－１＜０，∴原式＝（ａ＋２）（ａ－３）ａ＋２－＝ａ－３＋1＝２－3－３＋２＋3＝１．（２）x+y=12（5＋3）+12（5－xy=12（5＋3）·12（5－ｘ２＋６ｘｙ＋ｙ２=（x+y）2+4xy=5+2=7１５．解析（１）把