七年级下册《82 消元-解二元一次方程组》教案、导学案、同步练习

《8.2消元一一解二元一次方程组》教案一

第1课时用代入消元法解方程组

【教学目标工

1.会用代入法解二元一次方程组.

2.初步体会解二元一次方程组的基本思想一一“消元”.

3.通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.

【重点】：用代入消元法解二元一次方程组.

【难点】：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.

【教学过程工

一、知识回顾

1、什么是二元一次方程及二元一次方程的解？

2、什么是二元一次方程组及二元一次方程组的解？

二、提出问题，创设情境

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，

某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场

数分别是多少？

在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组.

这个问题能用一元一次方程解决吗？

三、讲授新课

1、那么怎样求解二元一次方程组呢?上面的二元一次方程组和一元一次方程

有什么关系？

2、提出问题：从上面的学习中体会到代入法的基本思路是什么？主要步骤

有哪些呢？

归纳:基本思路：“消元”一一把“二元”变为“一元”。

主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数

式表现出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为

一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

3、把下列方程写成用含x的式子表示y的形式:

(1)2x—y=3(2)3x+y—1=0(3)5x-3y=x+y(4)-4x+y=-2

4、例题分析：例1例2

5、课堂练习：教科书P98第2题

四、课堂小结

问题1、解方程组的基本思路是什么？

问题2、解方程组的方法是什么？

五、作业布置：教科书P90第3、4题P111第1、2题

第2课时用加减消元法解方程组

【教学目标工

L用代入法、加减法解二元一次方程组.毛

2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”，“化未知为己知”的化归思想.

【教学重点】：用代入法、加减法解二元一次方程组.

【教学难点】：会用二元一次方程组解决实际问题

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙10元钱，乙借给

丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠

谁的钱，欠多少？

二、师生互动，课堂探究

(-)提高问题，引发讨论

我们知道，对于方程组［2工+)'=②可以用代入消元法求解。

这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现

新的消元方法吗？

(-)导入知识，解释疑难

1.问题的解决

上面的两个方程中未知数y的系数相同，②一①可消去未知数y,得

(2x+y)-(x+y)=40-22即x=18,把x=18代入①得尸4。另外，由①一②也能消去

未知数y,得(x+y)-(2x+y)=22-40即-x=T8,x=18,把x=18代入①得y=4.

4x+10y=3①

2.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组［5工-105二；②

分析：这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①+②可消去未

知数y,从而求出未知数x的值。

58

解：由①+②得19x=ll.6X=95

58

x=一

95

5829

x=----

把X=95代入①得y=-95・・・这个方程组的解为

3.加减消元法的概念

从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相

加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分

别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加

减消元法，简称加减法。

4.例题讲解

3x+4y=16①

用加减法解方程组"6)'=33②

分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方

程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反

或相同。

议一议：本题如果用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？

5.做一做

'2x+3y2x-3y)

.43①

2x+3y2x-3),

——+——=8®

解方程组32

分析：本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。

6.想一想

（1）加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？

（2）用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

师生共析：

（1）用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：

第一步:在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反

数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数;如果未知数的系数相

等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数.

第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一

组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数（如果一个系数

是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，使新方

程组的这组系数的绝而值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元.

第三步:对于较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母，去括号，合并同

类项等），通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程

的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.

（三）归纳总结，知混回顾

本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法——加减法.通过把

方程组中的两个方程进行相加或相减，消去一个未知数，化“二元”为“一元”.

作业：P93练习

8.2消元（第三课时）

一、创设情境，导入新课

七年级（3）班在上体育课时,进行投篮比赛,体育老师做好记录,并统计了在

规定时间内投进n个球的人数分布情况，体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾

到表格上（如下表）.

进球数n012345

投进球的人数127•■2

同时，已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4

个以下的人平均每人投进2.5个球，你能把表格中投进3个球和投进4个球对应

的人数补上吗？

二、师生互动，课堂探究

（一）指出问题，引发讨论

你能不能用二元一次方程组，帮助体育委员把表格中的两个数字补上呢。

（经过学生思考、讨论、交流）

（二）导入知识,解释疑难

1.例题讲解（见P101）

分析:如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，

那么2台大收割机和5台小收割机1小时收割小麦公顷,3台大收割机和

2台小收割机I小时收割小麦公顷.

解：设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.根

2（2x+5y）=3.6

V

据两种工作方式中的相等关系，得方程组l5（3x+2），）=8

4x+10j=3.6①

去括号，得［15X+1O），=8②

②-①，得Ux=4.4

解这个方程，得x=0.4

把x=0.4代入①,得y=0.2

x=0.4

这个方程组的解是［）'二02

答：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.

2.上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

Hy=O2

二4x+10y=3.6①v

元rx=0.N

一

次解得x

方

②-①一元一次方程

程1lx=4.4

组15x+10y=7②两方程相减、

消去未知数y

3.练一练:P102练习第2、3题.

（三）归纳总结，知设回顾

这节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程，体会到方程组是

刻画现实世界的有效模型，从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组

的技能.

布置作业P1H6、7、9题

《8.2消元一一解二元一次方程组》教案二

第1课时用代入消元法解方程组

教学目标

1.能说出二元一次方程，二元一次方程组和它的解的概念；

2.会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程，二元一次方程组的解。

3.通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型，能设

两个未知数并列方程（组）表示实际问题中的两种相关的等量关系。

4.通过对本课知识的探究与应用，提高学生的逻辑思维能力和分析，解决问题的能力。

重点；二元一次方程，二元一次方程组及它的解的含义，以及检睑一对数值是不是某个二

元一次方程（组）的解。

难点：理解二元一次方程组的解。

教学过程教学备注

一、创设情境，引入课题

世界篮坛的神话，林书豪！机会总会垂青于有准备的人。只要你坚持，只

要你自信，每个人都会创造属于自己，属于也界的奇迹。提出问题：

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。【教学提示】

某队为了争取较好名次想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负给学生时间独

场数应分别是多少？立解决此问

（1）你会用已经学过的一元一次方程解决这个问题吗？题，教师巡视

（2）在上面的问题中，要求的是两个未知数，能不能根据题意直接设两个对个别同学进

未知数，使列方程变得容易呢？行指导.

二、目标导学，探索新知

目标导学1:掌握二元一次方程和二元一次方程组的就念【教学提示】

活动1引导学生设两个未知数，列方程：设胜的场数是X,负的场数是y,针对学生列出

则有：的这两个方

(1)x+y=22(2)2x+y=40程，提出问题。

思考(1)它与你学过的一元一次方程比较有什么区别？

(2)上述两个方程有何共同点？

共同点：未知数的个数都是2；2：含有未知数的项最高次数是1次；3：

含有未知数的项是整式而不是分式(即分母不含有未知数)

【教学提示】

(3)你能给它取名吗？合情推理，顺

(4)你能给它下一个定义吗？势引，得出结

含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次论。

方程.

请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由。

(l)2xi5y=10(2)2xiyiz=l(3)x2iy=20

(4)2x+l=0(5)(6)2x+10xy=0【教学提示】

在上面的方程x+y=22和2x+y=40中，X,Y的含义分别相同吗?X,Y的含学生独立思

义分别相同.因而X,Y必须同时满足方程x+y=22和2x+y=40把它们联立考，然后再分

起来，得(x+y=222x+y=40组交流，教师

结论：像这样把含有两个相同未知数的二元一次方程合在一起就组成了一深入小组，参

个二元一次方程组。与活动，关注、

判断下列方程组哪些是二元一次方程组？学生能否理解

概念，并紧扣

1c

一+y=33x-2y=53x-l=0

A.<xx+3y=0('

r+4y=-5概念解决问

2x-3y=\

题。

X+y=QE.31:5

+z=0[2y+3=0

元一次方程与二元一次方程组的对比表

一元一次方程二元一次方程

只含有一个未知数，含有两个未知数，并且

含有未知数的项的次数

定义并且未知数的指数是1的方程

都是1的方程

解的定义使一元一次方程两边的值使二元一次方程两边的值

相等的未知数的值相等的两个未知数的值

解的情况1个无数多个

如何判断代入使方程成立代入使方程成立

学习目标2孽握二元一次方程组的解

活动2

满足方程x+y=22①且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？

X012345••・18•••22

y222120191817•••4•••0

在一元一次方程中使方程两边的值相等的未知数的值叫一元一次方程的

解，故可类推出使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二

元一次方程的解。抛开实际意义，二元一次方程有无数个解.

x+y=22

X012345678910111213141516171819202122

2221201918171615141121110987653210

y4

3

2x+y=40

X01234567891011121314151617181920

Y4038363432302825242220181614121086420

x+y=22

发现x=18,y=4是这两个方程的公共解，〔次十歹="，把x=i8,y=4叫

fx=18

做二元一次方程组的解，这个解通常记作〔歹=4

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组

的解。

二元一次方程组有且只有一组解。【教学提示】

你能告诉大家如何检验它们的解吗？根据一元一次

答：判断一对数是不是方程组的解,应把这对数值代入方程组里的每个方方程的解的概

程，同时满足所有方程的一对未知数的值才是方程组的解.念类比出二元

学习目标3：利用二元一次方程组解实际问题一次方程的解

著名的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四的概念。

足，问鸡兔各几何？”

解：设鸡有x只，兔y只，根据题意，得

鸡兔合计

头Xy35

足2x4y94

&+y=35

则有:

2x+4^=94

二、巩固训练，熟练技能

1.下列方程中，是二元一次方程的是（）

A.3x—2y=4zB.6xy+9=0【教学提示】

C.—+4y=6D.4x=---根据一元一次

x4

方程的解检验

2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

方法类推出二

x+y=42a-3b=\1X2=9x+y=8

A.<C.<元一次方程的

、2x+3)，=75b-4c=6y=2xx2-y=4

检验方法。

3.二元一次方程5a—11b=21（)

A.有且只有一解B.有无数解c.无解D.有且只有两解

4.方程尸1—x与3x+2y=5的公共解是（）

5.下列各式，属于二元一次方程的个数有（）

①xy+2x-y=7；②4x+l=x—y；③，+y=5；@x=y；@x2-y2=2

x

【教学提示】

@6x—2y⑦x+y+z=l⑧y（y-1）=2y2—y2+x

可根据解一元

A.1B.2C.3D.4

一次方程实际

问题的步骤来

&若婢y—2yi=5是二元一次方程，贝Um=_____,n=.

解决二元一次

x=-2

7.已知"'是方程x—ky=1的解，那么k=_____.

1,，=3方程组的实际

问题。

8.二元一次方程x+y=5的正整数解有.

5

9.以一v=为解的一个二元一次方程是________.

卜=7

r=7如一k3的解，则作

10.已知是方程组,

[y=-[x-ny=6

四、归纳总结，板书设计

1.方程方程中含有两个未知数（X和y）,并且未知数的指数都是1,像这样

的方程叫做二元一次方程。

2.把两个一次方程合在一起后共有两个未知数，就组成了一个二元一次方

【教学提示】

程组。

学生练习，老

3.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的

师巡视，个别

解。

指导。

4.一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的

解。

5.二元一次方程有无穷多个解；二元一次方程组有且只有一组解。

五、课后作业，目标检测

教学反思

“二元一次方程组”概念教学是“二元一次方程组”一章中较重要的知识，它承接了二

元一次方程组，又是以后代数学习的基础。

本节课我设计了三个教学内容:一认识二元一次方程和二元一次方程组；二知道二元一次

方程和二元一次方程组的解的概念；三会判段一组数是不是二元一次方程和二元一次方程

组的解，也是本节课的教学重点。教学流程是：组织二课、回忆旧知、导入新课、讲解新

课(主要是学生讲)教师点评，小测。

通过本节课的教学，使学生认识二元一次方程组，能够分享不同类型的方程。

教学后发现，绝大部分学生能掌握二元一次方程组的概念，对变式的、复杂一点的二元一

次方程组，需要进一步强调。

有一部分学生的积极性还没有课堂上没有顾及到全体学生，虽然有大部分学生都参与到了

教学过程当中，但调动起来，他们还没有真正完全的参与到教学当中。我要学会因材施教,

教学能容要以课本为依据，瞄准大多数学生，让学生们在低的起点下也能很好的完成知识

的掌握。

8.1第1课时代入法

【教学目标】

1.会用代入法解二元一次方程组.

2.初步体会解二元一次方程组的基本思想一一“消元”.

3.通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神.

【教学重点与难点】

1.重点：用代入消元法解二元一次方程组.

2.难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.

【教学过程】

复习提问：

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，

某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到38分，那么这个队胜负场

数分别是多少？

解：设这个队胜x场，根据题意得

2.v+(2O-x)=38

解得x=18

则20-x=2

答:这个队胜18场，负2场.

新课：

在上述问题中，我们可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，

设胜的场数是x,负的场数是人

'x+y=20

2x+y=38

那么怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程

有什么关系？可以发现,二元一次方程组中第1个方程x+y=20说明y=20—

将第2个方程

2x+y=38的y换为20—必这个方程就化为一元一次方程

2x+(2O-x)=38.

二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方

程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设

法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思

想.

归纳：

上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知

数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组

的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

例1把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：

(1)2x一尸3(2)3x+y—1=0

例2用代入法解方程组

x—y=3f①

3%-8y=14[②

例3根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种

产品的销售数量比(按瓶计算)为2:5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些

消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？

用代入消元法解二元一次方程组的步骤：

（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用

含另一个未知数的式子表示出来.

（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.

（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.

（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知

数的值，从而确定方程组的解.

8.2代入消元法

教学目标

1、会用代入法解一元一次方程组。

2、初步体会解二元一次方程组的基本思想一一“消元”。

3、通过对方程中未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消

元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和体会化归的思想。

重点：代入消元法解简单的二元一次方程组；

难点：体会解二元一次方程组的思路是“消元；

教学过程教学备注

一、创设情境，引入课题

根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分.在某次篮球联赛中,七（1）

班，打完22场比赛后积40分，问该球队赢了多少场?输了多少场？

二、目标导学，探索新知

目标导学1：掌握代入消元法的解题步骤

问题1你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗?

问题2这个实际问题能到一元一次方程求解吗？

解：设胜x场，则负(22—x)场.

2x+(22-x)=40.

问题3对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗？

活动1把下列方程改写成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数逐步探究中

的形式：规范解法，

总结代入法

(l)x-4^=8；的解题步

x=8+4y或

骤。

(2)2x+j+l=O：

x-干或"-21：

(3)3x-y=5.

%或y=3x-5.

问题4对于二元一次方程研x+y=22,

2rty=4

你能写出求出x的过程吗？

%以选择②

fx+y=22,①

变形吗？

l.2xty=40.②

解：由①，得y=22-x

把③代入②，得

【教学提

示】在含有

一个未知数

'代入①或代入②1

的式子表示

可不可以？哪种

运算更简便？另一个未知

问题5怎样求出乃)三__一--------J

数可先示范

把x=18代篇二

得一一例，其他

学生完成。

这个方程组的解封-'

)=4・

答：这个队胜18场、负4场.

消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，

将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一

个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一

解决的思想叫做.

代入消元法：上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数

用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而

求得这个二元一次方程组的解

用代入法解二元一次方程组的一般步骤

变：1、将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个

未知数；

代：2、用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方

程，求得一个未知数的值；

求：3、把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；

写：4、写出方程组的解。

学习目标2：利用代入消元法解题

1.用代入法解下列二元一次方程组

354-/=5,①[3x+4y=16,①

(1)<〜.(2)5

5+2/=15;@[5x_6y=33.②

解：(1)由①得l=5-3s③

把③代入②得s+2(5-3s)=15

解得s=-1

再把s=-1代入③，得/=8(s=_}

所以这个方程组的解是：一。'

【教学提

解：(2)由①得x=；(16-4y)③示】根据_L

面的探究得

把③代入②得第16-4月-6y=33

出消元思想

解得》=一；

和代入消元

再把>=代入③，得x=6法的解题步

2[x=6,

所以这个方程组的解是：1骤。

[y=?

2、若方程5x2m+n+4y3m-2n=9是关于'、y的

二元一次方程，求m、n的值.

解：根据已知条件可

列方程组：

12m+n=1①

把m=3代入③，得：

13m-2n=1②7

由①

n=1-2m③,r3

n=l-2x—

把③入②【教学提

R17

3m-2(1-2m)=1n=­

7示】学生动

3

解得：m.•.m的值为〃的值为L手，老师启

77

发引导即

三、巩固训练，熟练技能

可。要提醒

:先把方程一⑴一变为，

1.用代入法解方程组＜学生注意解

题规范。

在代入方程------，求得———的值，然后再求------的值。

2.用代入法解下列方程

4x+y=5x+2y=3

2x-3y=\3x-2y=-l

3.已知方程组[X+2）'=5,的解使等式2x+y=l成立，求a的值?【教学提

[4x-3y=^+a

示】老师引

4.己知|3-x-y|+（4x+3），-8）2=0,求x,y的值？

导学生根据

二元一次方

四、归纳总结，板书设计程组的定义

代入消元隼得H相应的

1、二元一次方程组一元一次方程

等量关系，

2、代入消元法的•般步骤:

得出二元一

变代求

次方程组，

3、思想方法：转化思想、代入消元思想、

再用代入法

方程（组）思想.

求解即可。

五、课后作业，目标检测

教学反思

通过用“代入法解二元一次方程组”这节课的教学，主要有以下几点反思：

1、对教材的分析要到位。本课时的内容对于学生而言比较简单，解二元一次方程组的

基本思想是消元。但对于教师，面对这部分内容一定要做到通过对教材的分析去体会其

中的数学木质，反过来结合数学本质去剖析教材内容，这样才能真正做到将数学知识传

授给学生。

2、课堂上尽可能多给学生创造合作交流的机会。由于本课的内容是纯计算问题，学习

解方程组的方法，似乎没什么可让学生交流的机会，但是作为教师应尽可能地给学生创

造交流机会，例如：让几名学生上黑板板演，采用小组及个人纠错的方式，找出错误所

在，加深印象等。由此让我感觉到学生在学习过程中需要不断地启发，但启发的人不一

定一直都是老师，而且学生的思路往往比老师的更好。因此在教学过程中一定要有意识

地多为学生创造这种合作交流的机会。3、课堂教学中每一个学生的学习速度与接

受能力是不同的，尤其在问题情境教学中，学生必然有一个摸索的过程，在这个过程中

难免遇到许多困难，或多或少会走一些弯路，在这个时候，教师的态度非常重要，教师

若以亲切和蔼的话语鼓励赞许的目光面对学生，就能创设一个平等和谐的学习氛围，从

而给学生无穷的探究热情，激发整个探究过程，否则就会扼杀学生的探究意愿。因此，

在今后课堂教学中还要善于关注学生的个性差异，尊重不同形式在知识、能力、兴趣等

方面的需要，有针对性的设计不同层次、不同类型的问题，使学生都有机会参与的教学

活动中去，让他们自己有主人翁的感觉，切实与其他同学真诚合作，体验完成一项活动

任务的成功喜悦。让他们都能在学习过程中有所收获的。

8.2笫2课时加减法

【教学目标】

1.用代入法、加减法解二元一次方程组.

2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”，“化未知为己知”的化归思想.

3.会用二元一次方程组解决实际问题.

4.在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程解决实

际问题的意识和能力.

5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，进一步提高解方程

组的技能.

【教学重点与难点】

用代入消元法解二元一次方程的步骤。

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙10元钱，乙借给

丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠

谁的钱，欠多少？

二、师生互动，课堂探究

（一）提高问题，引发讨论

我们知道，对于方程x组+）V=2②①，可以用代入消元法求解。

2x+y=4

这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现

新的消元方法吗？

（二）导入知识，解释疑难

1.问题的解决

上面的两个方程中未知数y的系数相同，②一①可消去未知数y,得

（2x+y）-（x+y）=40-22即x=18,把x=18代入①得y=4。另外，由①一②也能消去

未知数V，得（x+y）-（2x+y）=22To即-x=T8,x=18,把x=18代入①得y=4.

2.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组'⑨

15x-10.y=②

分析：这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①十②可消去未

知数y,从而求出未知数x的值。

解：由①+②得19x=11.6x=—

58

X=---

把X二笑代入①得产-旦・・・这个方程组的解为95

95

3.加减消元法的概念

从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相

加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分

别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加

减消元法，简称加减法。

4.例题讲解

3x+4y=16①

用加减法解方程组《

5x-6y=33②

分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方

程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反

或相同C

解：①X3,得9x+12y=48③

②*2,得10x-12y=66@

③+④,得19x=114

x=6

把x=6代入①，得3X6+4y=16

4y—2,y—

所以，这个方程组的解是

议一议：本题如果用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？

解：①义5,得15x+20y=80③

②X3,得15xT8=99④

③-④，得38y=-19

1

y--2

把y二代入①，得3x+4X(-,)=16

22

3x=18

x=6

x=6

所以，这个方程组的解为1

如果求出y=」后，把y」代入②也可以求出未知数X的值。

22

5.做一做

2.丫+3)，2.r-3y.

-------1-------=7

解方程组L\。3①

2Mm3=8②

32

分析：本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。

141-3y=84①

解：化简方程组，得

10x-3y=48②

③一④，得4x=36

x=9

把x=9代入④(也可代入③，但不佳)，得

10X9-3y=48

-3y=-42

y=14

r=o

，这个方程组的解为

Jy=14

点评：当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把

2x+3y和2x-3y当成两个整体,用换元法，设2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以A、B

为未知数的二元一次方程组.

6.想一想

(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？

(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

师生共析：

(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤：

第一步:在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反

数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数;如果未知数的系数相

等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数.

第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选配一

组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数（如果一个系数

是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，使新方

程组的这组系数的绝走值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元.

第三步:对于较复杂的二元一次方程组，应先比简（去分母，去括号，合并同

类项等），通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程

的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.

（三）归纳总结，知识回顾

本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法一加减法.通过把

方程组中的两个方程进行相加或相减，消去一个未知数，化“二元”为“一元”.

作业:

1.用加减法解下面方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的

方法.

3x-2y=15①

，消元方法一

5x-4y=23②

7/〃一3〃—1

①

2〃+=-2②

2.用加减法解下列方程组:

41+)，=23x+2y=-l

4x-3y=-6x+4y=-7

3x-2y=5x+4y=9

4x+3y=1x-4y=1()

参考答案

1.(1)①X②-②消去y⑵①X2+②X3消去n

8.2第2课时加减法

教学目标

1、了解用加减法解二元一次方程组的解法的基本思想；

2、会用加减法解二元一次方程组；

3、理解加减消元法所体现的的“化归”思想方法；

重点：用加减法解二元一次方程组。

难点：会正确用加减法解二元一次方程组。

教学过程教学备注

一、复习旧知，引入课题

x+y=10,①

问题1我们知道，对于方程组〃八

2x+y=16②

可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有

其他方法呢？

代入消元法中代入的目的是什么？

二、目标导学，探索新知【教学提示】

目标导学1：掌握未知数系数相同或相反的方程组用加减消元法的学生自学，老

解题步骤师巡视，发现

问题，个别点

活动1：请同学们