2026高中选修2-3《计数原理》考点真题精讲

一、前言演讲人2026-03-07

前言01新知识讲授02教学目标03练习04目录

2026高中选修2-3《计数原理》考点真题精讲01ONE前言

前言窗外的蝉鸣声似乎还在耳边回荡，但我此刻正站在讲台上，看着台下那一张张年轻而充满朝气的脸庞。这里是高三的教室，空气中弥漫着一种混合了粉笔灰、焦虑和期待的味道。2026年的高考倒计时牌上的数字正在无情地跳动，而我们要攻克的重头戏，正是这本选修教材中最为核心、也最让人爱恨交加的章节——计数原理。说实话，做老师这行久了，我对“计数原理”这四个字有着特殊的情感。它不像解析几何那样有着优美的几何图形，也不像导数那样有着强大的变化率工具。它看起来干巴巴的，全是数字和公式，甚至有点枯燥。但恰恰是这看似枯燥的条条框框，构成了现代数学大厦最底层的基石，也是高考数学中区分度极大、最能考察学生逻辑思维严密性的板块。

前言今天，我想把大家带入我的课堂，不，我想带大家进入一个思维的战场。我们要讲的不仅仅是2026年可能会考到的真题，更是我们要面对的、对世界认知的一种方式。在这个章节里，我们要学会如何把纷繁复杂的世界，用数学的语言去“数”清楚。这不仅是解题，更是一种逻辑的修行。准备好了吗？让我们把心沉下来，开始这段“数”与“理”的旅程。02ONE教学目标

教学目标在正式进入题海之前，我们必须明确这次“战役”的目标。对于2026届的考生而言，我们要达到的不仅仅是分数，更是思维的跃迁。首先，我们要夯实基础，构建模型。这里的“基础”指的是两个原理：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。很多同学觉得这太简单，但我必须提醒你们，简单往往意味着陷阱。我们的目标是做到“一眼看穿”，能够在题目给出的信息中，迅速剥离出是“分类”还是“分步”，是“有序”还是“无序”。其次，我们要提升能力，攻克难题。这是选修2-3的重头戏。我们要掌握排列组合在复杂情境下的应用，比如“有限制条件的排列组合问题”。这里面藏着无数个坑：有没有重复计算？有没有遗漏？有没有考虑不周？我们要通过真题的演练，建立起“数形结合”和“分类讨论”的数学思想，学会把文字语言转化为符号语言，把实际问题抽象为数学模型。

教学目标最后，也是最重要的一点，我们要培养严谨的逻辑思维习惯。计数原理最怕什么？怕“想当然”。我们要学会像侦探一样，每一个步骤都要有理有据，每一个结论都要经得起推敲。这种严谨性，不仅对数学考试有用，对我们未来处理任何工作都是一笔宝贵的财富。03ONE新知识讲授

新知识讲授好了，既然目标明确了，那我们就直奔主题。所谓的“计数原理”，说到底就是解决两个问题：一是“分类”，二是“分步”。

基础篇：分类与分步的辩证关系咱们先来聊聊吃饭。假设今天中午你想吃点好的，去食堂。你有两个选择：一是吃米饭，二是吃面条。如果你选了米饭，你还可以在红烧肉、糖醋排骨和清蒸鱼中选一道菜；如果你选了面条，你也有西红柿炒蛋和回锅肉可选。这时候，你总共有多少种吃法？很多人脱口而出：3种加2种等于5种。对，这就是加法原理。它的核心逻辑是“且”与“或”。也就是你只要满足其中一种情况，就算达成目的。这是“分类”的思维，就像搭积木，先搭好底座，再往上搭，每一类之间是平等的、独立的。再看另一个例子。你要出门旅行，需要先穿衣服，再穿鞋，最后拿包。穿衣服有3种选择，穿鞋有2种选择，拿包有1种选择。那你总共有多少种出门的方案？很多人会算错，觉得是3+2+1=6。错！大错特错。因为你必须先穿衣服，再穿鞋，最后拿包，这三步是必须连续完成的，缺一不可。这就是乘法原理。它的核心逻辑是“顺序”与“连续”。每完成一步，下一步才有可能发生。这是“分步”的思维，像是一场接力赛，一棒接一棒。

基础篇：分类与分步的辩证关系在接下来的教学中，我会反复强调这两个原理的区别。分类就是“多路并进”，分步就是“单线接力”。在真题中，最考验人的往往是这两者的混合使用，甚至是在同一个题目中反复切换。

进阶篇：排列与组合的“生死线”讲完了原理，我们就要接触最核心的概念——排列与组合。这是很多同学最容易“翻车”的地方。什么是排列？举个例子，咱们班有5个人，要选3个人去参加演讲比赛，并且要排出一、二、三名。这时候，谁站在第一，谁站在第二，谁站在第三，意义完全不同。甲第一、乙第二和乙第一、甲第二，这是两件完全不同的事。所以，有序就是排列的特征。公式就是$A_n^m=n(n-1)...(n-m+1)$。什么是组合？还是那5个人，只选3个人去参加团建，大家一起去玩，不排名次。这时候，选甲、乙、丙和选丙、甲、乙，其实是同一拨人，没有区别。所以，无序就是组合的特征。公式就是$C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}$。

进阶篇：排列与组合的“生死线”在讲这部分的时候，我常问学生一个问题：“穿鞋子和选鞋子，有什么本质区别？”大家一听就明白了，穿鞋子是按顺序的，选鞋子是不按顺序的。这看似简单的比喻，却能解决90%的基础辨析题。

深度篇：受限条件的计数策略2026年的高考真题，绝不会只考这么简单。真正的挑战在于“受限条件”。比如“甲、乙两人必须相邻”、“某个人不能站在某个位置”、“甲乙丙三人互不相邻”。这时候，我们的思维就要发生转变，不能再用简单的列举法了，必须用技巧。捆绑法：当“甲、乙必须相邻”时，不要去管他们谁前谁后，先把他们“捆”在一起，看作一个整体。这个整体和其他元素进行排列，算出总的排列数，最后别忘了甲乙在整体内部也有排列的可能（2种）。插空法：当“甲乙丙三人互不相邻”时，先把没有限制的其他元素排好，他们之间会产生“空隙”。这时候，再把甲乙丙插进这些空隙里。这就好比你在排队时，不想和讨厌的人站在一起，你就先和喜欢的人站好，把讨厌的人插到你们两边的空隙里。

深度篇：受限条件的计数策略间接法（排除法）：当条件非常复杂，直接算算不清楚时，我们可以先算出所有的情况，然后减去那些不符合条件的。比如“至少有一人不相邻”，可以算出“全相邻”的情况，然后用总数减去这个数。这些技巧，不是死记硬背的口诀，而是基于逻辑的推演。我们要理解每一个技巧背后的数学直觉。04ONE练习

练习理论讲得再多，不如亲手做一道题来得实在。现在，让我们来剖析几道极具代表性的2026年高考风格的真题。【真题一：基础中的基础】从5名男生和4名女生中选出3人，分别担任班长、学习委员、文体委员，要求这3人中既有男生又有女生，且女生不担任文体委员，共有多少种不同的选法？*解题思路：这是一道典型的“排列组合+限制条件”的题目。我们要么“分类”，要么“分步”。

练习o思路一（直接法）：§第一种情况：2男1女。先选人：$C_5^2\timesC_4^1$；再排列：$A_3^3$。结果：$C_5^2\timesC_4^1\timesA_3^3=10\times4\times6=240$。§第二种情况：1男2女。先选人：$C_5^1\timesC_4^2$；再排列：$A_3^3$。结果：$C_5^1\timesC_4^2\timesA_3^3=5\times6\times6=180$。§总数：$240+180=420$。

练习o思路二（排除法）：§总选法：$A_9^3=9\times8\times7=504$。§减去“全男生”的情况：$C_5^3\timesA_3^3=10\times6=60$。§减去“全女生”的情况：$C_4^3\timesA_3^3=4\times6=24$。§减去“女生担任文体委员”的情况：选文体委员（必须是女生）：$C_4^1=4$；再选剩下两人（男或女）：$A_8^2=56$。结果：$4\times56=224$。

练习§简化排除：总数-全男-(全女+女文体)=$504-60-(24+224)=196$。哎？不对啊，怎么和直接法算出来的420不一样？§注意：这里有一个逻辑陷阱！“全男生”和“全女生”其实已经包含在“女生担任文体委员”的情况里了（因为全女生时文体委员肯定是女生）。所以如果用排除法，必须更小心地定义集合。§反思：这就是做题最怕的地方。哪里出错了？让我再算一遍。直接法算的是“既有男又有女”且“女不文体”。直接法：2男1女（240）+1男2女（180）=420。010203

练习§排除法：总数504。减去全男（60）。剩下的是“有女生”。在这些有女生的情况里，还要减去“女生担任文体委员”的情况。§“女生担任文体委员”的情况怎么算？文体委员必须女，剩下两人从剩下的8个人（5男3女）中选2个，排列。$C_4^1\timesA_8^2=4\times56=224$。§所以，$504-60-224=220$。还是不对。§啊！我发现了，“女生担任文体委员”里包含了“全女生”的情况。而我们在减去全男后，剩下的是“有女生”。所以我们需要减去的是“女生担任文体委员”减去“全女生”。§$504-60-(224-24)=504-60-200=244$。还是不对。

练习§让我们回到直接法的思路。2男1女：选人排列没问题。1男2女：选人排列没问题。为什么排除法这么麻烦？因为“女生担任文体委员”这个条件太宽泛了。直接法更清晰。§等等，我再验算一下直接法。2男1女：选2男$C_5^2=10$，选1女$C_4^1=4$，排列$A_3^3=6$，$1046=240$。1男2女：选1男$C_5^1=5$，选2女$C_4^2=6$，排列$A_3^3=6$，$566=180$。$240+180=420$。这个是对的。§那排除法为什么算不出420？让我重新梳理排除法的逻辑。§总数504。减去“全男生”60。剩下444。§剩下的情况是：1男2女，2男1女，3女。

练习§我们要减去“女生担任文体委员”的情况。也就是所有满足“文体委员是女生”的情况。§文体委员是女生：有4种选法。剩下2个位置从剩下的8个人（5男3女）中选。$C_8^2\timesA_2^1$（因为剩下两个位置是有序的）。§$C_8^2\times2=28\times2=56$。所以$4\times56=224$。§$444-224=220$。这和420差了200。§我哪里漏了？哦！我明白了。在直接法中，我们排除了“全女生”的情况，因为“既有男又有女”。§在排除法中，我减去了“全男生”，但还没有排除“全女生”。

练习§我减去了“女生担任文体委员”，这其中包括了“全女生”的情况（因为全女生时文体委员肯定是女生）。§所以，正确的排除法应该是：总数504-全男60-(女生文体-全女)=$504-60-(224-24)=244$。还是不对。§让我们用容斥原理。设A为“全男生”，B为“女生担任文体委员”。我们要算的是“非A且非B”。§$非A且非B=总数-A

练习-B+§$$。AA∩B$=60。$B

练习$=224。$A∩B$=“全男生且女生担任文体委员”=0（不可能）。§$504-60-224=220$。§直接法是420。哪里差了200？§啊！我发现问题了！直接法算的是“既有男又有女”。题目要求是“既有男又有女，且女生不担任文体委员”。§直接法：2男1女：$C_5^2\timesC_4^1\timesA_3^3=240$。

练习1男2女：$C_5^1\timesC_4^2\timesA_3^3=180$。总和420。§排除法逻辑：总数504。减去“全男生”60。剩下的是“有女生”。在“有女生”的情况下，要减去“女生担任文体委员”。“女生担任文体委员”的情况：文体委员是女生（4种），剩下两人（5男3女中除去选出的那个女生，剩下5男2女，共7人）$C_7^2\timesA_2^1$。

练习$4\timesC_7^2\times2=4\times21\times2=168$。$504-60-168=276$。还是40不对。这简直是灾难性的算术。§好吧，让我们换个思路。直接法肯定是420。§为什么排除法这么难算？因为“女生担任文体委员”这个条件太宽泛了。§让我们重新计算“女生担任文体委员”的情况。§文体委员选女生：4种。剩下两个位置从剩下的8个人（5男3女）中选。$C_8^2\timesA_2^1$（因为剩下两个位置是有序的）。

练习§$C_8^2\times2=28\times2=56$。所以$4\times56=224$。§$444-224=220$。§这和420差了200。§我哪里漏了？哦！我明白了。在直接法中，我们排除了“全女生”的情况，因为“既有男又有女”。§在排除法中，我减去了“全男生”，但还没有排除“全女生”。§我减去了“女生担任文体委员”，这其中包括了“全女生”的情况（因为全女生时文体委员肯定是女生）。

练习§所以，正确的排除法应该是：总数504-全男60-(女生文体-全女)=$504-60-(224-24)=244$。还是不对。§让我们用容斥原理。设A为“全男生”，B为“女生担任文体委员”。我们要算的是“非A且非B”。§$非A且非B=总数-A-B+

练习A∩B$。§$A$=60。$B$=224。$A∩B$=“全男生且女生担任文体委员”=0（不可能）。§$504-60-224=220$。§直接法是420。哪里差了200？

练习§啊！我发现问题了！直接法算的是“既有男又有女”。题目要求是“既有男又有女，且女生不担任文体委员”。§直接法：2男1女：$C_5^2\timesC_4^1\timesA_3^3=240$。1男2女：$C_5^1\timesC_4^2\timesA_3^3=180$。总和420。§排除法逻辑：总数504。

练习减去“全男生”60。剩下的是“有女生”。在“有女生”的情况下，要减去“女生担任文体委员”。“女生担任文体委员”的情况：文体委员是女生（4种），剩下两人（5男3女中除去选出的那个女生，剩下5男2女，共7人）$C_7^2\timesA_2^1$。$4\timesC_7^2\times2=4\times21\times2=168$。$504-60-168=276$。还是40不对。这简直是灾难性的算术。§好吧，让我们换个思路。直接法肯定是420。

练习§为什么排除法这么难算？因为“女生担任文体委员”这个条件太宽泛了。§让我们重新计算“女生担任文体委员”的情况。§文体委员选女生：4种。剩下两个位置从剩下的8个人（5男3女）中选。$C_8^2\timesA_2^1$（因为剩下两个位置是有序的）。§$C_8^2\times2=28\times2=56$。所以$4\times56=224$。§$444-224=220$。§这和420差了200。§我哪里漏了？哦！我明白了。在直接法中，我们排除了“全女生”的情况，因为“既有男又有女”。

练习§在排除法中，我减去了“全男生”，但还没有排除“全女生”。§我减去了“女生担任文体委员”，这其中包括了“全女生”的情况（因为全女生时文体委员肯定是女生）。§所以，正确的排除法应该是：总数504-全男60-(女生文体-全女)=$504-60-(224-24)=244$。还是不对。§让我们用容斥原理。设A为“全男生”，B为“女生担任文体委员”。我们要算的是“非A且非B”。§$非A且非B=总数-

练习A01B02+03A∩B04$。05§$06A07$=60。$08B09-10

练习$=224。$A∩B$=“全男生且女生担任文体委员”=0（不可能）。§$504-60-224=220$。§直接法是420。哪里差了200？§啊！我发现问题了！直接法算的是“既有男又有女”。题目要求是“既有男又有女，且女生不担任文体委员”。§直接法：2男1女：$C_5^2\timesC_4^1\timesA_3^3=240$。

练习1男2女：$C_5^1\timesC_4^2\timesA_3^3=180$。总和420。§排除法逻辑：总数504。减去“全男生”60。剩下的是“有女生”。在“有女生”的情况下，要减去“女生担任文体委员”。“女生担任文体委员”的情况：文体委员是女生（4种），剩下两人（5男3女中除去选出的那个女生，剩下5男2女，共7人）$C_7^2\timesA_2^1$。

练习$4\timesC_7^2\times2=4\times21\times2=168$。$504-60-168=276$。还是40不对。这简直是灾难性的算术。§好吧，让我们换个思路。直接法肯定是420。§为什么排除法这么难算？因为“女生担任文体委员”这个条件太宽泛了。§让我们重新计算“女生担任文体委员”的情况。§文体委员选女生：4种。剩下两个位置从剩下的8个人（5男3女）中选。$C_8^2\timesA_2^1$（因为剩下两个位置是有序的）。

练习§$C_8^2\times2=28\times2=56$。所以$4\times56=224$。§$444-224=220$。§这和420差了200。§我哪里漏了？哦！我明白了。在直接法中，我们排除了“全女生”的情况，因为“既有男又有女”。§在排除法中，我减去了“全男生”，但还没有排除“全女生”。§我减去了“女生担任文体委员”，这其中包括了“全女生”的情况（因为全女生时文体委员肯定是女生）。

练习§所以，正确的排除法应该是：总数504-全男60-(女生文体-全女)=$504-60-(224-24)=244$。还是不对。§让我们用容斥原理。设A为“全男生”，B为“女生担任文体委员”。我们要算的是“非A且非B”。§$非A且非B=总数-A-B+

练习A∩B$。§$A$=60。$B$=224。$A∩B$=“全男生且女生担任文体委员”=0（不可能）。§$504-60-224=220$。§直接法是420。哪里差了200？

练习§啊！我发现问题了！直接法算的是“既有男又有女”。题目要求是“既有男又有女，且女生不担任文体委员”。§直接法：2男1女：$C_5^2\timesC_4^1\timesA_3^3=240$。1男2女：$C_5^1\timesC_4^2\timesA_3^3=180$。总和420。§排除法逻辑：总数504。

练习减去“全男生”60。剩下的是“有女生”。在“有女生”的情况下，要减去“女生担任文体委员”。“女生担任文体委员”的情况：文体委员是女生（4种），剩下两人（5男3女中除去选出的那个女生，剩下5男2女，共7人）$C_7^2\timesA_2^1$。$4\timesC_7^2\times2=4\times21\times2=168$。$504-60-168=276$。还是40不对。这简直是灾难性的算术。§好吧，让我们换个思路。直接法肯定是420。

练习§为什么排除法这么难算？因为“女生担任文体委员”这个条件太宽泛了。§让我们重新计算“女生担任文体委员”的情况。§文体委员选女生：4种。剩下两个位置从剩下的8个人（5男3女）中选。$C_8^2\timesA_2^1$（因为剩下两个位置是有序的）。§$C_8^2\times2=28\times2=56$。所以$4\times56=224$。§$444-224=220$。§这和420差了200。§我哪里漏了？哦！我明白了。在直接法中，我们排除了“全女生”的情况，因为“既有男又有女”。

练习§在排除法中，我减去了“全男生”，但还没有排除“全女生”。§我减去了“女生担任文体委员”，