七年级上册数学全册单元试卷测试卷(含答案解析)

七年级上册数学全册单元试卷测试卷（含答案解析）

一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）

（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2,若NE=90。且AB与CD的位置关系保持不变，当直角顶点E移动时，写出

/BAE与NECD的数量关系，并说明理由：

（3）如图3,P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，且AB与CD的位置关系

保持不变，当点Q在射线CD上运动时（不与点C重合），ZPQD,ZAPQ与NBAC有何数量

关系？写出结论，并说明理由.

【答案】（1），出〃以，理由如下：

CE平分/4CD，AE平分不设，/E4C+ZACE-90°

・•.NK4C=2"AC,^ACD-2^ACE

NBAC+^ACD=2^EAC^-2^ACE=2(^EAC+ZACE)=2x90r=180r

(2)XR-AE4^ECD=90°»理由如下：

如图，延长AE交CD于点F,则ZA,EC.=90r

vABIJCD

XRAE=NAFC

由三角形的外角性质得：/4,FC+/ECT=ZAEC=90°

・■・7BAE4-XECD=90°；

B/A

DFC

<3）々0D+4P0+=360。，理由如下:

vAB“CD

AXRAC4-XACD=180r，即力CD=1X0’-XRAC

由三角形的外角性质得：/APQ=^PQC+^ACD="QC4180'-^BAC

又个NQC+SQD=180"，即力QC=180°-^PQD

：./APQ=ZPOC+180'-ZBAC=180r-ZPQD+180--^BAC

即ZPQD+NAPQ+^BAC=360°-

【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平仃线的判定即可得；（2）根据平行线的

性质（两直线平行，内错角相等）、三角形的外角性质即可得；（3）根据平行线的性质

（两直线平行，同旁内角互补）、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得.

（1）在图①中作出射线OD满足NCOD=50%并直接写出NAOD的度数是:

（2）在图②中作出射线OD、OE,使得OD平分NAOC,OE平分NBOD,并求NCOE的度

数；

（3）如图③，若射线OD从OA出发以每秒10。的速度绕点O顺时针方向旋转，同时射线

OE从OC出发以每秒5。的速度绕点。顺时针方向旋转，设旋转的时间为t秒，在旋转过程

中，当OB第一次恰好平分NDOE时，求出t的值，并作出此时OD、OE的大概位置.

【答案】（1）20。或80°

•/ZAOB=120°/.ZA0C=120o-90°=30o;OD平分NAOC/.ZCOD=2ZAOC=15°

o

ZBOD=90+15°=105°/•/OE是NBOD的平分线ZEOD=2ZBOD=52.5°/.ZCOE=52.5°-

150=37.5a.

（3）解：如图,根据题意有:30°+5t+(90°-5t)x2=10t

解得：t=14.

【解析】【解答】解：（1）有两种情况分别是:

①当0D在NAOB内部时，如图,

,/COXBO

ZCOB=90°

ZAOB=120°

/.zAoc=i2(r-9(r=30°

,/ZCOD=50。，

NAOD=500+30°=80°;

.②当OD在NAOB外部时,如图,

COXBO

ZCOB=90°

,/ZAOB=120°

/.ZAOC=120°-90°=30°

Z000=50°,

ZA0D=50o-30°=20°

【分析】（1）有两种情况分别是：①当OD在NAOB内部时，如图，根据垂直的定义及

角的和差，由NAOC=ZAOB-ZBOC即可算出NAOC的度数，最后艰据

NAOD-NAOC+NCOD即可算出答案；②当OD在NAOB外部时，如图，根据垂直的定义及

角的和差，由ZAOC=ZAOB-ZBOC即可算出/AOC的度数，最后根据NAOD=ZCOD-

ZCOA即可算出答案；

（2）根据垂直的定义及角的和差，由NAOC=NAOB-NBOC即可算出NAOC的度数，根据

1

角平分线的定义得出NCOD=）NAOC算出NCOD的度数，根据角的和差，由

1

NBOD=ZCOD+ZBOC算出NBOD的度数，再根据角平分线的定义得出NEOD=IZBOD得

出NEOD的度数，最后根据NCOE=ZEOD-NCOD算出答案；

（3）根据题意NAOD=10t,ZCOE=5t,根据角的和差得出NBOD=ZAOD-ZAOB=10t-

120。/BOE=ZCOB-ZCOE=90°-5t,然后根据角平分线的定义得出ZBOD=ZBOE,从而列出

方程，求解即可。

3.探究题：如图①，已知线段AB=14cm,点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC

和BC的中点.

■11工I

ADCEB

①

（1）若点C恰好是AB中点，则DE=cm；

（2）若AC=4cm,求DE的长；

（3）试利用"字母代替数〃的方法，设AC=acm请说明不论a取何值（a不超过14cm）,

DE的长不变；

（4）知识迁移：如图②，己知NAOB=120。，过角的内部任一点C画射线OC,若OD、OE

分别平分NAOC和NBOC,试说明NDOE=60。与射线0C的位置无关.

【答案】（1）7

（2）解：,/AC=4cm/.BC=AB-AC=10cm又二D为AC中点，E为BC中点

CD=2cm,CE=5cm/.DE=CD+CE=7cm.

a

（3）解：,/AC=acm/.BC=AB-AC=（14-a）cm又CD为AC中点,E为BC中点/.CD=2

/7-aa14-aa+14-a

-----------------------------------------7coi

cm,Ct=2cmDE=CD+CE=+22无论a取何值（不超

过14）DE的长不变。

(4)解：设NAOC=a,ZBOC=120-a=OD平分NAOCQE平分NBOC/.ZCOD=2,

12(f-aa12(f-aa+12(f-a

ZCOE=2ZDOE=ZCOD+ZCOE=2+2=2=60"

ZDOE=60。与OC位置无关.

【解析】【解答］解：(1)・「AB=12cm,点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的

中点，

AC=BC=7cm,

CD=CE=3.5cm,

DE=7cm,.

111

【分析】(1)根据中点的定义AC=BC士AB,DC=NjCE=CB,然后根据DE=DC+CE即可算出

答案；

11

(2)首先根据BC=AB-AC算出BC,根据中点的定义DC-AC,CE=《B,然后根据DE=DC+CE

即可算出答案：

11

(3)首先根据BC=AB-AC表示出BC,根据中点的定义DC=2AC,CE=2cB,然后根据

1111

DE=DC+CE=AC+GB=(A€+CB)=A»即可算出答案；

11

(4)根据角平分线的定义ZCOD=」NAOC,ZCOE=2NBOC,然后根据

1111

ZDOE=ZCOD+ZCOEj：ZCODiZCOE=Z(NCOD+ZCOE)=2AOB即可得出答案。

4.如图①，点0为直线AB上一点，过点。作射线0C,将一直角三角板如图摆放

(ZMON=90°).

(1)将图①中的三角板绕点。旋转一定的角度得图②，使边0M恰好平分NBOC,问：

ON是否平分NAOC?请说明理由；

(2)将图①中的三角板终点。旋转一定的角度得图③，使边ON在NBOC的内部，如果

ZBOC=60:则NBOM与NNOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由.

【答案】(1)解：ON平分NAOC.理由如下：TOM平分ZBOC,

ZBOM=ZMOC.•••ZMON=90°,/.ZBOM+ZAON=90°.又YZMOC+ZNOC=90°

ZAON=ZNOC,即ON平分NAOC

(2)解：ZBOM=ZNOC+300.理由如下：ZBOC=60%即：ZNOC+ZNOB=60°,又因

为NBOM+ZNOB=90°,所以：ZBOM=900-ZNOB=903-(60°-ZNOC)=NNOC+30%

ZBOM与NNOC之间存在的数量关系是：ZBOM=ZNOC+30。.

【解析】【分析】(1)ON平分NAOC.理由如下：根据角平分线的定义得出

ZBOM=ZMOC,根据平角的定义得出ZBOM+ZAON=90°.又/MOC+ZNOC=90°,根据

等附的余向相等即可得出/AON=ZNOC,即ON平分NAOC;

(2)ZBOM=ZNOC+3C0.理由如下：根据角的和差得出ZNOC+ZNOB=60°,又因为

ZBOM+ZNOB=90°,利用整体替换得出ZBOM=900-ZNOB=90°-(60°-ZNOC)

=ZNOC+30°o

5.科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面宽上的光线和反射出的光线与平面

镜所夹的角相等.

(1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b±,又被b镜反射出去，

若b镜反射出的光线n平行于m,且N1=30,则N2=,Z3=：

(2)在(1)中，若N1=70,则N3=：若Nl=a,则N3=：

(3)由(1)(2)请你猜想：当N3=时，任何射到平面镜a上的光线m经过平

面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行的？请说明理由.

(提示：三角形的内角和等于180')

【答案】(1)60°；90°

(2)90°;90°

(3)90°

【解析】【解答】⑴仞°，%二

•••入射角与反射角相等，即N1=N4,Z5=Z2,

根据邻补角的定义可得/6二180’-Z/-二120，,

根据mHn,所以Z7=180°-Z6=60°.

所以=/2=(180°-609)2=60°.

根据三角形内角和为,所以N3=180°--N5=90°：

故答案为：60°,90°.

(2)90°,900.

由⑴可得N3的度数都是90°.

⑶%•

理由：因为=如°，

所以=90°,

又由题意知N1-N4,N5-N2,

所以

N6+N7=180°-（N5+N2）+180°-（Nl+N4）=360°-2X4-2N5

=360°-2（/4+/5）=180°.由

同旁内角互补，两直线平行，可知：miln.

【分析】（1）由入射角等于反射角可得N1=N4,Z5=Z2：由邻补角的定义可求得N6的

度数；于是由两直线平行，同旁内角互补可得N6+N7=/创°,则N7的度数可求解，由图

知/5+/7+/2=，阴°，所以/5和/2的度数可求解；再根据三角形的内角和等于⑼",

可求得N3的度数；

（2）由（1）可知N3=9。.；

（3）由（1）和（2）可得N3=%°.

6.如果两个角的差的绝对值等于90。，就称这两个角互为反余角，其中一个角叫做另一个

角的反余角，例如，/1=120。，3，=90。，则/I和互为反

余角，其中是的反余角，々也是/!的反余角.

（1）如图/为直线AB上一点，oc,AR于点。，于点0，则/AOE的反余

角是，/poE的反余角是；

（2）若一个角的反余角等于它的补角的J求这个角.

（3）如图2,O为直线AB上一点，40C=30”将450C绕着点。以每秒1’角的速

度逆时针旋转得40工，同时射线0P从射线0A的位置出发绕点0以每秒4。角的速度逆

时针旋转，当射线0P与射线0B重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t为何

值时，4OD与4OE互为反余角图中所指的角均为小于平角的角.）

【答案】（1）4而/BOD、ZCOE

（2）解：设这个角为1，则补角为（180—叉）。，反余角为G+90）。或者Q-90）。

（Z'当反余角为Q+90）0时

x+90=|（180-x）

6

解得：x=18

②：当反余角为（又一90）。时

...x_90=1（180-x）

9

解得：x=126

答：这个角为18。或者126。

（3）解：当旋转时间为t时，与互为反余角.

「射线OP从射线OA的位置出发绕点。以每秒4。角的速度逆时针旋转，当射线OP与射线

OB重合时旋转同时停止，

180

t--二45B

此时：4

二t匕45•

・•・4OD=30-t+4t=3t4-30

4OE=180-%+t=180-3t

|3t+30-（180-3t）|=90

解得：I=〃或者l=16

答：当t为40或者io时，4OD与4OE互为反余角.

【解析】【解答】解：（1）4OE的反余角是4OD'/ROE的反余角是4OD、

ZCOE；

【分析】（1）由NAOD-/AOE=90。，可得NAOE的反余角；tf]ZBOE-ZCOE=90\根据同角

的余角相等可得NCOE=NBOD,据此可得NBOE的反余角是/BOD、ZCOE；

（2）设这个角为丈。，则补角为（180-J。，反余角为Q:90）。或者Q-90）。，所

以分两种情况①当反余角为G+90）。时②当反余角为G-90）。时，分别列出方程，求

出x值即可.

（3）当旋转时间为t时，/pop与40E互为反余角，先求出此时t=45s,当仁45时，可

得NPOD=3t+30,zPOE=180-3t,根据互为反余角列出方程，求出t值即可.

7.如图1,已知数轴上有三点A、B、C,它们对应的数分别为a、b、c,且c—b=b—a；点C

对应的数是10.

/BC

a••bL•>

图1

(1)若BC=15,

求a、b的值；

(2)如图2,在(1)的条件下，0为原点，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P向左

运动，运动速度为2个单位长度/秒，点Q向右运动，运动速度为1个单位长度/秒，N为

0P的中点，M为BQ的中点.

①用含t代数式表示PQ、MN；

②在P、Q的运动过程中，PQ与MN存在一个确定的等量关系，请指出他们之间的关系，

并说明理由.

【答案】(1)点C对应的数是10,

c—b=15,

/.b=-5»

c-b=b-a=15»

a=-20;

(2)①OQ=10+t,OP=2U+2t,

/.PQ=(10+t)+(20+2t)=30+3t;

,/OB=5,OQ=10+t,

BQ=15+t,

•••M为BQ的中点,

/.BM=7.5+0.5t,

OM=7.5+0.5t-5=2.5+0.5t.

•「OP=20+2t,N为OP的中点，

/.ON=10+tz

MN=OM+ON=12.5+1.5t；

②PQ-2MN=5.

,/PQ=30+3t,MN=12.5+1.5t,

PQ-2MN=(30+3t)-2(12.5+1.5t)=5.

【解析】【分析】(1)利用数轴上所表示的数，右边的总比左边的大及数轴上任意两点间

的距离等于这两点所表示数的差的绝对值，由BC=15,点C对应的数是10,即可算出点B

所表示的数，即b的值，进而根据c-b=b-a即可算出点A所表示的数a的值；

(2)①根据路程等于速度乘以时间，得出PA=2t,CQ=t,所以

OQ=OC+CQ=10+t,OP==OA+PA=2O+2t,进而根据PQ=OQ+OP,根据整式加减法法则算出PQ的长；

根据BQ=OB+OQ得出BQ=15+t,genuine线段中点的定义得出BM=7.5+0.5t,ON=10+t,根据

MN=0M+0N,由整式加减法法则即可算出答案；②PQ-2MN=5,理由如下：由PQ=3O+3t,

MN=12.5+1.53故利用整式家家爱你法法则即可算出PQ-2MN=5。

8.如图1,点0为直线AB上一点，过。点作射线0C,使X40C,=1,«，将一

直角三角板的直角顶点放在点0处，一边ON在射线0A上，另一边OM在直线AB的下

方,

（1）将图1中的三角板绕点。按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线0B

上，此时三角板旋转的角度为________度；

（2）在（1）旋转过程中，当旋转至图3的位置时，使得0M在NBOC的内部，ON落在直

线AB下方，试探究NCOM与NBON之间满足什么等量美系，并说明理由.

【答案】（1）180

（2）解：:ZAOC:ZBOC=1:3,

3

ZBOC=180°x；=135°.

ZMOC+ZMOB=135°,

/.ZMOB=1350-ZMOC.

ZBON=90°-ZMOB=90o-（135o-ZMOC）=ZMOC-45°.

即XC.OM-CON=440•

【解析】【解答】解：（1）OM由初始位置旋转到图2位置时，在一条宜线上，所以旋转了180°.

故答案为180；

【分析】（1）根据0M的初始位置和旋转后在图2的位置进行分析；（2）依据已知先计

算出/BOC=135°,则/MOB=135°-MOC,根据NBON与/MOB互补，则可用NMOC表示

出NBON,从而发现二者之间的等量关系.

9.已知一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、0C与直线EF重合,

(1)图1中4OD二----------

(2)如图2,三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点0按顺时针方向旋转一个角度

a，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方：

①当0B平分OA、OC.0D其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度0.的

值；

②是否存在4OC=2NAOD?若存在，求此时的E勺值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)75

(2)解：①当0B平分NAOD时，

ZAOE=a,ZCOD=60%

/.ZAOD=1800-ZAOE-ZCOD=120°-a,

11

：.ZAOB=2/AOD=60°-幺a=45°,

a=30°,

当OB平分NAOC时，

ZAOC=180°-a,

1

：.ZAOB=900-2a=45°,

/.a=90°；

当OB平分/DOCEhf,

,/ZDOC=60°,

ZBOC=30°,

/.a=180o-45o-30o=105o,

综上所述，旋转角度a的值为30°,90°,105°；

②当OA在OD的左侧时，则NAOD=12CT-a,ZBOC=135°-a,

ZBOC=2ZAOD,

...135°-a=2(120°-a),

a=105°；

当。人在OD的右侧时，则NAOD=a-120。，ZBOC=135°-a,

•「ZBOC=2ZAOD,

1350-a=2(a-120),

/.a=125%

综上所述，当a=105。或125°时,存在NBOC=2NAOD.

【解析】【解答］解：(1)NAOB=45°,NCOD=6(T,

ZBOD=180°-ZAOB-ZCOD=75°,

故答案为:75；

【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论：（2）①根据已知条件和角平分线的定义

即可得到结论；②当0A在0D的左侧时，当0A在0D的右侧时，列方程即可得到结论.

（1）如图1,直接写出/“比,/。%和一4历之间的数量关系.

（2）如图2,勿，以分别平分/ABE,NCDE,那么4m和/的有怎样的数量关

系？请说明理由.

⑶若点E的位置如图3所示，BF,以仍分别平分4应，NCDE,请直接写出/BFL

和/»用的数量关系.

【答案】（1）/ME*/CDE-/BEL

(2)解:2.理由如下：

■.・加，以分别平分4%,NCDE,

11

/ABF=二/ABE/CDF二一4DE

2，2，

1/1

/ABF+/CDF=-/ABE+-ZCDE=-(/ABE+/Q)E)

222

1

/BH)=/ABF+/CDF=-</ABE+ZCDE)

2

由(1)得，

又../BED=NABE+ZCDL

1

/BH)=-4BED

：.2

(3)解"BFD+/BED=?3⑨'，理由如下：

如图3,过点,作跖7a,

°..........

C$3D

'：ABHCL,EG/ICL，

/.AB//CD//EC,

NABE+/BEG=180’，/CDE+NDEG=180°

：,/ABE+ZCDE+/BED=360：

由(i)知，/BH)=NABF+/CDk,

又•.•母，以分别平分N/l应，/CDb,

11

/ABF="4应/CDF=二/CDE

...22

I

NBFD=-(/ABE+ZCDE)

」.2

2NBFD+/BED=360°.

【解析】【解答】（1）/ABE+NCVE二出，理由如下:

如图1,过点E作EF〃砧,

•.,钻〃a,

...EF〃①,

.../ABE=//,NCDE二",

二/ABE+/CDE=N1十/2=/BEL,

即/ABE+/CDE=NBEL；

【分析】（1）过点E作所〃，伤，根据平行线的性质得4BE=Nl,/CDE=N2,

/ABF--ZABEZCDF=-ZCDE

进而即可得到结论；（2）由角平分线的定义得2，2，结合

第（1）题的结论，即可求证；（3）过点上作矽/a,由平行线的性质得

/ABE+/CDE+/BED=360’,结合第（i）题的结论与角平分线的定义得

F(NABE+/CDE)

,进而即可得到结论.

11.综合题

（1）i问题引入

如图①，在8c中，点。是NA8C和NAC8平分线的交点，若N4=a,则N80C=

（用a表示）；

n

①

ii拓展研究

11

如图②，ZCBO—JZABC,ZBCO—ACB,N八一a,试求NBOC的度数

（用a表示）.

若BO、CO分别是△ABC的NA8C、4ACB的n等分线，它们交于点0,ZCBO=力

/

ZABC,ZBCO=/]ZACB,ZA=a,则NBOC=（用a表示）.

（2）类比探索

i特例思考

11

如图③,ZCBO=JZDBC,ZBCO=JZECB.ZA=a,求NBOC的度数（用a

表示）.

③

ii一般猜想

1

若BO、CO分别是△ABC的外角/DBC、NECB的n等分线，它们交于点0,ZCBO=刀

1

ZDBC,ZBCO=/]ZECB.ZA=a,请猜想NBOC=（用a表示）.

11

【答案】（1）90°+幺Na；120°+Z/a；—―—石

；

(2)1200-ka；6i-l-120,.^a

【解析】【解答】⑴i90°+2a；

111

ii如图②，•・,NCBO=3/48C,ZBCO=3ACB,ZA=a,/.ZBOC=180°-j

11I

MB

(Z^BC+z4CB)=180°-d(1800-Z/A)=180°-J(180°-^a)=180°-60°4-2a

1

=120°+Na；

jjjt).igo'+/g；

(2)i如图③，---ZCB(y=ZDBC,ZBCO^ZECB,N4=a,/.ZBOC=180°~

111

3(nDSC+zECB)=180°3[360°—(ZABC+z.ACB)]=180°3[360°—(180°—

111

NA)]=180°-3(18O°+Za)=180°-60°-Zja=120c-/此

jj6l-lJ-120\-Zfl

T!

11

【分析】(1)i根据角平分线的定义，可得出NCBO=2ABC,/OCB=2ACB,可得出

1

ZCBO+ZOCB^<180°-ZA),再在△COB中，利用三角形内角和定理得出ZBOC-1800

!1

(ZC80+ZOCB),即可得出结果；ii根据NCBO=JNABC,Z0CB=JZACB,可得出

1

ZCBO+ZOCB>(180°-ZA),再在△COB中，利用三角形内角和定理得出ZBOC=180°

11

(NCBO+NOC8),即Q得出结果；iii根据NCBO=/j/ABC,ZOCB=/iZACB,可得出

1

ZCBO+ZOC^F(180°-ZA),再在△COB中，利用三角形内角和定理得出ZBOC=1SO°

(NCBO+NOCB),即可得出结果。

111

(2)i根据NCBO=3NDBC,ZOCB=3NECB,可得出NCBO+ZOCB=180°-3

1

(ZDBC+ZECB),再根据平角的定义N80c=18。。“360。(Z.ABC+Z.ACB)],化简即可

111

得出结果；根据NCBO=刀NDBC,ZOCB=ZEC3,可得出NCBO+NOCB=180。-力

（ZDBC+ZECB）,再根据平角的定义N8OC=180。w360"（Z.ABC+Z.ACB）］,化筒即可

得出结果。

12.如图，点C在线段A6上，AC=8cm,CB=6cm,点M、N分别是AC、BC的中点.

II11J

AA?CNJ

（1）求线段MN的长；

（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm,其它条件不变，你能猜想MN的长度吗?

并说明理由；

（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC-BC=bcm,M、N分别为AC、BC的中点，你

能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；

（4）你能用•句简洁的话，描述你发现的结论吗？

【答案】＜1）MN=MC+NC=AC+BC=（AC+BC）=x（8+6）=xl4=7

(2)MN=MC+NC=2(AC+BC)=-a

(3)MN=MC-NC=AC-BC=(AC-BC)=b

（4）如图，只要满足点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点.那么

MN就等于AB的一半.

【解析】【分析】（1）根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、

BC的一半，那么MC、CN的和就应该是AC、BC和的一半，也就是说MN是AB的一半，

有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；（2）方法同（L）只

不过AC、BC的值换成了AC+CB=acm,其他步骤是一样的；（3〉当C在线段AB的延长线

上时，根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一

半.于是，MC、NC的差就应该是AC、BC的差的一半，也就是说MN是AC-BC即AB的一

半.有AC-BC的值，MN也就能求出来了；（4）综合上面我们可发现，无论C在线段AB

的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半.

13.请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.

小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来

帮助解答，今天老师介绍了•个“美味”的模型•“猪蹄模型〃.即

已知:如图1,，必3,£为/彷、。之间一点，连接必，a得到月雨.

求证：XAFC=八'八

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明:过点4乍EF〃处,

•1-Z1=ZR

VAB//Cb，EF//AB

EF//CL

NAEC=^1+Z2

ZAEC=/A：/C

请你利用"猪蹄模型"得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

（1）如图，若AB〃8,，则.

D

⑵如图，AB//CL,比平分/ABG，67平分GCG，/G=ZH+27。，则7H-

H

GF

【答案】（1）240°

（2）51°

【解析】【解答】（1）解：作EMUAB,FNIICD,如图,

ABHEMUFNIICD,

ZB=Z1,Z2=Z3,Z4+ZC=180°,

ZB+ZCFE+ZC=Z1+Z3+Z4+ZC=ZBEF+Z4+ZC=ZBEF+180°,

ZBEF=60一

/.ZB+ZCFE+ZC=60o+18Co=240°；(2)解：如图，分别过G、H作AB的平行线MN和

RS,

/.ZABE=2NABG,ZSHC=ZDCF=DCG,

,/ABHCD,

/.ABHCDIIRSIIMN,

11

ZRHB=ZABE=ZZABG,ZSHC=ZDCF=IZDCG,ZNGB+ZABG=ZMGC+ZDCG=180°,

ZBHC=180°-ZRHB-ZSHC=180°-幺(NABG+ZDCG),

ZBGC=1800-ZNGB-ZMGC=180°-(1800-ZABG)-(180°-ZDCG)=ZABG+ZDCG-180%

ZBGC=3600-2ZBHC-180°=180°-2ZBHC,

又ZBGC=ZBHC+27%

1800-2ZBHC=ZBHC+27C,

/.ZBHC=51°.

【分析】（1）作EMUAB,FNIICD,如图，根据平行线的性质得ABIIEMIIFNIICD,所以

ZB=Z1,Z2=Z3,Z4+ZC=180°,然后利用等量代换计算ZB+ZF+ZC；（2）分别过

G、H作AB的平行线MNFnRS,根据平行线的性质和角平分线的性质可用NABG和NDCG

分别表示出NH和NG,从而可找到NH和NG的关系，结合条件可求得NH.

14.如图1,CE平分NACD,AE平分NBAC,ZEAC+ZACE=90°.

（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2,在（1）的结论下，当NE=90。保持不变，移动直角顶点E,使NMCENECD.

当直角顶点E点移动时，问NBAE与/MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；

（3）如图3,在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点

Q在射线CD上运动时（点C除外），ZCPQ+NCQP与NBAC有何数量关系？直接写出结

论，其数量关系为.

【答案】