山东省济南一中2025-2026学年高一下学期期中数学试题含答案

济南一中2025级高一下学期期中学情检测数学试题本试卷满分150分考试时间120分钟一、单选题本题共12题，每小题5分，共60分.（每小题只有一个选项符合题目要求.）1.已知复数z满足z·(1+i)=1-2i，则|z|=（）A. B. C. D.22.已知复数满足的复数的对应点的轨迹是（）A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆3.在中，，，则角A的大小为（）A. B.或 C. D.或4.已知平面向量且，则一定共线的三点是（

）A.，， B.，， C.，， D.，，5.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（）A. B. C. D.6.数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823－1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．若i为虚数单位，，且，则（）A. B. C. D.7.在中，内角的对边分别为，则一定为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形8.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（）A. B. C. D.9.已知向量满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.10.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为（）A.4 B.6 C.8 D.1011.已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（）A. B. C. D.12.如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（）A. B. C. D.二、多选题本题共3题，每小题6分，共18分.（每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）13.已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A.的虚部为i B.C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.为方程的一个根14.已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（）A.与夹角为 B.C. D.与夹角为15.满足，且，则（）A.三个内角满足关系B.的周长为C.若的角平分线与交于，则的长为D.设为外接圆上任意一点，则的最大值为三、填空题本题共6题，每小题5分，共30分.16.已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________17.在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．18.正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________．19.如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________.20.在中，若，其面积为，则__________．21.如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.四、解答题本题共3题，共42分.（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）22.已知向量，，，．（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．23.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角A的大小；（2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值.24.如图，四边形为圆的内接四边形，.（1）若，求；（2）若，且为等边三角形，求圆的面积.济南一中2025级高一下学期期中学情检测数学试题本试卷满分150分考试时间120分钟一、单选题本题共12题，每小题5分，共60分.（每小题只有一个选项符合题目要求.）1.已知复数z满足z·(1+i)=1-2i，则|z|=（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则及复数模定义计算即可.【详解】由题意，故.2.已知复数满足的复数的对应点的轨迹是（）A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆【答案】A【解析】【详解】因为,所以,(负舍)因此复数的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.3.在中，，，则角A的大小为（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知中，，，故，即，由于，故，则或，故A的大小为或，故选：D4.已知平面向量且，则一定共线的三点是（

）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】A【解析】【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可.【详解】若向量共线，则共线，此时共线，当向量不共线时，对于A选项，，所以三点共线，A正确；对于B选项，设，则，即无解，B错误；对于C选项，设，则，即，无解，C错误；对于D选项，，设，即，即，无解，D错误．故选：A5.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可.【详解】由题意，可得，且，在中，可得，在中，可得，在中，由余弦定理得：所以．故选：D．6.数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823－1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．若i为虚数单位，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法与复数相等的条件求解即可【详解】，由，可得，即得．故选：B.7.在中，内角的对边分别为，则一定为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形【答案】A【解析】【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状.【详解】在中，,则，即，则，即得,由于，故，结合，可得，即一定为直角三角形，8.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解.【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则，所以该圆锥侧面积与其表面积的比为.故选：B9.已知向量满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】已知，.所以.因为，所以.由投影向量公式可得在上的投影向量所以在上的投影向量为.10.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】根据直观图可得原图为直角三角形，求出原图的直角边长后可得三角形的面积.【详解】由题设可得三角形为直角三角形，且为直角，，，故其面积为，故选：B.11.已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积的坐标表示与共线的坐标表示计算即可求得的取值范围.【详解】因为，，所以，的夹角为钝角；，且不平行；；解得，且；的取值范围为：．故选：B．12.如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可得几何体体积为一个圆锥加一个圆柱体积再减去一个球的体积，据此可得答案.【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉一个球体得到.由题可得圆柱，圆锥的底面半径为CB，又，则，三角形为等腰直角三角形，则，又由题可得圆柱，圆锥的高均为2，则圆柱，圆锥体积之和为：，又注意到球体半径为，则球体体积为：，则几何体体积为.故选：A二、多选题本题共3题，每小题6分，共18分.（每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）13.已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A.的虚部为i B.C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.为方程的一个根【答案】CD【解析】【分析】根据复数的四则运算化简得，求出对应点的坐标判断C，求出共轭复数及虚部判断A，代入方程求解判断D，求出后求模长判断B.【详解】，对应点为在第二象限，故C对；又，虚部为，故A错，，故B错；，故为方程的一个根，D对.故选：CD14.已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（）A.与夹角为 B.C. D.与夹角为【答案】ACD【解析】【详解】因为，所以，所以，所以B错误；所以，因为，所以，所以A正确；因为，所以C正确；因为，且，所以，所以D正确.15.满足，且，则（）A.三个内角满足关系B.的周长为C.若的角平分线与交于，则的长为D.设为外接圆上任意一点，则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出最大值.【详解】因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，对于A：由余弦定理知，，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B：因为，所以的周长为，故B正确；对于C：若的角平分线与交于，则，因为，所以，即，解得，故C错误；对于D：因为，设外接圆的圆心为，半径为，由正弦定理知，，所以，过点作的垂线，垂足为，则，当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示，此时，所以的最大值为，故D正确.三、填空题本题共6题，每小题5分，共30分.16.已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________【答案】【解析】【分析】根据复数，可知其实部为0，虚部不为0，由此可求解.【详解】复数是纯虚数，故，解得，故.17.在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．【答案】##【解析】【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，故，则，所以所求体积为.故答案为：.18.正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________．【答案】【解析】【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三棱锥的侧面积.【详解】已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3，则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高，侧面积.故答案为：19.如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则________.【答案】【解析】【分析】设，根据题意得到，得到，进而得到，即可求解.【详解】设，因为和分别是边和的中点，可得,又因为，所以，因为，所以，所以.故答案为：.20.在中，若，其面积为，则__________．【答案】【解析】【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而求出的值.【详解】已知，，代入面积公式可得：则，可得：.

根据余弦定理为，可得则.即，把代入可得：，即.

由于为边长，可得.故答案为：.21.如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据三点共线的结论可得，进而可得，即可根据数量积的运算律求解.【详解】因为，，三点共线，且，所以，所以，所以，所以，又，，，所以.故答案为：四、解答题本题共3题，共42分.（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）22.已知向量，，，．（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解；（2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得.【小问1详解】由题意可得，因为，所以.【小问2详解】，因为，所以，所以，所以，即向量与的夹角的余弦值为.23.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角A的大小；（2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解.【小问1详解】因为，由正弦定理得，则，即，，，，则，，.【小问2详解】因为是中点，所以.两边平方得.所以，即，又由均值不等式得，当且仅当时等号成立，所以，所以，即面积的最大值为.24.如图，四边形为圆的内接四